小 学 数 学

第四讲 注重数学本质  提高数学素养（1）

第五讲注重数学本质  提高数学素养（2）----12页

第六讲  如何帮助学生形成自然数概念----23页

 

第6讲  如何帮助学生形成自然数概念

黄建弘（上海师资培训中心实验基地  特级教师）

宋永福（上海师资培训中心实验基地 中学数学一级教师）

 黄：各位老师大家好！今天我们讨论的课题是：如何帮助学生形成自然数概念。

 宋：黄老师，按全国《课程标准》，对自然数概念的教学要求比以前已经大大提高。自然数概念的形成过程已经由从“个数”和“序数”角度来认识自然数转为从多角度来认识，当然这一过程是逐步地，是在学生的具体活动中进行的，其跨度为整个小学阶段。您能具体介绍一下如何帮助学生形成自然数概念吗？

黄：首先，上世纪六十年代后，逐步用集合论来处理自然数及其运算。教学心理的成果逐步地在小学数学教学当中得到了应用，突出的是“分类放在计数的前面”，由于皮亚杰多年研究后得出：自然数概念的发展不会早于类概念（分类结构）的发展，所以现在大多数国家将分类放在自然数概念之前。

例如目前在自然数概念引入的时候常常先进行有趣且有益的分类活动。也就是先分一分再数一数。这种活动使学生既产生了分类的思想，又开始有了类的逻辑的经验，国际上最著名的分类逻辑学具是彩色图形片，

现在请大家看图片：

它是根据颜色（红、黄、蓝、绿）、形状（圆形的、三角形的、正方形的）和大小（大的、小的）而组成的24片图形片。儿童可以从颜色、形状、大小对彩色图形片进行分类。

 先按颜色进行分类；然后可以按大小进行分类；最后是按形状进行分类。

 这种分类活动几乎在国际上所有的教材当中都有。它既能有趣地引导学生建立关于“类”概念的有关经验，又能建立有关的逻辑的经验。

学生通过分类以后，积累了类和逻辑的经验。

下面请看图片，学生知道大的正方形和小的正方形，并起来就是正方形，在彩色图形片的分类过程中，同时为认识几何的基本图形积累了经验

关于分类的教学，还有很多其他的例子。

现在请看下面的例子：

这是六盆花，它按颜色进行了分类；这里有8个球，它们按功能进行了分类；这里有7个学生，按性别进行了分类；这里有8本本子，按大小进行了分类；这里是按状态进行分类；这里按颜色进行了分类；这个题目是很有趣的题目，第一次它根据篮子不同的形状进行了分类，第二次它根据篮子里有没有水果进行了分类。

最后一个分类的题目是一个很有趣的题目，对儿童的发散性思维的培养是很有益的。因为儿童可以从篮子的形状来分类，也可以从篮子中是否装有水果来分类。

这就是说，对于相同的东西，引导和培养学生从不同的角度去进行思考，进行分类，这就是培养了儿童的发散性思维。

 宋：那么，帮助儿童建立了类的概念后应该怎么做呢？

黄：现在的教学处理，分类与计数有时几乎是同时进行的，分了类就要数一数有几个，这样就产生了基数，包括有些分类分出的集合是空的，这就产生了零。这也就是为什么现在要将零也归入自然数的一个原因。这样就帮助儿童建立了基数（个数）的概念。

基数在小学里都称为“个数”。

 宋：黄老师，从上世纪七十年代开始，自然数就作为一个复杂概念出现，是这样吗？

 黄：是的，上世纪七十年代开始后，对新数学进行了批评后，自然数概念就被理解为一个复杂的概念，有更多的观点相互补充，比如讲维特曼(Wittmann) 在1972年他发表了他的观点；斯坦因(Steiner)  在1972年也发表了一些有关的观点；著名的数学教育家弗赖登塔尔(Freudenthal)在 1973年也发表了观点，之后，国际上就把自然数的概念作为一个复杂的概念，做得非常富有成果。

这些观点相互补充，使自然数概念在小学的学习中进一步地形成了下面多角度的布局：

第一个从基数的角度

数被用来作为集合中元素的个数的标记。

这里的“数”是作为回答问题“几个？”的答案，在语言上有的时候这些基数还会有名称。比如说2枝（铅笔）。那么就用2枝来回答。

在这里要帮助儿童认识到：在计数过程中计数的对象与计数的结果是无关的，这是非常重要的。比如有3个苹果，计数的结果是3；3个足球，虽然对象不同了，但计数的结果仍然是3。

下面我们来播放一断关于从基数角度来帮助学生认识自然数的媒体。

在这个活动中，学生既对物件进行了分类，又按照它的个数，将这个类、这个集合跟数词、数字联系了起来，比如讲这里是3个书包，它就跟数词“三”，数字“3”联了起来。

象这样的活动，对儿童的思维发展是非常有好处的，它既分了类，又数了数，又认识了数词，又认识了数字。教师在这个教学过程当中，应该有足够的耐心让学生们自己动手来做，而不要以为学生已经会数数了，甚至说有的学生已经能够数到100了，就忽略了这些对思维很有好处的活动。

 第二从有序的角度来认识

序数，数是用来作为一个全的有序排列中元素的位置的标记。这里的数作为回答问题“第几个？”的答案。序数的表示方法有两种，一种用文字“第一、第二、……”来表示，另一种是用阿拉伯数字加点，1在它的右下方加一点“1.”，表示第一，2在它的右下方加一点“2.”，表示第二，等等。

实际上，在计数的过程当中，就已经用到了有关“序数”的概念，因为在计数过程当中，自然数的序列是一直被念下去的。例如对5个苹果进行计数的时候，不管是孩子或成人，都会嘴里念1，2，3，4，5。当然也有的人是在心里默念的。

现在我们来看，如何帮助学生从序数的角度来认识自然数，并如何与基数相区分。

 这是一个非常有趣的，而且有教育意义的活动，学生都在按序地排队买冰淇淋，小胖从远处赶来，那么现在的次序，我们可以区分出谁排在第一，谁排在第二，谁排在第三，然后让学生可以自己填谁是第四，谁是第五，谁是第六，谁是第七，在第一第二第三这个下面一行就是用阿拉伯数字来表示序数。我们就写到第一第二第三，第四以后呢就由学生自己来填。学生通过这个活动，他对序数有了认识，并且由于他是自己参加了这个活动，所以他就建立了很好的一个表象。这时候，小胖插队了，插队以后然后要重新排序，很显然，小胖就插入了第三个位置，遭到了大家的批评，然后小胖很不好意思地就站到了队伍的后面，这里还有一个情节，就是每当一个小朋友买完了冰淇淋以后，这个队伍就向前靠了，每个人的序数也有了变化，所以这个活动对学生关于序数能力的培养是非常好的。

在教学实施的时候，目前国内外的教材都提供了学生熟悉的环境，让学生几乎同时形成了基数与序数的概念。实际上在回答“有几个？”的时候，学生在计数过程当中必须同时用有序的自然数序列与对应的思想（口中念的数与被数的物件，即集合当中的元素对应起来）。

由于在心理的过程上基数与序数几乎是同时进行的，都设有“几个与第几个”这一节，一来为了强调它们之间的关系，二来突出了重点。此外让学生能及时地在语言上掌握数词、数字、序数词以及它们之间的关系也是很重要的，要要求学生能够熟练地数、读、写。

 宋：自然数除了表示基数与序数外，还有什么其他的意义？

 黄：数还被用来作为一个行为或者一个过程反复出现的次数。这样的理解对我们是新的，下面请看图片

图片当中的“3”表示：5重复加3次

在这张关于体积的图片当中，大家可以看到同样是3，这里的3表示a重复地乘了3次

这里的数都是作为回答问题“重复多少次？”的答案来出现的，比如，一次，二次，三次，……。

 宋：黄老师，我们已经从基数、序数、运算次数三个方面来认识自然数了，请您继续给大家介绍。

 黄：接着我们来谈一谈从量的角度（也就是量数）来认识自然数。

这里的数被用来作为度量单位选定以后，注意一定要度量单位选定以后，然后才能得到量数，相关的问题有“多大？多长？多重？”等等。

这是一张关于克与千克的图，这个活动是要称一称老师的字典有多重，称出的结果是这本字典是1000克，这个1000就是量数。

量数参与计算的时候，要否同时写上单位的名称，在教学界有两个观点。一种是整个计数过程当中都要写上单位的名称，这样学生就不容易产生将两个不同的单位的量数相加。物理与化学教学界常常提出这个要求。另一种观点是认为只要在结束的时候才标出单位的名称，当然这个是数学教学界，说是为了减轻负担，我认为这个是站不住脚的，对学生是无益的，也不减轻负担。因为这样做，虽然减轻了书写上的负担，但却带过来来一个计算过程当中思维上的负担。很多物理与化学上的错误都是因为不是同一个单位相加，学生搞错了，比如讲，如果把2克和3千克当中的2和3相加，因而引起了错误。

