橡胶作为一种典型的超弹性材料，它的本构关系非常复杂。在大量的实验数据的基础上，人们建立起来很多理论模型来描述橡胶的力学特征。ABAQUS有限元软件为用户提供了多种橡胶材料的本构模型，用户可以根据实验数据做出选择。通过拟合实验数据，确定所选本构方程中的系数，这些过程在程序中可自动完成。

如图1为橡胶材料单轴拉伸实验中的应力-应变关系图。

http://mmbiz.qpic.cn/mmbiz/ibPA0zomXJw2ich2tTSOWbIeFLU4bvUQFSkhtG2uBmNkeGVydBJfnkQwAR6rXp19CibC5FAOezUVo01AeibVr69FNg/0?wxfrom=5

从图中可见，材料是非线性的，易于产生大变形，且在大变形时应力陡然上升。超弹性材料由于应力-应变关系复杂，所以才产生了种类繁多、解析式复杂的本构关系。下面介绍几种ABAQUS中提供的超弹性材料的本构关系：

1.Mooney-Rivilin模型

对于各向同性材料，应变能密度分解成应变偏量能和体积应变能两部分。

http://mmbiz.qpic.cn/mmbiz/ibPA0zomXJw2ich2tTSOWbIeFLU4bvUQFSZiaG5RfTz1u8wXIxzdE34n5J2rDz9WtIxc4Ht7R6TicfEiaKwvQzN6FrA/0?wxfrom=5

式中，N为选择的多项式阶数；Di的值决定材料是否可压(Di=0表示材料完全不可压)；J是橡胶变形前后的体积比；http://mmbiz.qpic.cn/mmbiz/ibPA0zomXJw2ich2tTSOWbIeFLU4bvUQFSzSRIRTzBJA6Y459Zbyk0CA3ekG1ZibPGiaPex9ibS31kwUng48KoHcxew/0?wxfrom=5为Cauchy-Green张量的第一不变量；Cij为泰勒展开式系数。

对于完全多项式如果N=1，只有线性部分的应变能保留下来，就是Mooney-Rivilin模型，如图2：

http://mmbiz.qpic.cn/mmbiz/ibPA0zomXJw2ich2tTSOWbIeFLU4bvUQFSKFlrUlibLFn6UWNFstzuho6wnuDKw7UicyzVxiabYKQicd13L0MKQdfQEw/0?wxfrom=5

http://mmbiz.qpic.cn/mmbiz/ibPA0zomXJw2ich2tTSOWbIeFLU4bvUQFSiaWGAb4fhE82UJHmd16zibNqVr8ydRPsibf9VYoYTEYicFGqpPnibc15udQ/0?wxfrom=5

2.Neo-Hookean模型

对于减缩多项式，N=1就得到Neo-Hookean形式：

http://mmbiz.qpic.cn/mmbiz/ibPA0zomXJw2ich2tTSOWbIeFLU4bvUQFScWXUWVOj7mBjJntkvj0G5SicGduicmeFY1gWTu3u7AicTxPV8jXUWic9hA/0?wxfrom=5

3.Yeoh形式

Yeoh形式是N=3时减缩多项式的特殊形式：

http://mmbiz.qpic.cn/mmbiz/ibPA0zomXJw2ich2tTSOWbIeFLU4bvUQFSY8fnexMiazPtx33cKQxBo6nPYKVINXibnAib5iaa8PblrqDCzfb7WmiaB6g/0?wxfrom=5

它产生典型的S形橡胶应力-应变曲线，如图4所示：

http://mmbiz.qpic.cn/mmbiz/ibPA0zomXJw2ich2tTSOWbIeFLU4bvUQFShvUmafxEOktVxOebmlpgtZELVNeba6MEURrnZicdCXReeg99ceKHsUQ/0?wxfrom=5

4.Ogden形式

Ogden应变能以三个主伸长率http://mmbiz.qpic.cn/mmbiz/ibPA0zomXJw2ich2tTSOWbIeFLU4bvUQFSK9YZ372MMVhLsEkWp5H6B3TXO3iawngXtFm2VFFOGIcmmGNOwPgYS3Q/0?wxfrom=5为变量，应变能密度形式如下：

http://mmbiz.qpic.cn/mmbiz/ibPA0zomXJw2ich2tTSOWbIeFLU4bvUQFSDERzRicEcibrEX0pnRKBxonYW6LEgibUomEAibHsloAyWyEhKZXV1iaKGog/0?wxfrom=5

5.Arruda-Boyce形式

该形式下的应变能定义为：

http://mmbiz.qpic.cn/mmbiz/ibPA0zomXJw2ich2tTSOWbIeFLU4bvUQFSQKLkCicV213lXaJKJvCsSQ4FPGM5sZ8Nl7icN2NXGGe1rAvDVwlGolOw/0?wxfrom=5

其中C1=1/2，C2=1/20，C3=11/1050，C4=19/7050，C5=519/673750. 该模型也成为八链模型，如图6所示：

http://mmbiz.qpic.cn/mmbiz/ibPA0zomXJw2ich2tTSOWbIeFLU4bvUQFSNeQCFKfEjtUdNIXvX3C6ydK2wYvtCRo463SSKw0zreExA5lTicwVuZg/0?wxfrom=5

6.Van der Waals模型

该模型定义的应变能为：

http://mmbiz.qpic.cn/mmbiz/ibPA0zomXJw2ich2tTSOWbIeFLU4bvUQFSTpAk0RzfOnOJ7GTn0opufbWxhVNaQzk0S7nGRdCog5DLMxhx149W3g/0?wxfrom=5

小结：ABAQUS提供的这几种橡胶超弹性材料本构模型可以准确的拟合材料应力-应变关系的变化。用户可以根据问题的具体要求，选择相应的本构模型来模拟材料的力学性质，力图用参数少，数学上处理简单的模型来得到相对精确的行为描述。