一、教学内容的编排特色。

本单元教学“数与代数”领域的比例知识，还教学“空间与图形”领域的图形放大或缩小，以及比例尺的知识，把不同领域的教学内容有机融合是教材的一大特点。图形的放大或缩小是认识比例的现实素材，比例能揭示图形放大或缩小的数学含义，而且解决图形放大或缩小、比例尺的实际问题要应用比例的知识。把两个领域的内容融合能发挥数形结合的作用，提高教学效率。

二、本单元教学目标。
1、理解比例的意义和基本性质，会解比例。
2、理解正比例和反比例的意义，能找出生活中成正比例和成反比例量的实例，能运用比例知识解决简单的实际问题。
3、认识正比例关系的图像，能根据给出的有正比例关系的数据在有坐标系的方格纸上画出图像，会根据其中一个量在图像中找出或估计出另一个量的值。
4、了解比例尺，会求平面图的比例尺以及根据比例尺求图上距离或实际距离。
5、认识放大与缩小现象，能利用方格纸等形式按一定的比例将简单图形放大或缩小，体会图形的相似。
6、渗透函数思想，使学生受到辩证唯物主义观点的启蒙教育。

三、例题分析与教学建议。
1、在相似图形的情景中教学比例的意义（例1）。
例题简析：教材提供的天安门升旗仪式、校园升旗仪式、教室场景、签约仪式等四个情境中都有国旗，从数学角度看，这四面国旗是四个相似长方形，不仅任何两面国旗长与宽的比比值相等（反之亦可），而且任何两面国旗的长之比与它们的宽之比比值也相等（反之亦可）。这样的情境、素材，对于比例的意义教学来说：

（1）可以使学生通过现实情境体会比例的应用。

（2）可以为比例意义的教学提供丰富的资源。

（3）可以为以后学习图形的放大与缩小做铺垫。

（4）有助于在教学中渗透爱国主义教育（在教学中的适当时机向学生说明，为维护国旗的尊严，我国的《国旗法》规定“国旗长、宽之比为3：2”，所以尽管在不同的场合根据需要国旗的大小可能不同，但是它们的形状是一样的，从而让学生认识到国旗的庄严与神圣，对学生进行热爱国旗的教育）。

教学建议：

*  根据情景中国旗的长与宽，写出两个比值相等的比。这是一个具有开放性、探索性和挑战性的数学活动，在活动中应引导学生说一说：“如何判定你写的两个比比值相等？”，一般方法是求出每个比的比值后进行判断，也可以把每个比都化成最简整数比进行判断。
*  把比值相等的两个比写成等式，揭示比例的意义。写成分数形式的等式时，要强调等号两边是“比”以及它的读法。揭示比例的意义时，应先引导学生观察、思考：这些式子有哪些相同之处？再把它们共同的本质特征概括为比例的意义。揭示比例的意义后，应组织学生讨论：“是不是任意两个比都能组成比例？怎样判断两个比能否组成比例？”。
 *  回归情景，写出更丰富的比例。此时，应引导学生打开思路，鼓励学生从不同角度去寻找、去写，如：任何两面国旗的长与宽、宽与长、长之比与宽之比、宽之比与长之比等。

2、结合具体的比例式，教学比例的基本性质。
教材简析：比例的基本性质是所有比例具有的普遍规律，学习比例的基本性质可以深化学生对比例的认识，同时也为学习解比例提供理论依据。

教学建议：

 *  提供具有结构性的探究素材。教学时，可以从学生学习例1时写出的比例中，挑选一些比例组成具有某种结构的素材，例如：
60：40=15：10
60：15=40：10
10：40=15：60
10：15=40：60
这组比例都是由60、40、15、10这四个数组成，四个数在比例中的位置有一定的规律，能为教学比例的基本性质创造有利条件。
*  介绍比例各部分的名称。先以“60：40=15： 10”为例介绍比例的项、内项、外顶，再让学生指出其他比例的内项、外项，举一反三，及时巩固。
*  引导发现比例的基本性质。可以先让学生观察这四个比例，看看能有什么新的发现？学生容易发现：60和10都是外项，40和15都是内项。也有可能发现：两个外项的积等于两个内项的积。如果学生有困难，教师可以启发：这两个外项与这两个内项之间有什么关系呢？……是不是所有的比例都具有“两个外项的积等于两个内项的积”的规律呢？……在开放性验证活动的基础上（教师应根据课堂情况，选择或补充含小数、含分数以及分数形式的不同比例作为验证的实例），归纳出比例的基本性质。

