三角函数（Trigonometric）是数学中属于初等函数中的超越函数的一类函数。它们的本质是任意角的集合与一个比值的集合的变量之间的映射。通常的三角函数是在平面直角坐标系中定义的，其定义域为整个实数域。另一种定义是在直角三角形中，但并不完全。现代数学把它们描述成无穷数列的极限和微分方程的解，将其定义扩展到复数系。它包含六种基本函数：正弦、余弦、正切、余切、正割、余割。由于三角函数的周期性，它并不具有单值函数意义上的反函数。三角函数在复数中有较为重要的应用。在物理学中，三角函数也是常用的工具。

 

直角三角定义

　　它有六种基本函数(初等基本表示)：

　　（斜边为r，对边为y，邻边为x。）

　　在平面直角坐标系xOy中，从点O引出一条射线OP，设旋转角为θ，设OP=r，P点的坐标为（x，y）有

　　正弦函数 sinθ=y/r 正弦（sin）:角α的对边 比 斜边

　　余弦函数 cosθ=x/r 余弦（cos）:角α的邻边 比 斜边

　　正切函数 tanθ=y/x 正切（tan）:角α的对边 比 邻边

　　余切函数 cotθ=x/y 余切（cot）:角α的邻边 比 对边

　　正割函数 secθ=r/x 正割（sec）:角α的斜边 比 邻边

　　余割函数 cscθ=r/y 余割（csc）:角α的斜边 比 对边

　　以及两个不常用，已趋于被淘汰的函数：

　　正矢函数 versinθ =1-cosθ

　　余矢函数 coversθ =1-sinθ

　　sinα、cosα、tanα的定义域：

　　sinα定义域无穷，值域【-1，+1】

　　cosα定义域无穷，值域【-1，+1】

　　tanα的定义域（-π/2+kπ，π/2+kπ），k属于整数，值域无穷

单位圆定义

　　六个三角函数也可以依据半径为1中心为原点的单位圆来定义。单位圆定义在实际计算上没有大的价值；实际上对多数角它都依赖于直角三角形。但是单位圆定义的确允许三角函数对所有正数和负数辐角都有定义，而不只是对于在 0 和 π/2 弧度之间的角。它也提供了一个图像，把所有重要的三角函数都包含了。根据勾股定理，单位圆的等式是：

　　x^2+y^2 = 1

　　图像中给出了用弧度度量的一些常见的角。逆时针方向的度量是正角，而顺时针的度量是负角。设一个过原点的线，同 x 轴正半部分得到一个角 θ，并与单位圆相交。这个交点的 x 和 y 坐标分别等于 cos θ 和 sin θ。图像中的三角形确保了这个公式；半径等于斜边且长度为1，所以有 sin θ = y/1 和 cos θ = x/1。单位圆可以被视为是通过改变邻边和对边的长度，但保持斜边等于 1的一种查看无限个三角形的方式。

　　对于大于 2π 或小于 ?2π 的角度，可直接继续绕单位圆旋转。在这种方式下，正弦和余弦变成了周期为 2π的周期函数：

　　对于任何角度 θ 和任何整数 k。

　　周期函数的最小正周期叫做这个函数的“基本周期”（primitive period）。正弦、余弦、正割或余割的基本周期是全圆，也就是 2π 弧度或 360 度；正切或余切的基本周期是半圆，也就是 π 弧度或 180 度。上面只有正弦和余弦是直接使用单位圆定义的，其他四个三角函数可以定义为：

　　

　　在正切函数的图像中，在角 kπ 附近变化缓慢，而在接近角 (k + 1/2)π 的时候变化迅速。正切函数的图像在 θ = (k + 1/2)π 有垂直渐近线。这是因为在 θ 从左侧接进 (k + 1/2)π 的时候函数接近正无穷，而从右侧接近 (k + 1/2)π 的时候函数接近负无穷。

