本文也许能改变数学不可能完备的信念，表明数学家对多值、虚值命题认识不足，用二值命题的观念来证明不完全性定理是不全面的。证明了哥德尔不完全性定理中的不可证命题g是数论的悖论而不是真命题，且形式数论系统存在无数个悖论。本文应该是世界级顶尖数学基础课题，有一定的难度，读者需要具备元数学、数理逻辑知识，并对哥德尔不完全性定理及不可证命题有深刻理解，才可能看懂和理解本文。

 

哥德尔不可证命题的真假

李子   李晓露

摘要   本文证明哥德尔不完全性定理中的不可证命题g是数论的悖论。证明了哥德尔不完全性定理的证明存在问题；介绍了第四次数学危机。重新认识、划分命题的种类后，建立一致且完备的二值命题公理系统并非不可能。指出数学的问题不是完备的问题，而是悖论的问题。

关键词    哥德尔不完全性定理  不可证命题   悖论

1.前言

由百度百科哥德尔不完全性定理可得：“哥德尔是奥地利裔美国著名数学家，不完备性定理是他在1931年提出来的。这一理论使数学基础研究发生了划时代的变化，更是现代逻辑史上很重要的一座里程碑。该定理与塔尔斯基的形式语言的真理论，图灵机和判定问题，被赞誉为现代逻辑科学在哲学方面的三大成果。哥德尔证明了任何一个形式系统，只要包括了简单的初等数论描述，而且是自洽的，它必定包含某些系统内所允许的方法既不能证明真也不能证伪的命题。

哥德尔证明：任何无矛盾的公理体系，只要包含初等算术的陈述，则必定存在一个不可判定命题，用这组公理不能判定其真假。也就是说，“无矛盾”和“完备”是不能同时满足的！这便是闻名于世的哥德尔不完全性定理。

哥德尔不完全性定理一举粉碎了数学家两千年来的信念。他告诉我们，真与可证是两个概念。可证的一定是真的，但真的不一定可证。某种意义上，悖论的阴影将永远伴随着我们。无怪乎大数学家外尔发出这样的感叹：“上帝是存在的，因为数学无疑是相容的；魔鬼也是存在的，因为我们不能证明这种相容性。”

哥德尔不完全性定理的影响远远超出了数学的范围。它不仅使数学、逻辑学发生革命性的变化，引发了许多富有挑战性的问题，而且还涉及哲学、语言学和计算机科学，甚至宇宙学。2002年8月17日，著名宇宙学家霍金在北京举行的国际弦理论会议上发表了题为《哥德尔与M理论》的报告，认为建立一个单一的描述宇宙的大统一理论是不太可能的，这一推测也正是基于哥德尔不完全性定理。

有意思的是，在现今十分热门的人工智能领域，哥德尔不完全性定理是否适用也成为了人们议论的焦点。1961年，牛津大学的哲学家卢卡斯提出，根据哥德尔不完全性定理，机器不可能具有人的心智。他的观点激起了很多人反对。他们认为，哥德尔不完全性定理与机器有无心智其实没有关系，但哥德尔不完全性定理对人的限制，同样也适用于机器倒是事实。

哥德尔不完全性定理的影响如此之广泛，难怪哥德尔会被看作当代最有影响力的智慧巨人之一，受到人们的永恒怀念。美国《时代》杂志曾评选出20世纪100个最伟大的人物，在数学家中，排在第一的就是哥德尔”。

2.哥德尔不完全性定理[1] [2] [3] [4]

建立完备、一致的数学理论是数学家们的一个梦想。1931年哥德尔证明了著名的不完全性定理，它彻底粉碎了数学家的梦想。哥德尔不完全性定理的证明严谨而巧妙。

哥德尔第一不完全性定理：包含初等数论和一阶逻辑的形式系统N，如果N一致，则存在不可证数论符号命题g（g用自然语言表达即为g：“g在本系统不可证”），并且 g不可证。如果N是ω一致的，则¬g不可证。