 宋：对，请黄老师再从计算数的角度来认识自然数的意义，再讲一讲。

 黄：从计算数的角度来看

自然数集对于加法运算和乘法是一个半群，所以自然数当然可以作为一个计算数参与运算。

例如 7+8=15

7×8=56

这里的7、8、15、56都是作为计算数出现的。

 宋：自然数的还可以从编码、代码的角度来认识，黄老师请您继续介绍下去。

 黄：自然数被用来作为编码和代码是在2000年以后，就是面向新世纪的课标规定的。我记得，弗赖登塔尔在1973发表的当书中，还没有把编码列入自然数的概念的多角度的认识，由于21世纪进入了信息社会，所以编码就非常重要，现在自然数是被用作来作为对象区分的标记（比如电话号码、邮政编码、坐标，商店里的条码图等等）。

这个课页的意思是，元旦要到了，大家都要写贺卡，贺卡上面一定要有邮编，那么邮编上的字表示什么意思呢？大家可以看看，这封信上的邮编是743011，那么，邮政编码是由六们数字组成的：前两位数字是表示省、直辖市或者是自治区，前三位数字表示邮区，前四位数字表示县（市），最后两位数字表示投递局（或投递所）。

值得注意的是：

上述各种观点之间的统一是通过计数的角度而形成的：因为我们上面从多角度解释了关于自然数的意义，那么大家可以思考一下，不管哪种观点，都离不开计数，例如通过计数来编号获得楼座号，通过清点来获得集合当中元素的数目和行为重复的次数，通过用一个单位去截一个量，然后通过清点获得截得的份数以及获得量数和通过继续计数例如获得加法的结果等等，都离不开计数。

在这些不同的角度当中有趣的是，一些（例如基数、计算数）与表达数的符号体系有关，比如讲同样是5，在十进制当中表示的方法和二进制当中的表示的方法是不同的。而另外的角度（比如序数、运算次数、量数和代码）又在不同的情况下有不同的含意。人们要根据具体的情景去区分它们。

在上述多角度的自然数概念中，序数与基数是最基本的。

 黄：我们已经从六个方面来认识了自然数，小学中通过哪些活动来帮助儿童发展自然数概念呢？请宋老师讲一讲。

 宋：虽然自然数概念的形成已成为多角度的局面，但计数仍然是统一这个局面的重要活动。

计数是儿童发展自然数概念的重要手段。我们先请黄老师具体地谈一谈吗？

 黄：唱数与数数活动是儿童形成数概念的起点。

像幼儿园里、小学的低年级，老师常常会让学生进行唱数歌，唱数就是唱数歌，数数。儿童大约在二岁到四岁的时候开始模仿大人学会唱标准的自然数序列到他能唱到的数为止。不是每一个人都一样的，都是跟他的家庭有关，跟他的环境有关的，是因人而异的。唱数是模仿活动，儿童是没有办法创造的，这主要是决定于他的环境。

进了幼儿园和小学以后就有了数数的活动，当儿童能唱标准的自然数的序列到某一个数的时候，比如能唱到十，二十，一百的时候，就能使用所唱的标准的自然数的数词序列为工具来对集合进行计数。比如我能够唱到二十，这里正好有18朵花或20朵花，我就能够数到18或者20，如果说我唱数歌只能唱数到20，而被数的花有30朵花的话，我就数不下去了，我最多能够数出来20。

所以，被测定集合中元素的个数一定要小于儿童能唱的标准自然数序列的最后一个数。

 宋：在刚开始时，儿童的数数活动常会出差错。例如说，唱数词序列的活动过长（也就是集合中元素的个数相对儿童的年龄太多了），儿童的注意力尚有限，儿童一般能正确地数但有快慢之分，家长或老师只能多作示范，因为儿童学习的模式来自“大人示范—儿童模仿”。决不能操之过急，对于出错多的儿童，有时只能耐心等待。而成人应该把握的重点是一：儿童唱标准自然数数词序列的前后次序，所以常常可以进行关于邻数的活动，即这个数的前一个数是什么，后一个数是什么；二是儿童是否对一堆“被数的物体”（即集合）进行一个数词对一个物体的一对一点数的“数数活动”。

黄：这个数数活动是非常重要的，它也就是培养了学生积累关于一一对应的经验。因为数的过程当中，比如讲，这里三朵花，一、二、三，我数的过程中就有个一一对应的过程，如果儿童达到了你讲的这两点，就说明他已经有了最初的关于某数的概念，比如讲数6这个概念，当然是从基数的角度和序数的角度来说的。

 宋：接着，自然数概念从多角度特别是运算中得到进一步发展。

自然数概念从多角度得到发展，例如测定量数时还会得到发展，最重要的是在运算中作为计算数更进一步地得到发展。随着“被数物体”（集合）的个数的不断改变，逐步地积累不同数量的数数活动。儿童数概念水平得到提升并向精确发展，可以说儿童数概念的持续发展靠数数活动的积累。

 黄：但数概念的持续的发展则是在自然数加减法的基本能力的培养当中。例如自然数范围内的加法情景的文字题“小胖有8张邮票，小丁丁有4张邮票，两个人合起来有多少呢？”在回答这个问题的时候，自然数的说读写做的能力会得到进一步地发展。他们在加减法问题当中将不断地进行“数数活动”或将数作为计算数来操作。前者是可以分为继续数：因为小胖有8张邮票，然后他继续数， 9、10、11、12，噢，有12张邮票；或是把这小胖的8张邮票和小丁丁的4张邮票，合起来数，然后确定总量，这是前者，这是一个数数活动，不管是继续数，还是合起来数，反正它是一个数数活动；后者呢是一个加法运算的活动，就是将8+4变成8+2先凑成10，然后再加2，最后得到12张邮票。

 宋：在这个过程中，有些学者认为，在实际操作中要强调：

第一，唱数活动是数数活动的预备活动，所唱的标准自然数序列是数数活动的工具。

第二，做数活动，也就是说，看到一个数字或听到一个数词能拿出对应数量的具体物，和数数活动是解决自然数加减法问题活动的预备活动。

第三，自然数的说、读、听、写、做活动是学习自然数加减法的预备活动。

 黄：你讲的都对，下面我们来探讨一下数数的高级阶段，数数的高级阶段就是“几个几个地数”

新世纪发达国家小学课标当中都有“几个几个地数，这个几个几个的数，通俗一点讲就是一组一组地数，比如讲五个一数、十个一数。学生在初步学习百以内数的计算以后就可以对较大的（一般在百以内）被数物体群（即集合）的个数进行几个几个地数并建立计算模型。有两个一数的，五个一数的，十个一数的，然后通过运算得到最后的结果。经调查发现二年级学生能用多种方法进行“几个几个地数”，并与算法相结合，通过建模来解决数苹果的问题。我看了这个实验，我感到非常好，因为学生在这个整个活动过程当中非常活跃，有两个一数的，有五个一数的，有十个一数的，然后自己确定一个计算公式把它计算出来。

 目前大都数国家已经将“几个几个地数”定为教学目标。

下面请看课件

这是50个苹果，包括我们成年人，如果你去数的话不一定能够数对，怎么样才能够又正确又容易的把它数出来呢。下面我们来看。

 宋:这张苹果图表面的复杂性，会使人第一眼看到这个问题就觉得，要数好是相当困难的，经仔细观察后，如果他们能发现图中苹果排列的特征就能使数苹果变得容易。

 一般地说，儿童首先想到的是一个一个地数，从头数到尾，这种数法最耗费时间且容易数错；

有的儿童能想到两个两个地数，也就是一对一对地数，这种方法比前面的方法要好；

有的儿童采用五个五个地数的方法，可细分为两种，我们来看；

有的儿童采用十个十个地数的方法，也可细分为两种，我们来看：

 这里，我们可以看到第二种比第一种分得更清楚，不容易错；

还有儿童想出了其他的数苹果的方法，这里斜向计数是关键，都用到了“对称”的有关经验：这种方法在最后计算时相对比较麻烦；还可以用对角线分开来数，这样只需数出一半的苹果数，然后再加倍即可。

 宋：刚才我们看了一个非常有意思的课件，那么，黄老师，自然数集是一个无穷集合，这种思想如何渗透到小学中去呢？

黄：自然数的学习在小学的高年级开始出现与无穷集合结合的萌芽，注意，只能说是萌芽，孩子们通过经验知道自然数没有最大的，因为如果说，宋老师你说N是最大的，那么他会说N+1比你说的数还要大。这些铺垫是慢慢地完成的。你还记得吗？在低年级的时候，我们常常会出这一类题目，比如“说出某个自然数的邻数”，比如14的邻数是什么，学生会正确地回答是13和15，还会提“某一个自然数的下一个自然数是什么”，比如说{ 20的下一个自然数是什么，学生就会非常快地回答21，这些活动都是为“自然数是无穷无尽的”的出现做了一个理解上的一个准备，或者是打下了一个基础。

小朋友已长大，我们来看一看，他们是否能从多角度来认识自然数。

0是最小的自然数，然后再研究自然数有没有最大的，这个时候小巧说，我读到最大的自然数是光一年走的千米数，是9460800000000，小胖说，我只要把你这个数加上1，就比你还要大，然后学生们就理解了，没有最大的自然数，自然数会一直延续下去，永远不会结束。