3、由实际问题引入，教学解比例（例2、例3）。

例题简析：解比例的关键是应用比例的基本性质，把比例形式的方程转化为以前学过的方程形式，同时解比例是后面学习比例尺和用比例解决问题的重要基础。

教学建议：

*  由实际问题引入，体会解比例在生活中的应用。出示例2后，应先让学生说一说“这里的1：10是谁与谁的比？320米是谁的高度？”，然后引导学生思考：根据模型的高度∶原塔的高度＝1∶10、原塔的高度是320米、模型的高度还未知等信息，你能写出一个含有未知数的比例吗？……从而得到：χ：320=1：10（此时应强调“χ：320”中χ与320的位置不能写反、单位要统一）。

模型的高度∶原塔的高度＝1∶10

*        320米

?  渗透转化思想，掌握解比例的方法。得到“χ：320=1：10”后，教学的关键应放在组织学生讨论：怎样把这种形式的方程转化为我们以前学过的方程？……这样转化的根据是什么？把“χ：320=1：10”转化为“10χ=320×1”后，就可以由学生独立解答完成。解分数形式的比例（例3）可以让学生自己先试一试。

4、由实际问题引入，理解正比例、关系。

教学建议：
*  提供情景素材，首次感知。教材呈现了用相同的圆柱形杯子装水的实验，以列表的形式给出了装水的高度和相应体积的实验数据，让学生填写对应的底面积。水的高度和相应体积的实验数据不必通过实验得出，但如果能用多媒体或其他形式呈现数据的获取过程，让学生直观地感受到水的体积和高度是两个相关联的量以及二者之间的变化规律，对于学生理解正比例关系也是很有帮助的。学生填写出对应的底面积后，可以采用小组讨论的形式研究“表中的高度、体积、底面积三个量及其它们之间的变化规律”，可以出示以下几个问题：（1）表中有哪几个量？（高度、体积、底面积）这些量的值有什么特点？（感受变量、常量，但不必概括）（2）体积是怎样随着高度变化的？它们之间的变化有什么规律？学生讨论汇报后，可引导学生归纳：水的体积随着高度变化，它们是两种相关联的量；高度增加、体积也增加，高度降低、体积减少，但体积和高度的比值总是一定的。并用“ ”来表示“高度、体积、底面积”之间的这种关系，在此基础上告诉学生：这里的体积和高度是成正比例的量，体积和高度成正比例关系。
*  变换情景素材，再次感知。仅有例题的首次感知还不能形成正比例的概念，建议增加一个与例题不同的情景素材，为学生进一步积累感性认识。如：
一列火车行驶的时间和所行的路程如下表。

（1）表中有哪两种量？它们是不是相关联的量？
（2）写出几组这两种量中相对应的两个数的比，并比较比值的大小。
（3）这个比值表示什么？你能用式子表示它与路程和时间之间的关系吗？
（4）表中路程和时间成正比例吗？为什么？

教学时，可以让学生根据这四个问题，独立经历正比例关系的判断过程，再次感知正比例关系。
*  引导抽象概括，建立概念。在前面两个例子的基础上，让学生比较：它们有什么共同规律？从而概括出“两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值一定，这两种量就叫做成正比例的量，它们的关系叫做正比例关系。” 然后引导学生用字母表示正比例关系：  =k（一定）。

5、认识并简单应用正比例的图象。
例题简析：正比例关系的图像是一条经过原点的直线，因为小学阶段研究的数主要是正数，所以表示的图像仅限于平面直角坐标系的第一象限。认识正比例关系的图像，一方面应让学生体会正比例图像的特点和作用，另一方面可以加深学生对正比例的认识。

教学建议：
*  让学生联系画折线统计图的经验，画出正比例关系的图像。你能像画折线统计图那样把例1的实验结果在图上画出来吗？……教师只在点（0，0）处给予点拨：如果高度是0呢？
* 认识正比例关系图像。结合问题（1），使学生知道所描的点在同一条直线上，体会正比例关系的图像是一条直线；了解从这个图像可以直观地看到高度与体积的变化情况，高度增加，体积也随着增大。
* 应用正比例关系图像。一是结合问题（2），使学生知道：利用正比例关系图像，不用计算，可以由一个量的值，直接找到或估计对应的另一个量的值。二是可以根据图像是否是一条直线，判断两种量是否成正比例。
6、引导学生经历从具体情境中抽象出反比例的过程，理解反比例的意义（例3）。
例题简析：反比例的编排思路与例1相类似。