哥德尔证明了如果g可证，则存在证明g的公式序列，由N的定理必然可证¬g，导致N不一致。因此，如果N一致，则g必然不可证，并且证明了如果N是ω一致，则¬g不可证。

他还用扩充公理g的办法证明了：在新系统N+g系统依然存在新系统不可证数论符号命题g’。 g’用自然语言表达即为：“我在本系统不可证”。即g’为：“我在N+g系统不可证”。

他用对角线法证明了N存在永远无法弥补的漏洞，即N不完备。即无论怎样扩充公理，都存在本系统不可证的数论符号命题。

后经罗塞简化为：任一以形式算术系统为子系统的形式系统，如果是一致的，则一定是不完备的[3]。

哥德尔第一不完全性定理表明，不可能建立一个完备且一致的数论理论。

哥德尔第一不完全性定理是对数论而言的。因不可证的数论符号命题有无穷多个，所以用扩充公理的方法不可能完备形式数论公理系统。

下面证明不可证的数论符号命题实质上是一个悖论，是虚值命题，而不是二值命题的真命题。将命题分类后，可以建立一致并且完备的二值命题论证公理系统。

3．一致和完备的形式数论公理系统A

数学命题的真假值目前没有数学判定理论。元数学只研究了公理系统的一致性、独立性和完备性，无真实性概念。

数学命题的真假一直没有判定方法。1936年数学家丘奇证明了：如果有一种判定真假数论命题的方法，引入形式数论系统，必导致该系统出现逻辑矛盾。这是显然的，如果有此方法，则可按照识别真命题的方法扩充数论真命题，建立完备的形式数论公理系统。哥德尔的第一不完全定理证明，如果形式数论公理系统一致，则不可能完备。这个矛盾表明要么不存在识别真命题的方法，要么形式数论公理系统是不一致的。遗憾的是本文证明结论是：形式数论公理系统是不一致的。

在《元数学与元物理学（4）》[5]给出三大法则，在事实上可判定所有二值命题的真假。

    判定法则一:如果已知一命题p的内容与其相对应的事实相符，则判定p为真。

    判定法则二:如果已知一命题p的内容与其相对应的事实不相符，则判定p为假。

判定法则三:如果p是真命题,则p的内容与事实必相符;如果p是假命题，则p的内容与事实必不相符。

哥德尔的第一不完全定理的不可证命题g，g的内容“我不可证”符合事实，因此，根据三大法则可得：g是真命题。g不可证又是数论的真命题，则N是不完备的。

既然我们有了判定命题真假的三大法则，则完全可以建立完备且一致的形式数论公理系统A，方法如下：

A公理系统是在罗素和怀特海的《数学原理》形式数论公理系统N基础上，增加判定命题真假的三大法则和两条推理规则：

推理规则1：将根据判定命题真假的三大法则识别后的不可证的真命题，扩充给形式数论公理系统N 。

推理规则2：将根据判定命题真假的三大法则识别后的假命题，从N的定理中删除。

有了这两条推理规则，就可以建立完备一致的形式数论公理系统A。根据2条推理规则可得：A的定理全部都是真命题。

定理3。1 A公理系统是完备的。

证明：因由推理规则1可得，所有能识别的数论真命题都可证，包括哥德尔的第一不完全定理的不可证命题g。根据哥德尔的证明g的内容“我不可证”符合事实，因此，根据三大法则可得：g是真命题。由推理规则1可得g是A的定理，所以，A公理系统是完备的。哥德尔的第一不完全定理在A公理系统不成立。

根据真值表可得：如果q真，则┓q必假；如果q假，则┓q必真。因此，根据推理规则1可得：q或┓q必然有一个是A公理系统的定理。对于二值命题而言，A公理系统是完备的。

本定理证毕。

定理3。2 A公理系统是一致的。

证明：用反证法。

假设A公理系统是不一致的，则A公理系统必可证命题q，并可证命题┓q。

根据真值表可得：如果q真，则┓q必假，因此，根据推理规则2可得：┓q必然不是A公理系统的定理。

根据判定命题真假的三大法则，如果命题q符合事实，则┓q必然与事实不符，根据判定命题真假的三大法则可得┓q是假命题，由推理规则2可得：┓q必然不是A公理系统的定理。