下面一个活动，是自然数可以表示什么？例如3，小巧说它可以表示个数，例如3个；还可以表示序数，例如第三名；小胖说可以表示计算结果，例如2+1=3；还可以表示重复计算的次数，例如3个2相加；小亚说可以表示量数，例如3千克；小丁丁说可以表示编码，比如邮政编码中的3或3号运动员等等。

最后师生共同总结：1. 0是自然数，2. 每一个自然数都只有一个自然数接在它的后面，自然数n后面的一个自然数是“n+1”；3. 最小的自然数是0，没有最大的自然数。

 黄：前面我们讲了从多角度来认识自然数概念，其中从编码的角度来认识自然数对小学数学教学来讲，是一个全新的内容，那么，如何上好这一课呢？我们来看一个关于编码的课的教学实录，以供大家参考。

我们先来看一个片断。

案例6—1  （上海市徐汇区逸夫小学  孙琰）（字幕）

 黄：由于身份证号码是学生在日常生活当中经常会遇到的，现在每一个儿童，他出身的时候就有一个身份证号码，所以这个教学内容对学生是应该能够激发他们的兴趣的，同时也能够让学生深切体会到数学与生活的关系：数学是与生活紧密相连的。

这一片断主要向学生介绍了身份证号码中各个数字所代表的特殊意义，让学生体会到身份证号码这一连串的数字中包含的信息，进而认识到身份证号码的科学性。

我们下面再看第二个片断：

案例6—2  （上海市徐汇区逸夫小学  孙琰）（字幕）

 黄：这个片断的教学设计，设计得我感到比较好，通过双胞胎姐妹的身份证号码的相同之处以及不同之处，使学生进一步认识到身份证号码中各个数字所代表的具体含义，并且认识到身份证号码是唯一的，每一个人的身份证号码都是不能重复的，进一步体会到身份证号码的科学性。

我下面布置一个作业：请各位老师从自然数概念形成多角度的观点出发，对以前的教学进行审视反思，并修改有关的教案。

（插入作业的幻灯片）

 黄：刚才我跟宋老师主要讲了如何帮助学生从多角度来认识自然数的概念，这一讲就讲到这里，谢谢大家！

第7讲 如何帮助学生建立分数的初步概念

宋永福  中学数学一级教师  上海师资培训中心实验基地

张叶清  中学数学高级教师  上海师范专科学校附属小学

宋：各位老师大家好！我们这一讲的主题是如何帮助学生建立分数的初步概念。在小学阶段，分数概念是非常重要的数概念。因为从历史上看，分数是自然数系的第一次扩充。对于学生而言，这也是认识上的一次重要的飞跃。这一讲我们就来探讨一下如何有效地促进学生对分数初步概念的理解，从而帮助学生建立分数的初步概念。

在全国各个版本的小学数学教材上，一般在三年级第一次引入分数概念，我们把它称之为分数的初步概念，通常是这样来定义的：把单位“1”平均分成若干份，表示这样的一份或几份的数，称为分数。也就是说，如果将一个单位平均分成了p份，表示这样的q份，就用 来表示，就叫做分数。这也是张奠宙先生前面说过的分数的“份数”定义。那么如何帮助学生建立分数的初步概念呢？

 张：一般地讲，小学阶段属于形象思维阶段，对于这一阶段的小学生，我们在教学时应多注意通过具体直观的模型来帮助学生认识分数的初步概念。

 宋：我非常同意张老师的看法，因此，在进行分数概念的教学时，我们常用到一些直观具体的模型，来帮助学生学习分数。关于分数的教学模型，一般来讲有两类，分别是连续量模型和离散量模型。其中最常用的连续量模型是圆型模型和线型模型，常用的离散量模型就是小圆片。

 张：那么，宋老师，在教学中我也常用到这三种模型，那么为什么要选取这样的三种模型来帮助学生直观地认识分数初步概念呢？

宋：这样的，这三种在分数教学中常用的模型具有不同的地位和作用。比如说圆型模型，因为分数概念是建立在平均分的基础上的，而对圆形模型平均分活动的结果，都是同一形状，儿童可以通过重叠的方式，来检验平均分活动的完成。

我们建议在最初学习分数时，不使用正方形或长方形的物体进行等分割的活动。因为由于分割的方式不同，可能产生等积异形的分割结果。就比如说这里的正方形，把它进行四等分割有3种不同的形状。由于儿童刚接触分数，比较难理解“这些不同形状的分割结果都可以用同样的分数来表达”。

张：分数初步概念的教学，遵循由简到难的一般教学规律，因此，学生一开始学习分数时，我们总是先介绍最简单的情形，比如说将一个大饼平均分成4份，每一份是多少个大饼？等等诸如此类的问题。在这里，分割的对象都是单个的物体。然后逐渐地将分割的对象从单个物体发展为任意的一个整体，可以是一盒铅笔，一箱苹果等等。这时，我们可以问“一盒铅笔共有10枝，其中的3枝是多少盒铅笔？”这样的问题。因此，分数的初步概念教学还需要离散量模型，以帮助学生完善分数的初步概念。

宋：而在这个过程中间，我们需要做一个铺垫，那就是线型模型。线型模型可以沟通连续量（比如说一个大饼）和离散量（比如说一盒铅笔）之间的联系，因为学生已经有了这样的经验：一条绳子，它的长是5米，也就是5个1米。这里，5米长的绳子它本身是一个连续量，但是对于学生来说还可以将它理解成是5个“离散”的1米所组成的。这样，线型模型就沟通了连续量模型和离散量模型之间的联系，这也就体现了线型模型的意义。

张：有了这三种模型，学生就可以在直观形象的基础上学习分数的初步概念。像前面所说的，分数是自然数系的第一次扩充，那么我们的小学生就应该在自然数的基础上来学习分数的初步概念，在分数初步概念的教学中应抓住哪些与自然数学习的相关经验来帮助学生学习分数呢？

 宋：学生在学习分数之前，已经具备了许多关于学习自然数概念的经验。分数初步概念的教学应尽量结合学生学习自然数的经验来进行。

我们可以联系自然数与分数之间的关系，比如说，自然数，它的单位是1，分数也有分数单位，我们举个例子，它是；自然数中我们说“3个1就是3”，分数中我们也可以这样说“3个就是 ”；自然数中有“1，2，3，4，……”这样的自然数序列，那么在分数中也有“ ，……”分数的序列。

这里它的关键是：构成自然数序列的基础是“几个一就是几”，突出了单位，那么构成分数序列的基础是“几个几分之一就是几分之几。”同样也突出了分数单位。

因此，对于分数的初步概念，可以这样来进行教学：

第一步：初步认识整体与部分之间的关系。因为用分数表示整体与部分之间的关系是分数初步概念的起点。同时，它揭示了单位“1”不仅可以表示单个物体，例如一个大饼，一根绳子等，也可以表示多个物体的组合，如一盒铅笔、一群鸭子等

 张：大家在这里可以看到，在教学整体与部分的关系时，同时可以对三种模型进行介绍。

 宋：第二步：通过具体操作、直观认识几分之一。

从心理学的研究来看，学生对单位分数（也就是说是分子为1的分数）是较先发展的分数概念，学生在处理与面积有关的分数问题时，先学会，其后是 …在处理与长度有关的分数问题时，先会处理，其次是 …。

这里请大家看个课件：

另有专家指出，分数教学应尽量利用儿童对平分与公平的直觉，在学习上应从最容易的“对半平分”（也就是一半）、“对分再对分”（就是四分之一）开始，在这种情况，儿童也比较容易操作。

大家可以看一看：一个蛋糕，小胖和小丁丁两人对半平分，每人分到多少个蛋糕？对半平分，也就是一人一半，然后引出一半可以用来表示，读作二分之一。

这个场景，有4个小朋友平均分一个蛋糕……

 张：我在具体进行分数初步概念的教学时发现，很多小学三年级学生在处理分数问题时，只注意到单位被分割成几块，而没有注意到每一块是否相等。因此各位老师在教学时，要经常提醒学生先判断是否等分，使学生养成在使用分数前首先判断是否等分的习惯，从而逐渐把握分数的初步概念。

宋：对！帮助学生建立分数初步概念的第三步是：通过几个几分之一的累积来认识几分之几。正如前面所说，通过单位分数的累积来认识几分之几，可以有效地使学生联想到自然数的学习经验，为学生顺利地学习分数的初步概念创造条件。

这里，大家再看一个课件：把一条长为1米的纸带平均分成了3份，其中的2份的长是多少米？这里需要大家注意的是：一段的长度是米，2段的长度就是 米，也就体现了用单位分数几分之一的累积来认识几分之几。

 张：值得注意的是，在学习几分之一与几分之几这两个阶段的教学时，教师可以布置分数的听、说、读、写、做活动，从而帮助学生掌握分数的初步概念。那么，什么是分数的听、说、读、写、做活动呢，请宋老师给大家介绍一下。

