《等边三角形》教学设计

一、教学内容：

专题——等边三角形

1. 等边三角形的概念。

2. 等边三角形的性质和判定。

 

二、知识要点：

1. 等边三角形的概念

两条边相等的三角形叫做等腰三角形，那么三条边都相等的三角形叫做等边三角形。

2. 等边三角形的性质

（1）等边三角形是特殊的等腰三角形，它的三边都相等，它的三个内角都相等，并且每一个角都等于60°。

（2）等边三角形是轴对称图形，它有3条对称轴，它的任一角的平分线垂直并平分对边。

（3）直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半。它是由等边三角形的性质得出的，体现了直角三角形的性质，它的主要作用是解决直角三角形中的有关计算问题，特别是在以后的学习中应用更广泛。

蒂莲3. 等边三角形的判定

（1）等边三角形的定义：三条边都相等的三角形是等边三角形。

（2）三个角都相等的三角形是等边三角形。

（3）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。

 

三、考点分析：

等边三角形是一种特殊的等腰三角形，在中考中经常出现，对这部分知识的考查主要是：等边三角形的性质和判定，即边与角的互相转化。

 

【典型例题】

题型1：角度的计算

例1. 如图所示，△ABC是等边三角形，AD为中线，AD＝AE，求∠EDC的度数。

 

分析：先求出∠DAE＝30°，∠AED＝∠ADE＝75°，结合∠EDC＝∠AED－∠C可求。

解：∵△ABC为等边三角形，AD为中线，

∴∠DAE＝∠BAC＝×60°＝30°。

∵AD＝AE，

∴∠ADE＝∠AED＝×（180°－∠DAE）

＝×（180°－30°）＝75°。

∵∠AED＝∠EDC＋∠C，

∴∠EDC＝∠AED－∠C＝75°－60°＝15°。

评析：求角度时注意利用等腰三角形或等边三角形中角的关系及三角形内角和定理。

 

题型2：线段的计算

例2. 如图所示，在△ABC中，AB＝AC＝2,∠B＝15°，求腰上的高的长。

 

分析：△ABC为钝角三角形，要准确作出高CD。

解：过C点作CD⊥BA交BA的延长线于D。

∵AB＝AC，

∴∠B＝∠ACB＝15°（等边对等角）。

∴∠DAC＝∠B＋∠ACB＝30°。

在Rt△ADC中，∠DAC＝30°，

∴CD＝AC＝1．

∴等腰△ABC腰上的高为1．

评析：准确作出高和利用直角三角形的性质是解决本题的关键，直角三角形中，30°角所对的边等于斜边的一半，在计算中应用广泛。

 

题型3：证明线段相等

例3. 如图所示，已知△ABC和△BDE均为等边三角形，求证：BD＋CD＝AD。

 

分析：证明BD＋CD＝AD，将AD变为AE＋ED，只要证明BD＝DE，CD＝AE就可以了。

证明：∵△ABC、△BDE为等边三角形，

∴BE＝BD＝DE，AB＝BC，∠ABC＝∠EBD＝60°。

∴∠ABE＋∠EBC＝∠DBC＋∠EBC。

∴∠ABE＝∠DBC。

在△ABE和△CBD中， ，

∴△ABE≌△CBD（SAS）。

∴AE＝CD。

而AD＝AE＋ED，ED＝BD。

∴BD＋CD＝AD。

评析：本题主要应用了等边三角形的性质和全等在证线段相等中的应用。

 

题型4：综合创新应用

例4. （2008年广东）如图所示，点O是线段AD的中点，分别以AO和DO为边在线段AD的同侧作等边三角形OAB和等边三角形OCD，连结AC和BD，相交于点E，连结BC。

 

（1）求∠AEB的大小；

（2）如图所示，△OAB固定不动，保持△OCD的形状大小不变，将△OCD绕着点O旋转（△OAB和△OCD）不能重叠），求∠AEB的大小。

 