因此，A公理系统必然是一致的。本定理证毕。

定理3。1和定理3。2证明了哥德尔第一不完全性定理在A公理系统不成立。表明数学既能一致，又可以完备。

4．哥德尔不可证命题是一个悖论

根据哥德尔的第一不完全定理，如果A公理系统不可证数论符号命题g可证，则存在证明g的公式序列，根据N的定理必然可证¬g。由此可得：A公理系统是不一致的。这里有一个关键问题：哥德尔的第一不完全定理中的不可证命题g在A系统究竟是真还是假？

若g在A系统内事实上不可证，根据判定数论命题真假的方法可判定g是真命题，则根据规则1可得g是A的定理，而g表明自己在A系统内不可证，导致g命题的内容与事实不符，根据判定数论命题真假的方法可得：g是假命题；而若g假，根据规则2，g不是A的定理，而g表明自己在A内不可证，则g符合事实，又是真命题，则g是一个悖论。

命题g的特点是不可证时是真命题，一旦扩充可证则变为假命题，其值不是固定不变的。A公理系统则证明了g是一个典型的悖论，并不是真命题，因此，不能由推理规则1可得g是A的定理。

在《李子逻辑学》g是一个悖论，则g是虚值命题，不是二值命题，更不是真命题。因此，g不是A公理系统的定理。¬g也是虚值命题，也不是A公理系统的定理。在《李子逻辑学》命题基础上建立的形式数论公理系统，g不是二值命题，则g的值不能在二值命题论证公理系统I[6]内判定和求证，只能在虚值命题论证公理系统III[7]内推理，而包含形式数论公理系统A只适合二值命题的推理，所有虚值命题在二值命题论证公理系统既不可判定其真假，也不可证，从而可化解第四次数学危机。

哥德尔的第一不完全定理中的不可证命题g实质上是一个悖论，而不是数论的真命题。这再一次证明了：形式数论公理系统N存在悖论，是不一致的理论。下面的证明更表明包含形式数论公理系统N的系统存在无数个悖论。

5．第四次数学危机及其影响（2）[8]

一阶理论是一阶逻辑的一个扩充。一阶算术系统N包含命题演算公理系统和一阶谓词演算系统。

李子发现和证明了命题演算公理系统存在悖论。

   5. 1实质蕴涵存在悖论

    设计一个实质蕴涵命题a，a：（P→P）→¬ a

      （P→P）是永真式，其值恒真。

    根据五个真值表：如果a真，则¬a假，则实质蕴涵命题：（（P→P）→¬ a）为假，即a假。

    如果a假，则¬ a真，根据五个真值表可得：（（P→P）→¬ a）为真。

    请问a的真假？ a构成了一个悖论。

    5.2析取命题悖论

    命题b：（p∧¬ p）∨¬ b

   （p∧¬ p）是永假式，其值恒假。

   如果b真，则¬ b假，根据五个真值表可得：（（p∧¬ p）∨¬ b）为假,即b假.
   如果b假，则¬ b真，根据五个真值表可得：：（（p∧¬ p）∨¬ b）为真,即b真。