 宋：我们这里仅以连续量（一根绳子）为例说明各活动的具体内容：

所谓的“说”，它的活动是指：教师出示一条绳子，问学生把这条绳子平均分成了5段，然后指着这其中的2段说一说是多少条绳子。

“写”的活动是指：教师出示一条绳子，问学生把这条绳子平均分成5段，指着其中的2段写一写是多少条绳子。

“听”的活动是指：教师念出一个分数数词，要求学生写出分数数字。

“读”的活动是指：教师写出一个分数数字，要求学生读出分数数词。

“做”的活动分为两种，一种是：老师出示一条绳子，口头问学生 条绳子是什么意思，要求学生能用实际的、图象的或口头描述“等分割再合成其数份”的操作活动来指明其数量。

另一种是指：老师出示一条绳子，写出 条绳子，并问学生这是什么意思，同样要求学生能用实际的，或者图象的或口头描述{的（删）}“等分割再合成其数份”的操作活动来指明其数量。

 张：学生学习分数的初步概念的第四步是：继续通过三种模型及“几分之几就是几个几分之一的累积”来帮助学生进一步掌握分数的初步概念。比如说学习分数大小的比较以及同分母分数的加减计算：

这里请大家看一下课件：

在同分母分数的比较中，学生在具体的问题情境中比较和 的大小。

学生可以通过画模型图进行比较，也可以由“几分之几就是几个几分之一”，比较容易理解 “3个 比7个 小”，从而得出“ < ”的结论。

值得注意的是，在这里，考虑到学生的个体差异，他们解决问题的方法是多种多样的。有些学生采用的是画圆型模型图的方法来进行比较，有些学生采用的是画线型模型图进行比较，也有学生会采用画离散量模型来进行比较，这些学生都是采用画直观模型图的方法来进行比较。而有些同学则直接采用“几个几分之一就是几分之几”的观点进行推算。相比而言，前者较直观，易懂，而后者虽然相对抽象，却体现了整个分数初步概念学习的要领。

 宋：在同分子分数的比较中，也可以用同样的方法来进行。这里要分成两个阶段来进行：

第一个阶段是比较单位分数的大小，可以通过画模型图的方法进行比较，同时可以结合日常生活中“一个整体平均分成的份数越多，每一份就越小”这一常识来加强对此的认识。

第二个阶段是比较分子相同的分数的大小。同样可以通过画模型图或者利用“几分之几就是几个几分之一的累积”来进行比较，帮助学生理解“因为 > ；所以2个 >2个；也就是说 > ”。

 张：在同分母分数的加减中，学生也可以通过画模型图或者“几分之几就是几个几分之一的累积”来学习。

教师要帮助学生理解“4个 加上1个 是5个 ，就是 ”；而“4个减去1个 就是3个 ，就是 ”。

宋：关于分数的大小比较和同分母分数的加减法，我们还可以找到一个统一的模型来帮助教学。

在这个模型上，学生可以进行同分子或同分母分数的大小比较以及同分母分数的加减法。

我们可以把这个模型称为“分数墙”，大家可以看到，在这个分数墙这个模型上，我们可以很容易地比较同分子分数或者同分母分数的大小，并且进行同分母分数的加减运算。比如说，要比较与的大小：

由此，我们可以很清晰地看到：是大于 的。我们还可以在上面做同分母分数的加减法，比如说 ，这个位置就是，然后只要再往后面移4个，就得到了它的结果，也就是。

在这些阶段的分数初步概念的学习当中，学生逐渐地发展、完善分数的初步概念。

张老师，你有一节《分数的大小比较》的课，上得非常好，请张老师给我们讲一讲。

 张：那么先让我们来观看一下教学片断：

案例7—1

 宋：在这个教学片断中，大家可以看到，教师在让学生进行分数大小的比较时，并没有将结论直接给出，强输硬灌，要求孩子们去记住那些现成的结论。

 张：对，我也是这样认为的，在教学中必须注意不能忽视概念形成的一个过程。因为在概念教学中，一般要经过概念的引入、建立、巩固和深化阶段，这个过程是一个复杂的思维过程。要防止重结论、轻过程的错误做法，要通过积极组织有效的数学活动，以确立学生在数学活动中的主体地位，让学生在数学活动中去体验、去思考、去构建、去修正数学概念。

 宋：在这个教学片断中，我的感受是教师一定要关注学生数学学习的过程，也就是提出问题――分析问题――解决问题的全过程。

 张：大家可以从教学片断当中看出，像分母相同的两个分数如何比大小？这就是提出问题的阶段；学生通过画图、分数单位推算等办法进行验证。这就是分析问题的阶段；最后通过交流得出结论：分母相同的两个分数，分子大的分数比较大。这就是解决问题的阶段。而后面教学中分子相同的两个分数如何比大小的过程也基本如此。

 宋：我的第二个感受是：这堂课主要采用动手操作画模型图或利用“几分之几就是几个几分之一的累积”来进行简单推理的方法，来处理分数的大小比较问题，在实际的教学过程中，教师给了学生充分从事数学活动的时间和空间。

张：对，还有，动手操作是学生参与教学活动的重要方式，在“做中学”的过程当中，学生能对所学知识产生深刻的体验，从中感悟并理解新知识的形成和发展，并总结出数学活动的经验。也就是验证了一句话“听见了，就忘了；看见了，就记住了；而做过了，就理解了”。

本节课重新组织了教材，有别于教师直接讲解，让学生被动的看书本上的图片，或者是看课件上了解分数大小比较的方法，那样学生对于分数大小比较的本质不能深刻的理解和掌握。现在让学生通过自己写出任意的两个分数，先进行猜想，而后是通过各种方法和途径进行验证，并通过小组的合作交流，加上课件的演示，使学生能够亲历知识的发生发展过程，从而真正体会到分数大小比较的方法，达到良好的教学效果。

 张：那么，接下来让我们继续来看教学片断。

案例7—2

宋：从这个教学片断，我们可以发现教师要注意在教学过程中，鼓励学生观察、思考、质疑、想象、动手；特别要注意，凡是学生能自己想出来的、能讲出来的、能做出来的，教师应尽量不包办代替。

张：对，这里我的主要想法就是努力使教学活动富有探索性，为学生创设进行观察、探索、发现的学习环境，鼓励学生质疑、问难，大胆的联想，激发他们的学习兴趣和创造兴趣，引导学生通过亲身体验获取新知，把教学过程转化为学生自觉进行探索新知的过程，使学生积极主动地在学习中体验探索的乐趣。

另外，这里我还给学生提供必要的机会从事反思的活动。人的一般发展包括认知能力的发展和认知水平的提高，这得益于深刻的反思活动。教学片断当中，当学生比较与大小发生意见不统一的时候，并不急于表态，而是引导学生通过多举例来验证。当得出结论以后，又促使学生进行反思：谁来帮助刚才那位同学分析一下，判断错了是什么原因？这样的反思很有必要，使学生的认识更深一层：整体平分的份数越多，每一份就越小，虽然取的份数相同，但是得到的结果却越小。因为  > ，所以2个 >2个 ，就是 > 。

宋：通过上面的两个教学片断，我们可以得到这样的一个启发，就是在教学过程中，教师应引导学生自主探究、合作交流进行学习。

张：新课程改革理念中很重要的一点就是要改善学生的学习方式。自主合作探究是改善学生学习方式的一条重要的途径。

在教学过程中首先为学生提供恰当的探究材料：已有的分数基础和利用原有知识和经验探究。同时，开展合作学习建立在个体独立学习、思考的基础上。如在探究分数大小比较的方法时，先自己独立进行实践和验证，在此基础上，再进行小组协作交流、同伴的互助，自我的教育、互相学习，共同归纳比较大小的方法和规律，然后将小组内获得的探究成果在全班进行交流、分享，充分体现了学生的主体性学习，促进了学生主动性的发展。

而在这过程当中，教师还注意培养学生从多角度思考解决问题的途经，如画模型图、画线段图、推算等不同方法解决同一个数学问题。虽然学生用一种方法探究问题，但通过同伴间的相互交流，使每位同学都在吸纳别人的长处，感受到了解决问题往往会有不同的方法和途经，开拓了学生的思维。

请大家继续观看教学片断：

案例7—3

宋：我们教学中主要是通过练习达到运用概念的目的。练习是使学生掌握基础知识和技能，培养和发展学生思维能力的重要手段。

 张：在练习时需要注意以下几点：

1. 练习的目的要明确。如针对性练习、变式练习、开放性练习、综合性练习。

2. 练习设计层次要清楚。从简单到复杂，从单一到开放，最后到综合性练习。

宋：这段教学实录就先谈到这里。

在《小学数学教学研究》这本书中提到，分数的初步概念要尽快地过渡到分数的“商”定义，也就是将分数概念理解为两数相除的结果。

国内的各套教材一般都在小学阶段的第二学段引入分数的“商”定义。这就要求学生在建立分数的初步概念的同时，要做好向“商”定义做过渡的一个准备。这里有一个问题是值得我们思考的，学生在学习分数的初始阶段，往往是将分数理解成一个“过程”，例如就是“将一个整体（单位1）平均分成4份，再取出3份”的这样的一个过程，无论这个过程是实际实行的或者是心理上的。这就给学生理解分数的“商”定义造成了一定的困难。

