例5.1 左端固支的悬臂梁在其右端有两种载荷情况：1、受弯矩M的作用；2、受剪力p作用。弯矩M=2000nNaN。p=300n。用不同形式的单元和不同密度的网格进行有限元分析。采用的单元形式包括（T3，T6，Q4，Q8，Q9）。边界条件如下：左端所有节点U1=u2=0，中性面节点u3=0，右端P按抛物线分布载荷Py=-0.75p(1-y*y)，M按线性分布载荷Px=1.5My加载。

表5.1给出梁右端最下面结点的最大挠度值的有限元计算结果。对于每一形式单元的第1、2列分别对应于弯矩M和剪力P的作用。为便于比较弹性力学的理解解为：7.164E-3，7.44E-3。

表 1 梁最大的挠度计算结果

从表5.1中可以看出，T3单元虽然在高度方向划分了8个单元，但精度仍很差。Q4单元的结果较Q3有所改进，但和理论值相比误差仍较大。对于T6，Q8，Q9单元，即使最稀疏的网格，对于弯矩的作用，能得到与理论解完全一致的结果，对于剪力的作用可以得到非常接近理论解的结果。

现列出理论解的应力与位移表达式:

T3单元的位移函数为一次完全多项式的常应力单元，Q4单元的位移函数较T3单元增加了xy项，T6单元的位移函数为二次完全多项式的线性应力单元，Q8的位移函数较Q6增加了xxy和yyx非完全三次多项式，Q9单元较Q8单元又增加了XXYY项，将这些单元的位移函数与理论解的位移函数相比不难发现，T3单元对真实位移场的描述能力最差,Q4单元因增加了xy项，所以较Q3有一定的改进，但因缺乏XX和YY二次项，精度仍较差，而T6，Q8，Q9

单元对于弯矩作用情况下的位移场，有完全描述的能力，因此即使采用稀疏的网格，仍能得到精确解，但对于剪力的作用，由于缺少XXX和YYY三次项，所以计算的结果与精确解相比有少许差别。此例说明在单元形式的选择和网格划分时，对问题的应力和变形特点的理解和把握是有必要的。

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