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多物理场仿真
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一篇文章入门无网格方法(1)

(2021-04-30 17:01:22)
标签:

杂谈

无网格

仿真

cfd

cae

分类: 网格划分相关

我们知道在有限元,边界元,矩量法等数值计算方法中,都是以网格为基础的。关于网格划分的介绍,参考一篇文章入门网格划分


考虑到有限差分,FDTD(时域有限差分)等方法也有网格,且这种网格和有限元方法网格有本质的区别。为了严谨和统一,笔者将以下内容作为区分是否有网格的标准:

即网格的拓扑结构是否在计算仿真中得到了使用。


拓扑结构即连接网格的方式,举几个例子:

1. 三角形,三个点,连接网格的方式为点1,点2, 点3,这种拓扑结构在有限元仿真中作为形函数使用,因此是有网格结构。

2. 二维的FDTD 元胞网格,每个节点被其它四个节点包围,虽然在显示中每个网格为四边形,但是并没有连接点1,2,3,4的拓扑信息,因此可以认为FDTD是一种无网格方法。

3. 使用扫掠生成的六面体三维梁网格单元。六面体一般直接使用四边形扫掠生成,因此比较规则,虽然网格看起来和三维FDTD一模一样,但是因为每个六面体会有基函数和形函数表达,因此是有网格方法,但是在具体网格类型上属于结构化网格,即非常规则整齐的网格。

4. 一维梁单元,一维的梁单元在几何表达上只有一条直线,两个点,但在计算中需要连接点的直线拓扑关系,因此也是有网格方法。

5. 格子玻尔兹曼方法,该方法主要计算分子之间的关系,不存在分子之间的拓扑关系,因此是无网格方法。

6. 边界元中,需要使用二维的网格计算三维内容,使用一维网格计算二维内容,也是一种有网格方法。

7. 有限体积法中会使用变形的拓扑网格结构,因此是一种有网格方法。


无网格方法的核心在于不使用网格拓扑构造的形函数,多数无网格方法构造的试函数是非线性的逼近或者拟合,不具有插值特性,或者使用粒子系统,因此当施加荷载或者添加边界条件时,需要用新的方法,比如拉格朗日乘子,直接配点,以及罚函数等。


按照计算原理,笔者把无网格方法分为三类:

第一类,构建新的形函数:

1.光滑粒子法(Smooth Particle Hydrodynamics Method, 也简写成SPH)

2.移动最小二乘法(Moving Least-Squares Approximation, 简称MLS)

3.重构核粒子法(Reproducing Kernel Particle Method, 简称RKPM)

4.单位分解(The Partition of unity method)

5.径向基函数法(Radial Basis Functions ,简称RBF)

6.点插值(Point Interpolation Method,简称PIM)

7.移动Kriging插值法(Moving Kriging Interpolation method)


第二类:使用粒子系统

1.格子玻尔兹曼(Lattice Boltzman method,  LBM)

2.离散元(Discrete Element Method, DEM)


第三类:使用Grid

1.有限差分/时域有限差分(FDM/FDTD)


无网格方法优点:不需要划分网格,不存在划分网格失败的情况,只需要节点信息,在计算过程中很容易进行加密和稀疏;而且一般无网格方法具有高阶连续性,且形式灵活,对于高梯度,大变形,奇异性等问题有较好的求解结果。对于粒子系统,可以很好的模拟不连续系统模型。


无网格方法有其固有优点,但缺点也是显而易见的,主要体现在以下两点:

1. 很多无网格方法并没有完善的数学理论基础,比如在收敛性,稳定性以及误差估计方面,还在探索阶段。这就导致工程应用上如果出现问题,很难解决。

2.无网格方法在计算效率上没有优势,有限元方法中的形函数取用统一的多项式函数,方便简单,而大部分无网格方法需要针对点取形函数,形函数有可能不同而且复杂,在计算对应矩阵的时候费时费力;再比如三维FDTD,需要在XYZ三个方向内嵌循环,计算量巨大。


无网格方法的其它相关缺点也直接间接和这两项相关。


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