 张：我们可以为学生提供一个模型，以让学生在数射线上表示分数。

请大家看图片

这是一个半抽象的模型。这一模型是“圆型模型”和其他平面模型的“再抽象”，但仍然是直观的。它可以充当分数的初步概念向分数的“商”定义过渡的几何载体。用线段的长度表示分数的大小。

 宋：要顺利完成从分数的初步概念到分数“商”定义的过渡，教师在教学分数的初步概念的一开始，就要帮助学生进行“做”分数的活动，而且在整个分数的初步概念的教学阶段，都应该强调这一过程，不断地将这一过程进行压缩和内化。这对学生顺利完成这一过渡是很有帮助的。

 我们这一讲就如何帮助学生建立分数的初步概念进行了讲解，供各位老师在具体的教学过程中参考。

作业：请各位老师写一份“同分母分数加减运算”的教案。

第8讲  例谈用算术方法解决问题

主讲：魏  洁  数学特级教师    江苏省南京市五老村小学

李  新  数学特级教师    江苏省苏州市吴江实验小学（字幕）

魏：老师们，大家好！了解数学课程改革历史的人都知道，应用题改革历来是数学教材改革的重点内容之一，但以往的改革都表现为量的增减和难度的升降，改革的总体趋势是：内容由繁难庞杂趋向于简洁明了，解法由算术解到算术解与方程解相结合，能力培养上由单纯重视解题技巧发展为同时重视解题思路。在传统数学教材中，应用题是小学数学除了“数与计算”之外第二大部分内容，也是教师们开展教学研究时关注度最高的一个部份。基于新课改背景下的应用题在数学教育新理念宏观指导下从目标、内容、呈现方式到教学方式上都有了全方位的改革，以解决问题的面貌出现。在新课改实践中一线教师们积累了很多这方面的宝贵实验经验，今天我们以“用算术方法解决问题”的教学为例，共同来讨论研究分享关于解决实际问题教学中的一些成果。

李：《数学课程标准》把应用确定为“发展性领域”中的“解决问题”，相应地，新教材中不再单独设立“应用题”教学的教学章节，以解决问题或“用数学”的方式呈现有关内容，这是削弱学生的数学应用了吗？课改实验初期，有不少教师对解决问题的教学提出过这样的困惑。

幻灯片出示：（随李老师的配音同步出现，下面幻灯片的出现方式同此）

教师的困惑： 新教材中不单独设立“应用题”教学的章节，以解决问题或用数学的方式呈现有关内容，这是削弱学生的数学应用了吗？

  魏：从过去的应用题教学到现在的解决实际问题，实际不是变了名称，而是变了本质。传统应用题能积累一些常见的数量关系、发展思维、能巩固和运用计算知识、有培养解题习惯的优点，但它往往安排在计算之后独立单元，分类过细，且人为编造的痕迹较重。解决问题它不能和应用题划等号，它是一种新的观念，又是一种有意义的重要活动，更是一种可行的教学方法。“解决问题”目标的实现将贯穿于数学课程的全部内容之中，在抓住“用数学”教学的同时，充分关注问题的“感知—发现—提出—解决”的整个过程，引导学生经历解决“问题”的过程，形成数学应用意识，新教材中不单独设立“应用题”单元，不以专题训练和类型分析的形式来组织教学，将解决实际问题与数学意义的运算相结合，这不是削弱了数学的应用，而是加强了学生数学应用能力的培养。

幻灯片出示：

解决问题不能和应用题划等号，它是一种新的观念，又是一种有意义的重要活动，更是一种可行的教学方法。 “解决问题”目标的实现贯穿于数学课程的全部内容之中。

  李：从教学目标上比较，过去应用题教学，首先是学会解题，虽然这也是培养学生运用数学知识解决实际问题，而实际效果仅仅是将运算（数量关系）放到一个人为编制的、特定的、结构良好的解题环境中，解题的过程就是“算法化”；其次是通过解题发展学生“言必有据、严密推理”的逻辑思维能力，却很少有猜想、预测、合情推理的机会。而新课标解决问题的教学目标从学会解题转向培养应用意识。

幻灯片出示：

从教学目标上比较，解决问题的教学目标从学会解题转向培养应用意识。

  新教材把学生“解决简单的实际问题”视作帮助他们进一步掌握和应用数学基础知识和基本技能的重要渠道，视作学生初步数学能力的具体表现。教学目标主要有这样三点：

幻灯片出示：

解决问题的教学目标：    · 培养学生从身边的客观环境中提取数学结构的能力。即用数学的眼光观察生活，用数学的思维去分析现象，用数学方法去解决问题，逐步形成应用数学的意识。    · 促进学生逐渐概括化地把握常见数量关系之间的联系，发展解决问题的策略，增强思维的灵活性、创新性。    · 使学生在解决日常生活和其他学科具体问题的过程中，进一步理解运算的意义，掌握运算的方法与技巧。

 魏：从教学内容和编排上比较，传统小学数学研究的简单应用题有11类，归纳起来是四种类型：比如说相差关系、相并关系、份数与总数之间的关系、倍数关系等等。这些以解题为目的的应用题强调了文字组织的严密性，严格按照式题→文字题→应用题的递进关系进行编排。若进一步分析，这些“循序渐进、环环相扣”的应用题看似十分严谨，将现实问题高度概括化、标准化和形式化，但是其情节虽然源于生活，但往往过分“高”于学生的实际。

新教材中虽然已经没有应用题三个字，取而代之的是“用数学”或者是“解决问题”，但是结合数的运算等内容，将传统教材中的应用题教学内容在新的教材中间也进行了编排。

幻灯片出示：

从教学目标上比较，解决问题的教学目标从学会解题转向培养应用意识。 从教学内容和编排上比较，结合数的运算等内容，将传统教材中的应用题教学内容在新的教材中间也进行了编排。

 

我们认真梳理各个版本的1-3年级的课标教材，进行对比，可以看到新课程解决问题内容的编排与原来应用题体系之间的这样一种关系。比如：

幻灯片出示：

结合数的运算等内容	解决问题的编排	备注
1.      加减法的认识 2.      10以内加减法 3.      20以内加减法	用加法和减法解决简单的实际问题，与加法、减法的运算意义密切结合，注重加法和减法的多种“原型”的渗透，如加法可以作为合并、移入、增加、继续往前数等的模型；减法可以作为剩余、比较、往回数、减少或加法逆运算等的模型。	如果从类型上说，包括求总数、求剩余

   幻灯片出示：

李：

结合数的运算等内容	解决问题的编排	备注
l        100以内不进位、不退位的加减法 l        100以内进位、退位的加减法 l        100以内加减混合运算	用加法和减法解决简单的实际问题，仍与加法、减法的运算意义密切结合，在数的范围上拓展至100以内的数。	巩固求总数、求剩余，出现求一个数比另一个数多（少）几、求两个数相差多少等的实际问题
结合数的运算等内容	解决问题的编排	备注
l        乘法的认识与乘法口诀 l        除法的认识与用口诀求商 l        倍的认识	用乘法和除法解决简单的实际问题，与乘法、除法的意义紧密结合，强化乘法、除法意义的理解，注重乘法和除法的多种“原型”的渗透，如乘法可以作为相等的数的和、面积计算、倍数、组合等的模型；除法可以作为平均分、乘法逆运算等的模型。	包括求几个相同加数的和，平均分，求一个数的几倍是多少，求一个数是另一个数的几倍等实际问题
结合数的运算等内容	解决问题的编排	备注
l        一位数除两位数的除法 l        乘（除）加、减的两步混合运算 l        万以内的加减法与混合运算	l        用除法解决简单的实际问题。 l        用两步混合运算的知识解决实际问题，与运算顺序的教学紧密结合。	包括乘加、乘减、除加、除减、加减混合等需要两步计算的实际问题
结合数的运算等内容	解决问题的编排	备注
l        一位数乘两、三位数的乘法 l        一位数除两、三位数的除法	用乘法和除法解决简单的实际问题，与运算意义紧密结合，计算由表内乘除法拓展到非表内乘除法，信息的呈现越来越丰富，出现连续多问的实际问题。	出现连乘、连除、乘除混合等计算的实际问题。
结合数的运算等内容	解决问题的编排	备注
l        两位数乘两位数的乘法 l        在购物情境中，一位小数的加减运算 l        平均数（统计）	l        用两位数乘两位数的乘法解决实际问题，逐步提升解决问题的复杂性和难度 l        用小数加减运算解决实际问题 l        用平均数有关知识解决实际问题	多次巩固了以前出现的简单的乘法应用,以及连乘、乘加、乘减、乘除两步的应用。

魏：通过刚才我们对教材的分析与阅读，我们不难看出，新课程对这些基本的、重要的、核心的数学内容都是按照“问题情境——建立模型——解释与应用”的这样叙述方式进行编排，创设了一个个学生们所熟悉的，贴近他们实际的问题情境，在通过引导学生观察、实验、猜测、验证、推理、交流等一系列的数学活动中，逐步建立起来这一问题的数学模式，然后再运用这一模式去解决（释）一些现象或解决一些实际问题。