教学建议：
教学反比例的意义，可以仿照正比例意义的教学进行，这里再为老师们介绍另一种教学思路。
*  复习旧知，猜想引入。复习正比例的概念后，揭示课题：前面我们学习了成正比例的量，今天我们学习成反比例的量，请学生猜一猜：成反比例的两个量会有怎样的变化规律呢？……同学们猜得对不对呢，下面我们一起就去研究一下。
* 提供材料，组织探究。可以为学生提供这样的材料：下面的4个例子中只有2个例子中的量成反比例关系，你能把这2个反比例的例子找出来吗？
1、买同样的铅笔。

2、运一批货物。

3、用100元去买日记本。

4、行一段路程。

四个例子中有1个正比例关系、2个反比例关系、1个与反比例雷同（“和”一定），当要求学生去把其中仅有的2个反比例的例子找出来时，学生很快就会排除第1个，然后会从剩下的三个中去寻找变化规律相同的两个量，通过交流你是“怎样找的？怎样想的？”就可以逐步归纳出反比例的意义。这样的教学思路有利于培养学生的“智慧”。

7、结合地图和图纸，教学比例尺的含义。
教材简析：比例尺表示图上距离与实际距离的比（一种认为的规定），它既可以作为比的应用，也可以看作是比例的应用，而且根据比例尺放大或缩小的图形与原图是相似图形。人教版课标教材把它由原来的“比例的意义和基本性质”部分，移到了“比例的应用”部分。
教学建议：
*  体会比例尺产生的必要性。教学时，可以先出示例3：“学校要建一个长80米、宽60米的长方形操场，画出操场的平面图。”然后提问：如果按实际尺寸画出操场的平面图，同学们觉得怎们样？那有没有什么办法呢？……由此引入“比例尺”的教学（例3在本节课只作为的导入使用，真正解决问题按教材安排进行）。
*  结合比例尺的具体含义，理解比例尺的概念。认识比例尺的关键在于理解比例尺的含义，掌握比例尺的概念。教学时，可以先出示一幅用数值比例尺表示的地图，让学生找一找图中的比例尺、说一说它表示什么意思？（例如，比例尺1∶1000表示图上距离与实际距离的比、图上距离1厘米相当于实际距离1000厘米、图上距离是实际距离的、实际距离是图上距离的1000倍等）再出示一幅用线段比例尺标注的地图，也让学生找一找图中的比例尺、说一说它表示什么意思？……并由此揭示比例尺的概念，然后出示一组数值比例尺、线段比例尺、放大比例尺的地图，再让学生互相说一说这些比例尺表示什么意思？此时，重点放在放大比例尺的含义上。

8、根据图上距离、实际距离、比例尺中的两个求另外一个（例1、例2）。
例题简析：例1、例2都是比例尺概念的应用，它包括已知图上距离和实际距离求比例尺、已知比例尺和图上距离求实际距离、已知比例尺和实际距离求图上距离三部分（教材没有专门安排求图上距离的例题）。

教学建议：

*  重视数学结构。教学这部分内容时，要整体把握图上距离、实际距离、比例尺三者之间的数学结构，如果把比例尺看成一个分数，那么它们之间就有一乘二除的数量关系结构。

*  关注细节训练。学习这部分内容需要学生熟练地进行长度单位之间的换算，特别是厘米与千米之间的换算，要注意强调添0、去0的问题。教学例1时，要注意强调图上距离、实际距离的位置不能写反，化简比时要先统一单位，求比例尺的结果是一个比，不带单位名称。练习八中的习题，涉及到把数值比例尺改写成线段比例尺时，实际距离的单位要改写成所要求的单位（如，练习八第1题）；涉及到用解比例的方法求图上距离或实际距离时，设未知数时要注意图上距离和实际距离的单位及其转换；涉及到利用比例尺画图时，要在图中标明比例尺。

* 教学例2时，应该体现解题思路的多样性。学生可以用解比例的方法，也可以从“实际距离是图上距离的500000倍”进行思考，可以通过“把数值比例尺转换成线段比例尺”进行解答，也可以根据“实际距离=图上距离÷比例尺” 进行解答。

