对于多自由度系统，U和P都关于坐标xyz和时间t的函数，但是U的导数都是针对时间t的，值得说明的是，不管是m还是c或者k，在这里都不是简单的数，而是一个与节点个数与自由度个数相关的矩阵，也就是说，这个问题的求解是求解一个微分方程组，对于这个方程组的求解，现在比较流行的办法是采用中心差分法和NEWMARK方法，这两种方法对应的是显式方法和隐式方法，具体的计算过程现在讨论的已经很多了。但是这种方法所求解的瞬态结果只能得到结构的响应，却无法获知系统的振动特性，这时候，就需要求解方程的模态解，以获取系统的固有频率和振形。

由于阻尼对系统的固有频率和振形影响不大，模态分析的出发点是无阻尼的自由振动，因此，方程可以简化为：

这即为系统的固有频率。

将其反带入振动方程中，即可解得一系列的φ的表达式，即为系统的固有振形。

一般来说，对结构影响较大的都是前几阶的固有频率和振形，因此对方程：

的求解可以只求得前几阶的解答即可，不过对于某些结构（比如航天飞机或者空间站等），对后面几阶甚至几十阶振形的考虑也是有必要的，在ABAQUS中，Lanczos方法采用矩阵相似变形法和迭代法相结合，可以解得模态分析中所需要的任何阶固有频率，是目前最常用的频率提取方法。

看到这里或许有人要说，为什么我们可以认为振动都是简谐的呢，其实在自然界中的振动当然不都是简谐振动，但任何一种振动形式基本上都可以用多个简谐振动的线性叠加进行表达，这个就是傅里叶变换的思想，这也就是在进行模态求解时获取固有振形的意义。