    请问b的真假？ b也构成了一个悖论。

   5.3合取命题悖论

命题c：（p→p）∧¬ c

  （p→p）是永真式，其值恒真。
   根据五个真值表：如果c真，则¬ c假，则命题：（（p→p）∧¬ c）为假，即c假。

    如果c假，则¬ c真，根据五个真值表可得：（（p→p）∧¬ c）为真,即c真。

    请问c的真假？ c构成了一个悖论。

    5.4等值命题悖论

    命题d，d：（p→p）↔ ¬ d

    （p→p）是永真式，其值恒真。

    根据五个真值表：如果d真，则¬ d假，则等值命题：（（p→p）↔ ¬ d）为假，即d假。

如果d假，则¬ d真，根据五个真值表可得：（（p→p）↔ ¬ d）为真,即d真。

     d构成了一个悖论。
    问题还不仅如此，悖论5.1、悖论5.2、悖论5.3、悖论5.4表明以任何一个命题代入其中，都会构成悖论。

    如将任意一个命题¬ p、p∨q、p∧q、¬ p∨q、¬p∨¬q、……代入悖论5.1、悖论5.2、悖论5.3、悖论5.4的p，就会产生无数个悖论。

    而若将任意一个永真式（如：¬ p∨p、p→¬¬ p……）替换悖论5.1、悖论5.3、悖论5.4中的（p→p），也会产生无数个悖论。

    若将任意一个永假式替换悖论5.2中的（p∧¬ p），同样会产生无数个悖论。

    这些悖论的大量存在对数学理论的影响是相当大的,几乎是一个灾难.它标志着一切以命题演算公理系统为基础的数学理论包括罗素和怀特海的形式数论公理系统理论、集合论都陷入了严重的危机之中，所有数学理论的一致性、可靠性深受其影响，并且影响到一切以数学计算的科学的可靠性。

数学面临第四次危机！

6．哥德尔不完全性定理证明存在的问题

引理6。1 令L’是L的一致扩充，A是L的合式公式且不是L’的定理。如果现在再构造L的扩充L”，它通过对L’补加¬A作为新公理而得到，那么L”也是一致的。[1]

哥德尔的第一不完全定理的不可证命题g，是数学家们没有意识到的悖论，表明数学家对多值、虚值命题认识不足，把虚值命题当成二值命题讨论的结果，得出数学不可能完备的结论，把悖论当成二值命题的真命题来证明不完全性定理是不妥当的。

在哥德尔不完全性定理的证明中，存在的问题的是认为不可证命题g：“g不可证”，表达的是本系统不可证。这会产生下面的问题：

6．1如果我们规定罗素和怀特海的形式数论公理系统为N，则N内不可证命题g：“g不可证”，表达的是g在N系统不可证。现将g扩充给N，组成新系统N’=N+g，N’比N仅多一条公理g，两个公理系统的符号、公式的哥德尔数完全相同，不可证命题g：“g不可证”，在N’系统谓词表达的不再是在N系统不可证，而是在N’系统不可证。则g扩充给N就会导致不一致，即g=g’，且g’由不可证变为可证，并由真命题变为假命题。由哥德尔不完全性定理必然可得N’系统不一致。由引理6。1可得：N系统不一致。

哥德尔数为g的“在N系统不可证的命题”只在N系统存在。g扩充给N，组成新系统N’=N+g后，g变为了g’。并由不可证变为可证。因此，不可证的命题g实质上是在所有包含N的系统不可证的命题。

6．2如果在形式数论公理系统N内可表达任何系统数论命题，则N必存在能用二元谓词表达的不可证命题g：“g在包含N的所有系统不可证”，因不可证命题同构，则如果N一致，则由哥德尔不完全性定理必然可得：g与¬g均不可证。而由引理6。1可得：N存在一致扩充，即扩充g新系统必然一致。而由哥德尔不完全性定理必然可得：若g可证，则¬g必可证，新系统必然不一致，导致矛盾。因此，任一包含N的系统都是不一致的。

6.3什么是悖论？悖论p是一种矛盾命题。它存在以下逻辑关系：

如果命题p是悖论，则p ↔ ┓p，即p与 ┓p等值。这种等值关系，可以由数学证明充分必要条件的定理进行证明，也能由《李子逻辑学》证明逻辑蕴涵为真的方法来论证，如对本文所有悖论的证明。

在数理逻辑中有分离规则：┣ p，┣（p→q），必然可得：┣ q。符号“┣”表示可证。

 既使无不可证命题g，在罗素和怀特海的形式数论公理系统N内，在本文5．第四次数学危机及其影响（2）中已证明N存在无数个悖论p，即由数学证明充分必要条件的定理可得：┣（p ↔ ┓p）。若在N内┣ p，则由命题演算公理系统分离规则必然┣ ┓p，并且，若在N内┣ ┓p，则由命题演算公理系统分离规则必然┣ p 。在本文中的任何一个悖论p，都必然导致：N若一致，则命题p与┓p都不可证，即N必不完备。

