对小学阶段“数角问题”的再探讨

杨小生  

最近，我校四年级数学期中检测中有这样一道题：右边

的图形（图1）中共有（  ）个角。引起了阅卷教师的争议。        http://s14/middle/6928bf4ax79dd9cecd1ed&690

主要有以下观点：①大多数低年级教师认为应该有7个角，不能算平角。因为当时低年级学生只认识了锐角、直角和钝角三种角，没有学习平角，同时与小学二年级上册（新人教版）43页第7题中图是相同的题，《教师教学用书》参考答案也是7，而不能说学生到了四年级就认为老师教错了。②许多中高年级教师认为是8个角，应该算上平角，因为四年级学生已经学了平角。为此，笔者又一次拜读了《中小学数学》（小学版）2010年1-2期 李路生老师的《这道题的答案值得商榷》（以下简称《李文》）和同年第9期叶育蔓与朱添斌老师的《12时是周角吗？》（以下简《朱文》）等文章，颇受启发，现结合自己的理解，提出几点看法，与同行商榷。

一、正确看待小学生对“角的定义”的理解

关于“角的定义”，《朱文》中已进行了全面系统的阐述，并提出“在小学阶段一般静态角和动态角不作区分，统一称作‘角’，也不必区别角的始边和角的终边”。笔者认为：小学阶段学生应按角的静态定义去理解，所有版本的小学数学教材均力求通过形象生动的实物引导学生从表现形式上去认识角。如二年级数学上册（人教版）第二单元第35页教材中通过折一折、做一做等活动使学生对角和直角有些感性认识，知道什么样的图形是角；并由剪刀、吸管和水管等实物让学生形象地画出三种不同的角（锐角、钝角和直角），它有一个顶点，两条边；会画角就可以了。四年级上册（人教版）中借助射线的概念，结合探照灯的具体情景，给出“角”的数学化定义：从一点引出两条射线所组成的图形叫作角。然后再复习角的各部分名称，以及角的表示法和读法。在认识平角和周角时，通过生活中的实例两把折扇的实物图，让学生直观地理解平角、周角的概念，同时注意区别它们与直线、射线的关系。另外，全日制义务教育《数学课程标准》中具体目标指出：第一学段（1～3年级）结合生活情境认识角，会辨认直角、锐角和钝角。第二学段（4～6年级）知道周角、平角及周角、平角、钝角、直角、锐角之间的大小关系。）。显然，小学低年级只要求学生能辨认三种角，而《李文》中提出的让学生数出平角的说法远远超出了学生的认知水平。

二、正确理解教材的编排意图

新人教版小学数学教材分三个阶段编排“角的认识”这一内容。第一个阶段，是在二年级上册第二单元，结合生活情景及操作活动，使学生初步认识角和直角，并知道角的各部分名称，会用尺画角，用三角板判断直角、画直角。第二个阶段，是在二年级下册第三单元，让学生认识锐角和钝角，并能借助三角板上的直角判断一个角是直角、锐角和钝角。第三个阶段，是四年级数学上册第二单元，让学生进一步学习角的度量。而七年级数学上册（人教版）第四单元第136页中对角的定义从静态和动态两个方面进行了具体阐述：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角。这个公共端点叫做角的顶点，这两条射线叫做角的两条边。角也可以看作由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形。所旋转射线的端点叫做角的顶点，开始位置的射线叫做角的始边，终止位置的射线叫做角的终边。在动态定义中，取决于旋转的方向与角度。所以，每个阶段都有自己的教学任务，但前后又有连贯性。整个教材体系编排科学合理，从具体到形象，从直观到抽象，这也是一个从静态到动态的认知过程，适合不同阶段学生的年龄特点和认知规律，也充分体现了新课程编写的理念。

笔者认为：编写意图并不是让学生根据例2中的角的初步定义去判断图中的平角，而是左图中能让学生数出由两个锐角组成的直角，中图是在左图的基础上让学生既能数出两个小锐角组成的大锐角，又能数出两个补角，右图是在中图的基础上继续让学生数出图形外面的两个补角，三道题设计循序渐进，充分体现了练习题设计的由易到难的“梯度”。因此， “中图有8个角，右图有10角”均包含了平角，学生没有认知平角的基础和生活经验，不符合二年级学生认知水平，这是对编者意图的误解。如果按数学结论的确定性，那右图还应数上周角和优角等，又有多少个角呢？

综上所述，小学阶段学生认识角，教师必须树立整体意识和目标意识，从整体着眼把握教学目标，明确每一阶段的具体要求，理顺学科的教学总目标、学段教学目标、学期教学目标、单元教学目标和课时教学目标之间的关系。才能准确定位各个学段的学生应如何认识角，怎样理解角的含义。如平角与周角的定义，小学数学教材和教师用书中，也没有给出相应的定义，只是从图形中感受平角和周角的形成过程。教材中凡出现这两种角都会标出旋转符号（图3），否则学生会误认为“一条直线就是平角”和“一条射线就是周角”，产生概念混淆。因此，小学生数角的个数应按角的静态形式去数，以锐角、直角和钝角为主，平角和周角如果没有标出旋转符号，一般不要求学生去数，故图1中答案应为7个角，图2左图的答案为8个角。

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三、小学阶段命制试题应具体、严密

小学命制试题应充分考虑到年段教学目标和学生认知水平的不同，应该做到科学严谨、具体明确，避免出现是是而非，笼统含糊不清的题目。如果把图1中的题目改为“右边的图形中共有（  ）个锐角和钝角”；把二年级教材中的题目要求（图2）也可改为“在下面的图形中，各有几个你们认识的角”。这样学生就不会茫然，教师也不会有争议了。

原文发表于《中小学数学》（小学版）2012年第6期。