幻灯片出示：

教学内容都是按照“问题情境——建立模型——解释与应用”的这样叙述方式编排。

 李：从内容呈现方式上比较，内容由纯文字、标准格式变成了更丰富生动与生活实际紧密相联的主题图、表格等，这些文字、图画、表格的结合拓宽了原来问题的结构空间，使题目结构不一定良好，情景可能复杂，数据需要从画面中获取，相应的问题需要学生自己提出，解决的模式可能不唯一，答案也可能各不相同，等等。但这些都成为学生探索未知、获取发展的动力，引导着学生主动进行比较、实践、猜测、证明等发现性探究活动。

幻灯片出示：

从教学目标上比较，解决问题的教学目标从学会解题转向培养应用意识。 从教学内容和编排上比较，结合数的运算等内容，将传统教材中的应用题教学内容在新的教材中间也进行了编排。 从内容呈现方式上比较，内容由纯文字、标准格式变成了更丰富生动与生活实际紧密相联的主题图、表格等。

   魏：面对解决解决问题的目标，教材内容，呈现方式上的这些变化，教师们在实际教学中间还是遇到了很多问题。有的教师想创设生动的情境，让学生们在情境中间学习，但是又担心学生受到这些情境的干扰，而忽略了数学本身知识的内在联系，造成知识与技能的不扎实；有的老师了解解决问题教学与运算意义教学紧密结合的作用价值，但究竟如何做到“算用结合”，把握好“算”与“用”各自的侧重心中无数；还有的教师想让学生自主探索解决问题，突出个性化的学习，但又深深感到处理多样化与基本解法的关系之间十分棘手；有的教师想细细分析题中的数量关系，但又怕有教法传统之嫌，让学生容易产生机械地模仿、操练，没有了探究的欲望等等。

今天围绕这些问题，我们共同来品读两位教师的教学案例，学习他们在新课标的理念指导下，所形成的解决问题教学的新思路和新方法。

案例8-1（江苏省南京市五老村小学  周宇红）（字幕）

 李：解决问题的第一步是充分地、正确地理解问题，把握教材。本课教材以汽车上、下车情境呈现问题，教学时，教师对主题图的编写意图把握很好，明确提出：你能看图按事情发生的顺序说一说图意吗？直接引导学生进入情境、了解情境，让学生仔细地看、充分地讲。在情境图里看到些什么，鼓励学生大胆地用自己的话按事情发生的线索说一说，培养学生有条理地叙述。从情境中明白要解决的问题，收集用于解决问题的必要材料。

明确主题图的编写意图，搜集整理信息

幻灯片出示：

魏：理解主题图的意义是教师把握教学目标，有效实施课堂教学的前提。在使用主题图的过程中间，要结合具体的教学内容，明确主题图的功能，科学地进行分类使用。在教学的实践过程中，有老师总结出新教材在第一学段主题图的内容展示的过程中，大致有这样三种表现形式：第一类为大场景、大容量。图中通常没有卡通“对话”等语言信息，重在为学生提供丰富而开放的现实题材，让学生收集现实生活中的数学学习素材，培养学生收集信息的能力，培养数感，提高学生的数学素养。

幻灯片出示：

明确主题图的编写意图，搜集整理信息 第一学段主题图的内容主要有三种不同的表现形式：       第一类为大场景、大容量。

 比如说，某一教材在“认识1、2、3、4、5这五个数”，这时呈现的主题图是以“庆祝教师节”为场景，让学生们用自己的眼光和视角，引导学生从不同的角度全方位地进行观察，根据

幻灯片出示：

  

 主题图说出用1、2、3、4、5表示的人或物的数量，经历了从具体到抽象再到具体的认数过程。对于这类主题图教师就要大胆的采用“大胆开放”的策略，重在引导学生认真观察主题图，充分交流得到不同的信息。

而第二类的主题图相对突出、集中，并用对话的形式呈现数学问题的有关信息。教师在运用这类主题图时，要在深刻理解教材的基础上，根据教材的内容，象这位老师一样可以采用“直奔主题”式的策略进行教学。重点放在如何引导学生进入图中搜集信息，提出问题，而不必对情景中间的非数学本质的信息过份的强调和渲染。第三类为主题单一、容量较小的主题图。对于这类主题图的使用，教师要做到收放自如、张弛有度、科学引导。

l        明确主题图的编写意图，搜集整理信息 第一学段主题图的内容主要有三种不同的表现形式：  第一类为大场景、大容量。大胆开放  第二类主题图相对突出、集中，并用对话的形式呈现了数学问题的有关信息。直 奔主题  第三类为主题单一、容量较小的主题图。科学引导

幻灯片出示：

 例如：第一册在有关“8的加减法”教学的时候，我们看到这幅图，

幻灯片出示：

 可以引导学生观察，“图上画的是什么人？”，“他们在那里干什么？” 让学生提出数学问题，说说怎样列式？学生根据图中“游泳池中有5 个小朋友，池边有3 个小朋友”，或者“有5个男同学，3 个女同学”、“有2 个同学用游泳圈，有6 个同学没带游泳圈”等不同的分类标准，从不同的角度进行观察，列出有关8 的加减法的算式，在这之后，教师就要适时的“收回”了，而不宜让学生再信马由缰式地回答“扎辫子的有1 人”，“有1个男同学蹲着”等等这样一些话题，而要引导学生学会整体地进行观察，并渗透科学的分类标准，使学生在进行观察的同时学会数学地进行思考。
    李：周玉仁教授曾经指出：在解决实际问题时，学生实际上完成了两个转化。从纷乱的实际问题中获取有用的信息，抽象成数学问题，这是第一次转化，然后分析其间的数量关系，用数学方法求解或求近似解，并在实际中检验，这是第二个转化。

这位老师在完成第一次转化后，充分利用现实情境唤醒了学生已有的经验，进行数量关系的分析。

幻灯片出示：

l        明确主题图的编写意图，搜集整理信息 第一学段主题图的内容主要有三种不同的表现形式：  第一类为大场景、大容量。大胆开放  第二类主题图相对突出、集中，并用对话的形式呈现了数学问题的有关信息。直 奔主题  第三类为主题单一、容量较小的主题图。科学引导  利用学生经验分析数量关系，体会运算顺序。

 

 有的学生根据坐汽车时先上后下的经验，得出车上人数+上车人数-下车人数=车上现在人数；也有的学生根据无人售票车可以同时上、下车的经验，得出车上人数-下车人数+上车人数=车上现在人数，在分析中体会到加减混合运算的运算顺序都是从左向右依次计算的。解决实际问题的教育价值，因为和计算教学结合起来，赋予计算以具体的意义，不仅有利于学生体会计算的含义，也有利于学生应用知识方法，巩固知识，培养应用意识，掌握解决问题的一般方法，实现好第二个转化。

案例8-2（南京市五老村小学  张惠）（字幕）

 李：解决问题不只是解决他人提出的问题，还要自己提出问题并努力去解决它们。这位老师鼓励学生大胆地提出问题，是因为她准确把握了所提问题与学生已有认知结构的联系和距离。学生在前三册教材中解答过许多一步计算的实际问题，对常见数量之间的关系已积累了一些认识。教学中教师让学生提问激活这些经验，在学生进入这些情景捕捉各种信息的同时，引导他们说说除了看到的条件，还能想到些什么、还能算出些什么。帮助学生利用已有经验构思了解决问题的有效计划。在练习中，两步计算问题中条件的关系比较复杂时，教师还鼓励同学们通过画画、摆摆等活动，理清关系，构思有效的解答计划。

幻灯片出示:

鼓励学生在现实的情境中提出问题，构思解决问题的有效计划。

 

（1）鼓励学生在现实的情境中提出问题，构思解决问题的有效计划。

魏：求得问题的结果，并经过检验，验证答案是合理的，可以说这个实际问题就已经解决了。但是，教学还没有结束。教材中的那些实际问题不仅要解决它，还要通过这些问题为今后在日常生活和继续学习更多、更复杂的问题积累经验。因此，解决问题之后的反思就显得必不可缺少。

幻灯片出示:

鼓励学生在现实的情境中提出问题，构思解决问题的有效计划。          反思过程，积累解决问题的经验。

  （1）鼓励学生在现实的情境中提出问题，构思解决问题的有效计划。

这位教师很好的抓住了这个环节，她要求学生们围绕刚才是怎样理解这个实际问题的、怎样制订解决问题计划的等这样一些环节，组织学生进行反思。通过说一说你从情境中找到了哪些条件，你是怎样整理这些条件的；说一说你是抓住情境中的哪些信息来确定解决问题计划的；说一说对计算结果是不是合理你是怎样思考的，引导学生有效地进行反思。

在反思与交流中，学生之间相互了解、评价解决问题的方法，体会方法的多样性。这样一来，既可以根据条件提出问题，也可以根据问题寻找条件，通过两种方法的比较，选择自己喜欢的合适的一种方法。