9、综合运用比例尺及有关知识绘制平面图（例3）。
例题简析：这部分内容需要学生综合运用比例尺的有关知识解决实际问题，难点是“根据图纸的大小确定合适的比例尺”。

教学建议：

*  提出问题，明确步骤。联系比例尺的教学导入，再次出示例3，组织学生讨论：在作业本上画出新建操场的平面图，我们可以按怎样的步骤去完成这个任务？通过交流汇报，使学生明确解决问题的步骤：确定比例尺→计算图上距离→画图并注明比例尺。
*  根据图纸的大小确定合适的比例尺。这部分的教学，要注意以下三点：（1）长和宽的比例尺要相同（如果长用1厘米表示20米，宽用1厘米表示10米，那么画出的图形形状就会发生变化）。（2）要注意培养学生对比例尺的数感（例如：同一幅图分别按“1：100、1：1000、1：10000”的比例尺绘制，哪个比例尺画出的图最大？哪个比例尺画出的图最小？）（3）确定的比例尺是否合适，应根据求出的长、宽的图上距离和图纸的大小来判断。
*  确定出合适的比例尺后，就可以由学生自己去画出平面图。

10、在现实情境和画图活动中，教学图形的放大与缩小（例4）。
例题简析：图形的放大与缩小是比的实际应用。这部分内容是使学生从数学的角度认识放大与缩小现象，知道图形按一定的比放大或缩小后，只是大小发生了变化，形状没变，从而体会图形相似变化的特点，并能在方格纸上按一定的比将简单图形放大或缩小。

教学建议：

* 认识图形的放大。教学时要注意四点：

（1）准确理解和表述“按2∶1放大图形” 的含义（判断下面的几种说法：把图形的每条边放大到原来的2倍【对】，放大后的图形是原来图形的2倍【错】，放大后的图形与原来图形的比是2∶1【错】，放大后的图形与原来图形对应边长的比是2：1【对】）。

（2）教材精心选择的素材，为学生在探究性的画图中理解图形的放大留下了空间。正方形、长方形、三角形在按“2∶1”放大时，分别需要考虑1条、2条、3条边的计算，而且如果学生把正方形按面积放大时（即18格）会遇到困难，把直角三角形按边长放大时，画斜边时会遇到困难。根据这样的素材特点，可以通过有层次的画图活动，引导学生自己建构图形放大的含义。例如：正方形（独立试画，明确：放大边）→长方形（试画，明确：放大每边）→三角形（遇到问题：斜边）

（3）画直角三角形时，应引导学生思考（猜）：直角三角形的斜边不能直接看出是多少格，是不是只要把两直角边放大到原来的2倍，就可以了？学生试画后，让学生通过量一量的方法，得到放大后的斜边长度也是放大前的2倍。

（4）通过画图活动要使学生明确：一个图形按2∶1放大，就是把图形每边的长度放大到原来的2倍，图形变大了，但形状没变。

*  认识图形的缩小。教学时要注意两点：（1）启发学生根据“按2∶1放大图形”的含义，迁移、类推出“按1∶3缩小图形”的含义。（2）通过画图活动要使学生明确：一个图形按1∶3缩小，就是把图形每边的长度缩小到原来的，图形变小了，但形状没变。

* 引导归纳小结：2∶1的前项大于后项，表示图形放大；1∶3的前项小于后项，表示图形缩小。图形的各边按相同的比放大或缩小后，只是大小发生了变化，形状没变。”

教学建议：

（1）出示例题后，先让学生自己解答，并交流解答方法。再提出学习目标：这样的问题还可以用比例的知识来解答，我们今天就来学习用比例的知识进行解答。

（2）教学的关键是引导学生找出两种相关联的量，判断它们成哪种比例，然后根据正、反比例的意义列出方程。例如，在例5的教学中，可以通过以下几个问题引导学生思考：题目中有哪几种量？（水费、用水的吨数、水的单价）→哪个量是不变的量？（水的单价）→水费和用水的吨数成什么比例？为什么？（因为水费和用水吨数的比值一定）→你能根据这样的比例关系，列出一个含有未知数的等式吗？列出方程后就可以由学生完成后面的解答。

教学时注意两点：

（1）等号左右两边比的意义要一致。

（2）等号左边比的前后项单位要一致、等号右边比的前后项单位要一致，因此这里只要设的未知数的单位为“吨”，就不必进行单位转换。