数列的排列规律 

  夏令营开营仪式上，辅导员老师整理队伍，先叫全体营员排成一队，为清点人数，要求队员按次序报数：1、2、3、4、5、6、7、8、9，------然后把队伍分成两队。老师说：“听口令。立正！报到单数的同学向前跨一步，报到双数的同学原地不动！”这样，向前跨一步的同学对应的报数依次为1、3、5、7，------原地不动的一列同学对应的报数依次为2、4、6、8，------观察这两列数，有一定的规律：后一个数总比前一个数多2，像这样有一定规律排成的数叫做数列。如：4、7、10、13------是相邻两数的差是3的数列。数列中的每一个数都叫做这个数列的项，其中第一个数称为这个数列的第1项，第二个数称为第2项，---，第n个数就称为第n项。

探索目标：1、寻找各项与项数间的关系。

          2、考虑相邻项之间的关系。然后，再归纳总结出一般的规律。

探索过程：例1观察下面的数列，找出其中的规律，并根据规律，在括号中填上合适的数。

（1）2、5、8、11，（         ）、（          ）。

（2）19、17、15、13，（       ）、（        ）。

（3）1、3、9、27，（        ）、（        ）。

（4）64、32、16、8，（        ）、（        ）。

（5）1，1，2，3，5，8，（         ）、（         ）。

[点拨]（1）和（2）联系起来观察，容易看出：数列（1）中，随着项数增大，每一项的数值也增大，后一项总比前一项多3，数列（1）是递增的；数列（2）中，随项数的增大，每一项的数值却依次减小，后一项总比前一项少2，数列（2）是递减的。这两个个数列有一个共同的性质，即相邻两项的差都是一个定植。我们把类似（1）、（2）这样的数列称为等差数列。

（3）、（4）两个数列中，数列（3）是递增的数列，后一项总是前一项的3倍；数列（4）是递减数列，前一项总是后一项的2倍。它们有一个共同的特点。每列数中，相邻两项的商都相等，像这样的数列，我们把它称为等比数列。

像（5）这样的数列就是数学上有名的斐波那契数列。它的特点是：从第3项开始，每一项都等于它前面两项的和。

[解答]根据上面的分析，不难填写出各数列中所缺的数。

 （1）2、5、8、11，（       ）、（         ）。

（2）19、17、15、13，（     ）、（      ）。

（3）1、3、9、27，（   ）、（      ）。

（4）64、32、16、8，（        ）、（      ）。

（5）1，1，2，3，5，8，（   ）、（   ）。

[例2]观察下面各数列的变化规律，然后在括号中填上合适的数。

（1）1、3、6、10、（   ）、21、（  ）、28、（   ）、36、（   ）。

（2）1、2、6、24、（   ）、（      ）5040。

（3）1、4、9、16、25、（      ）、（     ）、64。

（4）1、2、2、4、3、8、4、16、5、（     ）、（     ）

[例3]下面数列的每一项由3个数组成的数组表示，它们依次是：（1、5、9），（2、10、18），（3、15、27），……

问第50个数组内三个数的和是多少？

[解答]第50个数组内3个数的和是：50+250+450＝750

思考：也可以从每个数组3个数的和来找规律，请同学们自己做一做。

[例4]先找规律，再填数。

1×9＋2＝11       12×9＋3＝111       123×9＋4＝1111

1234×9＋5＝（   ）   12345×9＋6＝（       ）   123456×9＋7＝（      ）    1234567×9＋8＝（      ）

[解答]1234×9＋5＝11111 12345×9＋6＝111111 .123456×9＋7＝1111111 .234567×9＋8＝11111111

[总结]找数列的排列变化规律的一般方法是先观察分析，可以看前后两项的关系，也可以分组进行分析，有目的地对这列数中相邻的几个数依次进行相同的四则运算，再把计算结果进行分析比较，从中找出排列的规律。图形中的数，它们之间的变化规律往往与这些数在图形中的特殊位置关系有关。

 

 

数列1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，… 的排列规律是：前两个数是1，从第3个数开始，每一个数都是它前面两个数的和，这个数列叫做斐波那契数列。在斐波那契数列的前2004个数中共有　668　　　　个偶数。为什么？

你好！

看连续的三个数，依次是奇+奇=偶，奇+偶=奇，偶+奇=奇，奇+奇=偶，……，可见第三个数出现一个偶数，2004恰好是第2004/3=668个偶数.

很简单

因为第一个1是奇数,第二个1也是奇数,第三个数是奇数+奇数=偶数

第四个数是奇数+偶数=奇数,第五个是偶数+奇数=奇数,第六个是奇数+奇数偶数......

排列规律是奇数.奇数.偶数.奇数.奇数.偶数........