通过以上两个案例的我们共同的学习与分析，我们可以看到，新理念之下的解决简单的实际问题的这些教学，它不同于那些仅仅通过识别题型、回忆解法、模仿例题等非思维性的这些活动来解决问题，而是需要学生通过观察、思考、猜测、操作、交流、推理等各种形式，有思维成分的这些活动来解决问题。学生在解决问题中都经历了一个过程，而在这个过程中，刚才的两位教师都没有直接告诉学生怎样算，不是把解决问题的具体方法展示给学生，让他们仅是看清楚、听明白；而是通过组织学生开展有序的活动，鼓励学生积极地参加活动、主动地进行探索。从两位老师的教学中，我们是不是可以概括出这样一个教学解决简单实际问题的一般方法呢？

幻灯片出示：

教学解决简单实际问题的一般方法： 1.进入情境，搜集和整理信息，形成数学思考； 2.利用经验，构思解决问题的思路； 3.自主探索，让学生正确选择算法，独立解决问题； 4.反思过程，积累解决问题的经验。

李：在解决问题的教学中，我们还要注意以下几个方面的问题。

1．情境要适切。

良好的情境要服务于教学目标，要联系教学内容选择素材，联系生活，特别是学生的生活经验与知识水平，切不可让“情境”增加了学生学习的难度，迷糊了学生；同时，教师要善于把握时机，张弛有度，忌“流连忘返”。

2．教材把握要准确。

新课程教材把解决问题分散编排，不同年段有不同要求，不同内容下的解决问题又有不同的编排意图。有时解决问题例题少，习题和练习的变化和数量跨度大，要把构思解题计划形成解答思路的教学作为灵魂，只有抓住怎样思考，引导学生形成思考方法，构建数学模型，才能带动更大范围内的问题的解决。

3．传统精华要继承。

我们教师在过去长期的教学实践中形成了应用题教学的优良传统，今天新课程改革下的解决问题教学有些是十分有益。比如：引导学生认真分析数量关系，发现数学中的主要矛盾，学会构建数学模型的具体方法……都可以为我们所用。

注意以下几个方面的问题。 l        情境要适切。 l        教材把握要准确。 l        传统精华要继承。

 

 魏：对，所谓的“扬长避短”，我们的一线教师应该要正确处理好继承与发展之间的关系，找到继承与创新的平衡点，在继承中发展，就能实现从“应用题”到“解决问题”的有效渐变，真正提高学生的数学问题的解决能力。解决问题的教学任重而道远，还需要我们在实践中去不断去积累、探索与发展。

注意以下几个方面的问题。 1.情境要适切。 2.教材把握要准确。 3.传统精华要继承。   找到继承与创新的平衡点，实践中去不断去积累和丰富、发展

欢迎各位老师跟我们就有关的话题进行进一步的探讨。

作业

讨论题：

1．谈谈你对解决问题教学与运算意义教学紧密结合的作用价值的理解。

2．请您设计一节与运算意义相结合的解决问题的教学课例。

 

第9讲  谈列方程解决简单实际问题的教学

李新  中学高级教师、小学数学特级教师  江苏省吴江市实验小学

王丹  中学高级教师  重庆市渝中区第二实验小学

 李：各位老师，大家好，在这一讲里，我们将和大家一起讨论关于列方程解决实际问题的教学。

王：有的老师在学习《课程标准》时发现，在第一、二学段的内容标准中没有明确提出“列方程解决实际问题”的有关要求。我们的实际教学中，如何把握这方面的要求呢？

李：我也注意到了这一现象，《课程标准》（实验修订稿）当中关于“式与方程”的内容标准是：

（1）在具体情境中会用字母表示数。

（2）结合简单的实际情境，了解等量关系。

（3）了解方程的作用，能用方程表示简单情境中的等量关系。

（4）能解简单的方程（如3x＋2=5，2x－x=3）。

以上四项标准似乎没有提到“用列方程解决简单的实际问题”，但是，我们仔细分析第（3）、（4）点，第（3）点要使学生“了解方程的作用，能用方程表示简单情境中的等量关系”，第（4）点则要使学生“能解简单的方程”，我们想，针对简单的情境，找到等量关系，列出方程，再解方程，不正是用列方程的方法解决实际问题的基本步骤么？

王：另外，《课程标准》在课程目标的总目标中，关于“问题解决”有这样的阐述：使学生“获得分析问题和解决问题的一些基本方法，体验解决问题方法的多样性，发展创新意识。”列方程解决实际问题是解决问题的一种基本方法。

李：法国数学家笛卡儿曾经设想所谓的“万能方法”：第一，把任何问题转化为数学问题；第二，把任何数学问题转化为代数问题；第三，把任何代数问题归结为解方程。

事实上，虽然这种方法在某些情况下是不适用的，不能真正看成“万能方法”，但是，他所给出的是一种十分有用的数学思想，即对于某些问题，从分析数量关系入手，将问题中的已知量和未知量之间的数量关系通过设元建立起方程，然后通过解方程使问题得到解决的思维方式，这种数学思想就是方程思想。

王：所以，在教学中我们应该十分重视列方程解决实际问题，明确其教学目标，即通过列方程解决实际问题，使学生初步掌握分析数量间的相等关系（即等量关系）的方法，能根据等量关系列方程，并正确解方程，逐步向学生渗透方程思想。

李：是的，用列方程的方法解决实际问题，既能使学生加深理解方程的意义，巩固解方程的方法，又能丰富学生解决问题的策略，发展学生的方程思想。要实现这样的教学目标，在第一学段的教学中就应该作相应的渗透了。比如要使学生充分感悟和理解四则运算的意义、充分感悟和理解基本数量关系等。而“用字母表示数”的教学则是第一个关键。

王：确实是这样，在学生掌握了四则计算的意义、常见数量关系、运算律、周长与面积计算等知识的基础上，我们安排学生学习用字母表示数。通过字母表示数，更能概括地理解、表达和应用这些知识，并为以后教学有关方程的知识作必要的准备。

李：为了使这方面的准备做得充分，扎实，显性的，我们的教学要达到这样一些要求：

1．使学生初步理解并学会用字母表示数，会用含有字母的式子表示数量、数量关系和计算公式；初步学会根据字母所取的值，求简单的含有字母的式子的值；会化简形如“ax±bx”的式子。

2．使学生经历把实际问题用含有字母的式子进行表达的抽象过程，体会用字母表示数的简洁与便利，发展符号感。

3．使学生在运用简单符号语言进行表达和交流的过程中，进一步体会数学与实际生活的密切联系，感受书写表达方式的严谨性、概括性和简洁性，增强对数学的好奇心和求知欲。

当然这些要求要在经过一定阶段的学习后才能达到。具体的，我们先来看一段录象，仔细体会老师是如何在第一课时中使学生达到其中的某些教学要求的。

 案例9-1《用字母表示数》①（江苏南京市北京东路小学  中学高级教师  陈静）

 李：从刚才老师这段录象中上，我们体会到了，学生学习用字母表示数，其关键是充分经历从数字表示数到用字母表示数，由日常语言表示数量关系到用符号语言表示数量关系的过程。

王：是的，用字母表示数这一内容看似浅显平淡，实则是学生学习数学的一次飞跃。学生以前所学的每个数都表示一个确定的值，用具体的数和运算符号所组成的式子，也只能表示个别的、具体的数量关系。而用字母则可以表示变化的数和抽象的数量关系式。老师在课中遵循学生的认知规律，精心创设情境，引导学生积极参与学习活动，实现了知识的自主探索与建构。

李：确实是这样。比如为了帮助学生正确建立用字母表示数的初步概念，教师精心创设了童话情境——“魔盒变数”，让学生感受随着输入的数不断变化，魔盒中输出的数也在变化，变化之中却又蕴涵着两个数之间一种不变关系。教师通过巧妙点拨，将学生的思考引向深入：“输入的数可以是任意的一个数，假如输入x，魔盒将会把它变成什么数呢？”在深刻理解了输入数与输出数的不变关系后，学生自然接受了用字母表示数和数量关系的方法，初步体会到用字母表示数是解决问题的需要，也是解决问题的方式。

王：就是说，魔盒的真正魔力在于使学生感受数量之间变与不变的辨证关系，实现从具体到抽象的飞跃。

李：对。学习用字母表示数是学生认识上的一次飞跃，这一飞跃过程还应该包含充分的应用与练习。下面我们继续看录象，分析本课老师是如何组织学生练习的。

 案例9-2《用字母表示数》②（江苏南京市北京东路小学  中学高级教师  陈静）

 王：我感觉本课的练习也是一大亮点。

在学生初步理解用字母表示数的方法后，教师引导学生回顾用字母表示运算律、图形面积、周长计算公式，再次体会用字母表示数的概括性和简洁性。

通过创设乐乐同学的生活情境，引导学生层层深入地练习，不断深化对用字母表示数的理解。

李：在“乐乐的数学日记”和“上学路线图”中，重在让学生了解用字母表示数的相对稳定性。在一个问题中，同一个字母只能表示同一个数，如果没有特殊说明，不同的字母一般指不同的数，并且这个数一旦确定就不可随意改变。并且再次让学生理解用字母表示数是有限制条件的，应结合具体的情境确定用字母表示数的范围。

