三角函数
在数学中，三角函数（也叫做圆函数）是角的函数；它们在研究三角形和建模周期现象和许多其他应用中是很重要的。三角函数通常定义为包含这个角的直角三角形的两个边的比率，也可以等价的定义为单位圆上的各种线段的长度。更现代的定义把它们表达为无穷级数或特定微分方程的解，允许它们扩展到任意正数和负数值，甚至是复数值。
三角函数在数学中属于初等函数里的超越函数的一类函数。它们本质上是任意角的集合与一个比值的集合的变量之间的映射。由于三角函数具有周期性，所以并不具有单射函数（亦称为单调函数）意义上的反函数。三角函数在复数中有重要的应用，在物理学中也是常用的工具。
三角函数一般用于计算三角形（通常为直角三角形）中未知长度的边和未知的角度，在导航系统，工程学以及物理学方面都有广泛的用途。其在基本物理中的一个常见用途是将矢量转换到笛卡尔坐标系中。现代比较常用的三角函数有6个，其中Sin和Cos还常用于模拟周期函数现象，比如说声波和光波，谐振子的位置和速度，光照强度和白昼长度，过去一年中的平均气温变化等等。
锐角三角函数定义
当平面上的三点A、B、C的连线，AB、AC、BC，构成一个直角三角形，其中∠ACB为直角。对于AB与AC的夹角∠BAC而言：
邻边（adjacent）b=AC
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基本函数
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英文
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缩写
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表达式
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语言描述
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Sine
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sin
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a/h
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∠A的对边比斜边
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cosine
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cos
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b/h
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∠A的邻边比斜边
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Tangent
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tan
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a/b
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∠A的对边比邻边
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Cotangent
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cot
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b/a
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∠A的邻边比对边
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Secant
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sec
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h/b
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∠A的斜边比邻边
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Cosecant
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csc
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h/a
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∠A的斜边比对边
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(注：tan、cot曾被写作tg、ctg，现已不用这种写法。且因为cot、sec、csc易由sin、cos、tan推出，所以现在初、高中教材中已将其删去不讲。)
特殊角的三角函数值：tan45°=1
勾股定理
在我国，把直角三角形的两直角边的平方和等于斜边的平方这一特性叫做勾股定理或勾股弦定理，又称毕达哥拉斯定理或毕氏定理（Pythagoras
Theorem）。数学公式中常写作a^2+b^2=c^2
在任何一个直角三角形（Rt△）中，两条直角边的长度的平方和等于斜边长度的平方(也可以理解成两个长边的平方相减与最短边的平方相等），这就叫做勾股定理。即勾的长度的平方加股的长度的平方等于弦的长度的平方。如果用a,b,c分别表示直角三角形的两条直角边和斜边，那么a的平方+b的平方=c的平方
以上摘录于百度，非本人作品，仅引用证明下面的结论。
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在数学的第一次危机中，欧几里得（Euclid）在其著作《几何原本》第十篇证明了毕达哥拉斯学派的理念：“宇宙中的一切现象都能归结为整数或整数之比。”导致数学存在逻辑矛盾，引起了数学上的第一次危机。
勾股定理：直角三角形三边（a、b、c）长的一般公式：
c的平方=
a的平方+b的平方
由勾股定理可得：直角三角形三边a=1，b=1，则斜边c=？
c不能用整数或整数之比表达出来。
在此直角三角形中∠ACB为直角。对于AB与AC的夹角∠BAC而言，其角度为多少？
根据锐角三角函数的定义：
正切函数 Tan
∠BAC=BC÷AC=1，则∠BAC=45°。
同理，∠ABC=45°，则此直角三角形内角之和为180°。
由欧几里得几何学可得到定理p：“三角形内角之和为180度”。
由罗氏几何可得到定理q：“三角形内角之和小于180度”。
由黎曼几何学可得到定理r：“三角形内角之和大于180度”。
如果三角函数和勾股定理成立，则此直角三角形内角之和必为180°。则非欧几何学不可能成立。
如果非欧几何学成立，则根据非欧几何学的定理q、r可得：三角形内角之和不为180°，则直角三角形内角之和不为180°，由此可得：三角函数和勾股定理不可能成立。
非欧几何学的定理与三角函数和勾股定理存在逻辑矛盾。
三个几何学都存在直角三角形，不论是哪个几何学，平分直角为2个45°锐角都不是难事，如在纸上可用圆规和直尺平分直角，在曲面上也可用固定长测地线来平分直角，用45°的角比较直角三角形∠BAC、，∠ABC的度数，就可获得真理。
那是否非欧几何学确实是曲率不等于0的曲面上的几何学呢？
在《论三种几何学平面的曲率 》一文中，李子证明了：用不同的平面（曲面）的曲率不同，对应的几何学不同，将三个不同的几何学分离不会矛盾的观点是不成立的，必导致三个几何学平面曲率的矛盾，即绝对几何学平面的曲率既小于0并且等于0。因此，非欧几何学不可能是曲面(曲率不等于0)上的几何学。
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