由引理6。1可得：N存在一致扩充，但p或┓p扩充给N后，都会使新系统不一致，这表明要么N是不一致的，要么p是自相矛盾的。

N存在无数个悖论p，讨论N是否完备毫无意义，而是需要解决悖论问题。

   6.4哥德尔第二不完全定理：如果N是一致的，那么N的一致性证明不能在系统N中形式化。

   将第一不完全定理形式表达为：在N内┣consN→g。其中consN符号表达的是“N是一致的”。

   N包含命题演算公理系统。在N内有定理：

   ┣（p→q）→（┓q→┓p），由分离规则可得定理：

   ┣ ┓g→┓consN

   由引理6。1可得：N存在一致扩充，┓g作为新公理扩充给N，可组成新系统N”。由此可得：

   ┣ ┓consN，即N”系统可证N是不一致的。又因N是N”系统的子系统，因此，在N”系统可证本系统不一致。

   如果N一致，则由引理6。1可得N”必然一致。现已证N”不一致，则N不可能一致。

   N不一致，即罗素和怀特海的形式数论公理系统N不一致。则所有数学理论的一致性、可靠性未得到证明，量子力学、相对论、现代宇宙学的数学基础不可靠，数学与科学出现危机。

7．第四次数学危机的化解

在《李子逻辑学》认为命题的值不仅有真假二值，还有多值命题和虚值命题（悖论）。物理学也存在多值命题（如量子力学的概率事件）和虚值命题（如广义相对论的时间机器悖论）。

《李子逻辑学》让大家重新认识命题的种类，将命题分为三类，区分了二值命题、多值命题（偶然性命题、或然性命题）和虚值命题（悖论），用三个公理系统各自进行演算并且互相关联。

虽然悖论p是虚值命题，但命题（p ↔ ┓p）在《李子逻辑学》却是二值命题，是可以判定和证明其真假的，这是二值命题与虚值命题的关联。因此，悖论也有真悖论和假悖论之分。

虚值命题与虚数相似，虚数在现实真实世界并不存在，如科学家无法测量1米×i的长度，1秒×i的时间和1公斤×i的重量，无法确定事实情况，但虚数与实数有关联，i^2= -1。而悖论自相矛盾，也无法通过事实检验，如不可证命题悖论。悖论p不能确定其真假，其值为i，称为虚值命题，但命题（p ↔ ┓p）是真命题。在《GEB-一条永恒的金带》书中的图2上升与下降是利用人的视觉上的错觉，虚构的图画，与悖论相似，不能在事实上建造这种楼梯。图画脱离事实，不是真实的建筑物，但可以画出来。

《李子逻辑学》可以化解第四次数学危机并彻底解决一直困扰人们的悖论问题，为开发判定命题真假和计算、论证信息真假及决策的多值计算机和人工智能的革命提供基础理论。

笔者认为判定信息真假的二值逻辑、多值逻辑和虚值逻辑涉及人工智能、计算机的更新换代和信息战、网络战的国家利益，因此，宁可失去著作权也暂不发表《多值命题论证公理系统II》和《虚值命题论证公理系统III》，不在电脑写作、储存二文信息，特此说明。

如果说否定相对论，建立自洽、符合事实的新物理学、新宇宙学是中国科学领先世界的一个战略机遇，则开发具有识别信息真假和计算命题真假功能的多值计算机，研制具有快速决策功能的人工智能是中国科技在计算机、人工智能领域领先世界的又一个战略机遇。希望我国科研机构能抢先开发具有识别信息真假和计算命题真假功能的多值计算机，研制具有快速决策功能的人工智能，早日造福人类。

 

参考文献

 [1] 朱水林著，哥德尔不完全性定理，沈阳：辽宁教育出版社，1987年。

[2] 莫绍揆，B6证明论，现代逻辑科学导引（上册），中国人民大学出版社，1987年。

[3]郑毓信编著，现代逻辑的发展，沈阳：辽宁教育出版社，1988年。

[4]乐秀成编译，GEB-一条永恒的金带，成都，四川人民出版社，1984年。

[5] 元数学与元物理学（4），李子、李晓露

[6]二值命题论证公理系统I，李子、李晓露

[7]虚值命题论证公理系统III（待发表）李子、李晓露

[8]第四次数学危机及其影响（2），李子、李晓露

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