王：在“乐乐在超市购物”中，重在让学生感受同一个情境中的字母式子可以表示不同的内涵，有多样化的理解。在“乐乐一家观看演出”中，重在让学生理解用含有字母的式子表示数量的不唯一性。用含有字母的式子可以表示数量和数量关系，但同一个字母可以表示不同的含义，所以同一个量也相应有不同的字母表达式。

李：我还觉得，乐乐同学的生活情境实际上是学生自己熟悉的生活写照，因而每个问题都使学生倍感亲切，发生强烈的思考愿望。在这些情境中所呈现的问题，又紧扣教学内容。通过这种具体多样的情境载体，给学生提供了将日常语言转化成数学语言，图形语言转化成符号语言的机会，有意识地培养学生借助抽象的符号语言反映数量关系或空间形式的能力。我相信，学生通过这样的学习、练习过程，一定能很好地形成用字母表示数的意识和能力。

王：刚才课上的老师，除了深刻理解教学内容，对教材进行灵活、恰当的教学处理，她的教学艺术也是十分精湛的。比如老师十分重视营造民主平等的教学氛围，教学的评价语言内容实在，关注对学习方法的引导，积极鼓励学生思考等，都值得我们教师学习。

李：刚才我们重点讨论了用字母表示数的教学。用字母表示数是学生学习方程的基础，基础扎实了，就可以进一步学习方程和用方程解决实际问题。但是在实际教学中，我听到还有的老师这样反映，说小学数学教学中让学生方程解决的问题都非常简单，特别是新学习列方程的方法解决实际问题时，所要解决的问题通常能用一步或两步算术方法解决，有些学生就不大愿意用方程方法去解决。那么，实际教学中，我们该如何解决这样的问题呢？

王：我也不止一次听到一个老师有这样的反映。我们觉得，针对这个问题，老师要有明确的认识，学习新的知识、方法，总是从简单到复杂，学列方程解决实际问题也是这样，总是从一步、两步的方程学起，而且，如果某个实际问题，按照顺向思路分析数量关系，适合用方程解答的，即使是一步、两步方程，相对于算术解法的逆向思路，也有其明显的优势。而正因为简单，学生既能用一步、两步的方程解决，又能用一步或两步的算术方法解答，就能让学生将两种方法对比，进一步体会方程方法对解答某些问题的适切性和优越性。

李：就是说，从解决简单的问题中学习方法，再应用于以后的学习或解决更复杂的问题。并且，在学习列方程解决实际问题时，加强算术方法和方程方法的对比，是很有利于学生形成方程思想的。

王：让学生掌握用方程的方法解决实际问题，

在实际教学中，主要应突出注意两点：

一是指导学生寻找数量间的相等关系，形成“等量意识”，这是正确列出方程的基础；二是引导学生自觉进行检验，形成“检验意识”，不仅检验求出的未知数的值是否是原方程的解，还要检验求出的方程的解是否符合实际问题的数量关系。

李：下面我们一起来看一段案例，然后具体探讨刚才的几个问题。

案例9-3《方程（二）》①（江苏镇江句容实验小学  严兵）

 王：我注意到，一开始老师就让学生观察情境图，根据图中提供的信息，“找出紫峰大厦的高度和金陵饭店高度之间的相等关系”。老师为什么要这么做呢？

李：相等关系是一种数学模型，它把数量关系表达成等式。列算式解决实际问题要分析数量关系，这时的分析着眼于挖掘已知条件之间的联系，沟通已知与未知的联系，通常把条件作为一个方面，问题作为另一个方面，因而用已知数量组成的算式求得问题的答案。实际问题里的相等关系也是数量间的关系，它的最大特点是将已知与未知有机联系起来，通过已知数量与未知数量共同组成的等式，反映实际问题里最主要的数量关系。学生在以前学习一步方程时已经初步感受了相等关系，能找出简单问题的相等关系。现在寻找较复杂问题的相等关系，也是充分利用学生已有的知识经验。

王：列方程解决实际问题要找到相等关系，方程是依据相等关系列的。其实，某个实际问题是适合用列方程的方法解答还是适合算术方法解答，一般也是由问题所蕴涵的数量间的相等关系决定的。所以，老师们的教学，从引导学生找问题的相等关系入手，是非常适合的。

李：找数量间的相等关系这样重要，所以，老师不仅重视了它，还用了恰当的方法来引导学生去思考、寻找。比如，老师先提供了紫峰大厦和金陵饭店的实物图，形成非常直观的现实情境，并用文字表示了它们高度之间的关系：紫峰大厦高450米，比金陵饭店的5倍少73米，接着老师动态化地揭示了线段图，有效地引领了学生的思考。

王：今天学习的方程问题，我们习惯称为较复杂的问题。它之所以复杂，在于它的数量关系错综复杂。例题里紫峰大厦高度比金陵饭店的5倍少73米，其中既有倍数关系，也有相差关系，是两种关系的复合。

李：因此，找复杂问题的相等关系，要梳理数量关系，分清主次和先后。事实上，在第一学段，学生已经能解决类似“红花有10朵，求红花的2倍少4朵是几朵”的问题，对几倍少几这样的数量关系已有初步的理解。这样，有的学生就能利用已有的倍数概念和相差概念，通过推理，把“比金陵饭店的5倍少73米”改写成数学式子“金陵饭店高度×5－73”，从而得到数量的相等关系。而线段图的优点是直观形象，通过数形结合，把思维材料概括化，能引导学生思维，找到等量关系。

王：可能正因为有这样一幅直观形象的线段图，所以学生能找到几种不同等量关系。这里写不同的等量关系，不是为了让学生进行一题多解，而是重在让学生比较各种列方程的方法，体会它们在概念上的一致性。并且，通过比较，也能体会其中最基本的一个等量关系，列方程时思考比较顺，从而自觉应用这样的等量关系。这样的等量关系，相对用算术方法，就更容易思考，便于解决问题，也就能逐步形成自觉用方程解决问题的习惯。

李：我觉得课上老师的教学对我们如何培养学生的“检验意识”也作了很好的探索。首先把检验作为例题教学的组成部分，要先检验，再写答案。这是很好的示范。老师还重视了检验方法的指导，先让学生自主检验，形成多样化的检验方法，再交流，优化检验方法。其次，上课老师还在后来每个习题的解答、交流中都强调了检验，启发学生逐步养成自主、自觉检验的习惯。

王：当学生学习例题和练一练两个问题后，老师让学生比较两个题在解题思路等方面的共同点，有助于使学生体会列方程的方法对于解决这种问题的优越性。

李：对，通过比较，老师还和同学一起总结了列方程解决实际问题的基本步骤。下面我们再选取本课的一个练习片段做简要分析。

 案例9-4《方程（二）》②（江苏镇江句容实验小学  严兵）

 王：本课的练习也突出找等量关系这一重点。比如让学生写含有字母的式子。含有字母的式子是方程的重要组成部分，根据数量关系列方程时，都要写出含有字母的式子。是否具有用字母表示数的意识，能否顺利写出含有字母的式子，对列方程解答实际问题是至关重要的。

李：像练习一第2题写出表示梨树棵数的式子3x＋15，表示鳊鱼尾数的式子4x－80，都是解答几倍多几、几倍少几实际问题所需要的基本技能。安排写式练习，使学生进一步理解数量关系，养成顺着梨树比桃树的3倍多15棵、鳊鱼比鲫鱼的4倍少80尾这些数量关系进行思考，并转化成数学式子的习惯，从而选择最适当的相等关系解决实际问题。所以，这道练习题既是写式训练，也是思路引导。

王：需要指出的是，除了列方程解决实际问题，本课还有一个教学任务，就是教学解形如ax±b=c的方程，也就是说，本课是将解方程和列方程解决实际问题的教学融为一体，同步进行。解2x－22=64这个方程是新知识，用这个方程解决实际问题也是新知识。

李：这样，学生在本节课上既学习解方程的思路与方法，又学习根据相等关系列方程的思路与技巧。一方面是分析实际问题里的数量关系，抽象成方程，形成知识和技能的教学内容；另一方面，则是利用方程解决实际问题，使知识和技能的教学具有现实意义，成为数学思考、解决问题、情感态度有效发展的载体。

王：刚才我们主要探讨了本课在列方程解决实际问题方面值得学习、借鉴的地方，实际上，本课在教学解方程方面也有许多独到之处，老师们可以再去研究、分析和探讨。

李：总之，列方程解决实际问题的教学目标是培养学生的方程思想。在小学阶段，我们要从字母表示数开始，使学生自觉用字母或含有字母的式子表示数、数量、数量关系、公式、定律等，体会这样表示的意义和优点，在适当的时候，能把字母或含有字母的式子和已知数量一起参与分析、思考、推理；还要使学生善于根据已知条件，寻找数量的相等关系，对于适合列方程解决的问题，能根据等量关系正确地列方程，解方程，并自觉检验。这样，就可以认为在我们小学阶段已经为学生方程思想的发展奠定了基础。

作业:（任选一题）

1.“用字母表示数”的教学对初步渗透方程思想有什么意义？请选一教学内容做一份教学设计。

2.列方程解决实际问题教学中如何引导学生分析数量间的相等关系？请选一教学内容做一份教学设计。