开集是拓扑学里最基本的概念之一。

假设X是一个集合， 如果存在一系列X的子集合 （a∈I, I是下标集）满足下面的条件，那么每个这样的子集就称为X的一个开集，X称为拓扑空间：

（1）X=∪U_a (即X是所有U_a的并)；

（2）X中任何两个这样的子集合的交也落在中；

（3）X中任何多个这样的子集合的并也落在中。

在实数轴上，最常见的开集就是开区间。

定义 设A是度量空间X的一个子集．如果A中的每一个点都有一个球形邻域包含于A（即对于每一个a∈A，存在实数ε＞0使得B（a，ε） A，则称A是度量空间X中的一个开集．

例 实数空间R中的开区间都是开集．

设a，b∈R，a＜b．我们说开区间

（a，b）={x∈R|a＜x＜b}

是R中的一个开集．这是因为如果x∈（a，b），若令

ε＝min{x-a，b-x}，

则有B（x，ε） （a，b）．也同样容易证明无限的开区间

（a，∞）＝{x∈R|x＞a}，（-∞，b）={x∈R|x＜b}

（-∞,∞）＝R

都是R中的开集．然而闭区间

[a，b]={x∈R|a≤x≤b}

却不是R中的开集．因为对于a∈[a，b]而言，任何

ε＞0，B（x，ε） [a,b]都不成立．类似地，半开半闭的区间

（a，b]={x∈R|a＜x≤b}，[a，b)＝{x∈R|a≤x＜b}

无限的闭区问

[a，∞)={x∈R|x≥a},（－∞，b]={x∈R|x≤b}

都不是R中的开集．