解：（1）∵△OCD和△OAB为等边三角形，

OA＝OB＝OC＝OD，且∠AOB＝∠DOC，

∴∠AOB＋∠BOC＝∠COD＋∠BOC，

即∠BOD＝∠AOC，∴△AOC≌△BOD，

∴∠DBO＝∠CAO．

∵∠BAC＋∠CAO＝60°，∴∠DBO＋∠BAC＝60°。

在△ABE中，∠AEB＝180°－（∠BAC＋∠DBO）－∠ABO，

又在等边三角形OAB中，∠ABO＝60°，

∴∠AEB＝180°－60°－60°＝60°。

（2）∵△OCD和△OAB为等边三角形，

OA＝OB＝OC＝OD，且∠AOB＝∠DOC，

∴∠AOB＋∠BOC＝∠COD＋∠BOC，

即∠BOD＝∠AOC，∴△AOC≌△BOD，

∴∠DBO＝∠CAO．

∵∠EAB＝∠OAB－∠CAO＝60°－∠CAO，

∠EBA＝∠OBA＋∠DBO＝60°＋∠DBO，

∴∠EAB＋∠EBA＝120°。

在△ABE中，

∠AEB＝180°－∠EAB－∠EBA＝180°－120°＝60°。

△OCD旋转到任何位置（与△AOB不重叠），∠AEB＝60°

评析：两个等边三角形的组合问题，常用的解法是找一对全等的三角形，它们的两组对应边往往是等边三角形的边，对应夹角是一个公共角加上等边三角形的一个角。

 

例5. （2008年德州）如图所示，C为线段AE上一动点（不与点A、E重合），在AE同侧分别作正三角形ABC和正三角形CDE，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连结PQ。以下五个结论：①AD＝BE；②PQ∥AE；③AP＝BQ；④DE＝DP；⑤∠AOB＝60°。恒成立的有__________（把你认为正确的序号都填上）。

 

分析：①在△ADC和△BEC中， ，得△ADC≌△BEC，从而AD＝BE；②由①得∠DAC＝∠EBC，显然∠BCD＝60°，有∠ACP＝∠BCQ，又AC＝BC，所以△APC≌△BQC，所以PC＝QC，所以△CPQ是等边三角形，易得PQ∥AE；③由②得AP＝BQ；④假设DE＝DP成立，则DP＝DC，有△PCD是等边三角形，矛盾。所以DE＝DP不成立；⑤∠AOB＝∠DAC＋∠BEC，由①∠DAC＝∠EBC可得，∠AOB＝∠EBC＋∠BEC＝∠ACB＝60°。

解：①②③⑤

 

【方法总结】

1. 构造等边三角形证明线段和角相等。

2. 从线段相等，结合全等三角形及角平分线性质实现相等线段的代换。

 

【模拟试题】（答题时间：40分钟）

1. 如图所示，O为等边三角形ABC内一点，∠OCB＝∠ABO，求∠BOC的度数。

                                               

2. （2008年福州）如图，已知△ABC是边长为6cm的等边三角形，动点P、Q同时从A、B两点出发，分别沿AB、BC方向匀速运动，其中点P运动的速度是1cm/s，点Q运动的速度是2cm/s，当点Q到达点C时，P、Q两点都停止运动．设运动时间为t（s），当t＝2时，判断△BPQ的形状，并说明理由；

                                                  

3. 如图所示，在△ABC中，AB＝AC，AE⊥AB交BC于E，∠BAC＝120°，AE＝3cm。求BC的长。

                                  

4. 如图所示，已知△ABC和△BDE都是等边三角形，求证：AE＝CD。

                                              

5. （2008年山西）如图所示，已知△ABC是等边三角形，D、E分别在边BC、AC上，且CD＝CE，连接DE并延长至点F，使EF＝AE，连接AF、BE和CF。请在图中找出一对全等三角形，用符号“≌”表示，并加以证明。

                                         

6. （2007年菏泽）如图所示，点C是线段AB是任意一点（C点与A、B点不重合），分别以AC、BC为边在直线AB的同侧作等边△ACD和等边△BCE，AE与CD相交于点M，BD与CE相交于点N，求证：（1）△ACE≌△DCB；（2）MN∥AB。