　　另一方面，所有基本三角函数都可依据中心为 O 的单位圆来定义，类似于历史上使用的几何定义。特别

是，对于这个圆的弦 AB，这里的 θ 是对向角的一半，sin(θ) 是 AC（半弦），这是印度的 Aryabhata（AD 476–550）介入的定义。cos(θ) 是水平距离 OC，versin（θ） = 1 ? cos(θ) 是 CD。tan(θ) 是通过 A 的切线的线段 AE 的长度，所以这个函数才叫正切。cot(θ) 是另一个切线段 AF。 sec(θ) = OE 和 csc(θ) = OF 是割线（与圆相交于两点）的线段，所以可以看作 OA 沿着 A 的切线分别向水平和垂直轴的投影。DE 是 exsec（θ） = sec(θ) ? 1（正割在圆外的部分）。通过这些构造，容易看出正割和正切函数在 θ 接近 π/2（90 度）的时候发散，而余割和余切在 θ 接近零的时候发散。

 

　·平方关系：

　　sin^2(α)+cos^2(α)=1

　　cos^2(a)=(1+cos2a)/2

　　tan^2(α)+1=sec^2(α)

　　sin^2(a)=(1-cos2a)/2

　　cot^2(α)+1=csc^2(α)

　　·积的关系：

　　sinα=tanα×cosα

　　cosα=cotα×sinα

　　tanα=sinα×secα

　　cotα=cosα×cscα

　　secα=tanα×cscα

　　cscα=secα×cotα

　　·倒数关系：

　　tanα ·cotα＝1

　　sinα ·cscα＝1

　　cosα ·secα＝1

　　·商的关系：

　　sinα/cosα＝tanα＝secα/cscα

　　cosα/sinα＝cotα＝cscα/secα

　　直角三角形ABC中,

　　角A的正弦值就等于角A的对边比斜边,

　　余弦等于角A的邻边比斜边

　　正切等于对边比邻边,

　　·对称性

　　180度-α的终边和α的终边关于y轴对称。

　　-α的终边和α的终边关于x轴对称。

　　180度+α的终边和α的终边关于原点对称。

　　180度-α的终边关于y=x对称。

　　·诱导公式

　　公式一：

　　设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等：

　　

sin（2kπ＋α）＝sinα

　　cos（2kπ＋α）＝cosα

　　tan（kπ＋α）＝tanα

　　cot（kπ＋α）＝cotα

　　公式二：

　　设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系：

　　sin（π＋α）＝－sinα

　　cos（π＋α）＝－cosα

　　tan（π＋α）＝tanα

　　cot（π＋α）＝cotα

　　公式三：

　　任意角α与 -α的三角函数值之间的关系：

　　sin（－α）＝－sinα

　　cos（－α）＝cosα

　　tan（－α）＝－tanα

　　cot（－α）＝－cotα

　　公式四：

　　利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系：

　　sin（π－α）＝sinα

　　cos（π－α）＝－cosα

　　tan（π－α）＝－tanα

　　cot（π－α）＝－cotα

　　公式五：

　　利用公式一和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系：

　　sin（2π－α）＝－sinα

　　cos（2π－α）＝cosα

　　tan（2π－α）＝－tanα

　　cot（2π－α）＝－cotα

　　公式六：

　　π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系：

　　sin（π/2＋α）＝cosα

　　cos（π/2＋α）＝－sinα

　　tan（π/2＋α）＝－cotα

　　cot（π/2＋α）＝－tanα

　　sin（π/2－α）＝cosα

　　cos（π/2－α）＝sinα

　　tan（π/2－α）＝cotα

　　cot（π/2－α）＝tanα

　　sin（3π/2＋α）＝－cosα

　　cos（3π/2＋α）＝sinα

　　tan（3π/2＋α）＝－cotα

　　cot（3π/2＋α）＝－tanα

　　sin（3π/2－α）＝－cosα

　　cos（3π/2－α）＝－sinα

　　tan（3π/2－α）＝cotα

　　cot（3π/2－α）＝tanα

　　(以上k∈Z)

　　补充：6×9＝54种诱导公式的表格以及推导方法（定名法则和定号法则）