加载中…
个人资料
多物理场仿真
多物理场仿真
  • 博客等级:
  • 博客积分:0
  • 博客访问:204,426
  • 关注人气:267
  • 获赠金笔:0支
  • 赠出金笔:0支
  • 荣誉徽章:
正文 字体大小:

一篇文章入门边界元法

(2020-11-16 19:42:17)
标签:

bem

边界元

多物理场

仿真

cae

分类: 求解器开发

老规矩,仍然针对软件研发测试工程人员,不会有公式积分,科普性文章。


在数值仿真领域,有限元方法一直是首选,但在一些细分领,其他方法可能更有效,比如有限体积法(FVM)对流体,边界元法(Boundary Element Method)对声,电磁散射。


在2005年关于SCI收录的数值方法统计中,有限元相关文献有66237篇,有限差分19531篇,边界元10126篇。


以声场为例,声音向外传播,作用区间是一个典型的无限范围,如果使用FEM,需要对整个区域划分网格,在三维空间随着计算范围的增大,四面体或者六面体网格数目会急剧增大。而采用BEM,只需要求解声场边界上的数值,大大降低了计算量,提高了计算效率。


边界元方法的核心:是只以边界上的变量为基本变量,求解也是边界变量,场内的未知量可以用公式根据边界变量求出。


BEM 基于解析解,在处理某些特定领域(声场,电磁场,连续介质弹性力等无限域问题)具有精度高,降低维度等特点,同时通过与FEM相结合,能够综合两者的优势,提高计算效率和精度。


前面介绍过声场的控制方程为赫姆霍兹方程,边界元方法的第一步是要将PDE转换为边界积分方程,对于三维空间的方程,需要使用格林函数将体积分转换为面积分。

通常流程是:

1. 利用算子的基本解作为权函数,按加权余量格式得到区域上的积分方程;

2. 利用高斯公式(格林函数)建立区域内积分和边界积分的关系,从而得到区域内任意一点的通解变量表示的积分表达式;(利用格林函数可以将三维体积分转为二维面积分)

3. 将基本解的奇异点P趋于边界点p,得到边界积分方程。

这个过程简称为用加权余量法建立边界积分方程。


BEM求解流程与FEM基本类似,划分网格,建立线性方程组,求解方程,不同的只是建立的本构方程不同。

因为BEM求解区域只在边界上,所以三维问题只需要划分面网格,二维问题划分线网格,使前处理工作大为简化。


既然BEM效率这么高,为什么使用范围不如FEM广泛呢?主要两点原因:

1. FEM 是一种纯数值解法,而BEM是半数值解,也就是说要以解析基本解为前提条件,有些情形比如非均匀介质,各向无规律异性等问题无法处理。

 

2. BEM方法最后形成的线性方程组为非对称满秩矩阵,限制了工程上的求解规模。桌面单机几千自由度就已无法解出结果,虽然通过FMM(快速多极子方法)解决了这个问题,但因为FMM算法本身实现也有一定难度,因而没有FEM应用广泛。笔者曾经计算标明:显示当模型自由度在15000以下时,传统的BEM效率更高,而大于15000时,传统BEM计算量会急剧上升,此时FMM的计算量仍然呈线性增长。


目前,边界元在电磁和声场领域应用较多,在连续介质结构也有较多研究,商业软件有BEASY,IntegratedSoft,FastBEM等。




0

阅读 收藏 喜欢 打印举报/Report
  

新浪BLOG意见反馈留言板 欢迎批评指正

新浪简介 | About Sina | 广告服务 | 联系我们 | 招聘信息 | 网站律师 | SINA English | 产品答疑

新浪公司 版权所有