2004/3=668

 

 

4,8,16,32,(64),(128),(256).后面的数是前一个的两倍

243,(81),27,9,(3),(1).后面的数是前一个的1/3

2,5,11,23,(47),(95),(191).后面的数是前一个数*2+1

8,24,12,36,18,(54),(27),(81). 后一个数是前一个乘以3或除以2

 

 

  找出数列的排列规律（一）

 

    找规律是我们在生活、学习、工作中经常使用的一种思想方法，在解数学题时人们也常常使用它，下面我们利用找规律的方法来解一些简单的数列问题。

（一）思路指导

  例1. 在下面数列的（    ）中填上适当的数。

    1，2，5，10，17，（  ），（  ），50

    分析与解：

    这个数列的排列规律是什么？我们逐项分析：

    第一项是：1

    第二项是：2，

    第三项是：5，

    第四项是：10，

    ……

    可以看出，这个数列从第二项起，每一项都等于它的前一项依次分别加上单数1，3，5，7，9……，这样我们就可以由第五项算出括号内的数了，即：

    第一个括号里应填 ；第2个括号里应填 。

 

  例2. 自1开始，每隔两个整数写出一个整数，这样得到一个数列：

    1，4，7，10……

    问：第100个数是多少？

    分析与解：

    这个题由于数太多，很难像例1那样递推，我们可以换一种思路：

    数列中每相邻两个数的差都是3，我们把这样的数列叫做等差数列。我们把“3”叫做这个等差数列的公差。

    观察下面的数列是等差数列吗？如果是，它们的公差是几？

    （1）2，3，4，5，6，7……

    （2）5，10，15，20，25，30……

    （3）1，2，4，8，16……

    （4）12，14，16，18，20……

    现在我们结合例2找一找每一项与第一项，公差有什么关系？

    第1项是1，第二项比第一项多3，第三项比第一项多2个3，第四项比第一项多3个3，……依次类推，第100项就比第一项多99个3，所以第100个数是 。

    由此我们可以得出这样的规律：等差数列的任一项都等于：

第一项＋（这项的项数－1）×公差

    我们把这个公式叫做等差数列的通项公式。利用通项公式可以求出等差数列的任一项。

    试试看：你能求出数列3，5，7，9……中的第92个数是多少吗？

 

  例3. 已知一列数：2，5，8，11，14，……，44，……，问：44是这列数中的第几个数？

    分析与解：显然这是一个等差数列，首项（第一项）是2，公差是3。我们观察数列中每一个数的项数与首项2，公差3之间有什么关系？

    以首项2为标准，第二项比2多1个3，第三项比首项多2个3，第四项比首项多3个3，……，44比首项2多42，多14个3，所以44应排在这个数列中的第15个数。

    由此可得，在等差数列中，每一项的项数都等于：

    （这一项－首项）÷公差＋1

    这个公式叫做等差数列的项数公式，利用它可以求出等差数列中任意一项的项数。

    试试看：数列7，11，15，……195，共有多少个数？

 

  例4. 观察下面的序号和等式，填括号。

序号 1 2 3 4 （  ）

等式 (  )+(  )+7983=(  )

    分析与解：

    表中等式的第1个加数是1，3，5，7，9……，是一个等差数列，公差是2，第二个加数也是一个等差数列，公差是3，第三个加数也是一个等差数列，公差是4，和同样是一个等差数列，公差是9。由于第三个加数的最后一项是7983，可以根据等差数列的项数公式求出7983是3，7，11，15……这个等差数列的第几项，也就是序号。 。这样我们就可以分别求出各个等差数列的第1996项是多少了，利用通项公式：

   

    综上所述，括号里应填的数是：

    （1996）    （3991）＋（5987）＋7983＝（17961）

 

  例5. 已知数列1，4，3，8，5，12，7，16，……，问：这个数列中第1997个数是多少？第2000个数呢？

    分析与解：从整体观察不容易发现它的排列规律，注意观察这个数列的单数项和双数项，它们各自的排列规律为：

    单数项：1，3，5，7，……

    双数项：4，8，12，16，……

    显然，它们各自均成等差数列。

    为了求出这个数列中第1997个数和第2000个数分别是多少，必须先求出它们各自在等差数列中的项数，其中：

    第1997个数在等差数列1，3，5，7，……中是第 个数；

    第2000个数在等差数列4，8，12，16，……中是第 1000个数。

    所以，第1997个数是 。

    第2000个数是

 

［答题时间：40分钟］

（二）尝试体验

  1. 按规律填数。

    （1）1，2，4，（  ），16；

    （2）1，4，9，16，（  ），36，49；

    （3）0，3，7，12，（  ），25，33；

    （4）1，1，2，3，5，8，（  ），21，34；

    （5）2，7，22，64，193，（  ）。

  2. 数列3，6，9，12，15，……，387共有多少个数？其中第50个数是多少？

  3. 有数组（1，1，1），（2，4，8），（3，9，27），……，求第100组的三个数之和。

  4. 下面各列数中都有一个“与众不同”的数，请将它们找出来：

    （1）6，12，3，27，21，10，15，30，……；

    （2）2，3，5，8，12，16，23，30，……。

【试题答案】

（二）尝试体验

  1. 按规律填数。

    （1）1，2，4，（  ），16；

    （2）1，4，9，16，（  ），36，49；

    （3）0，3，7，12，（  ），25，33；

    （4）1，1，2，3，5，8，（  ），21，34；

    （5）2，7，22，64，193，（  ）。

    答案：

    （1）后一个数是前一个数的2倍：1，2，4，（8），16；

    （2）从1开始自然数的平方数：1，4，9，16，（25），36，49；

    （3）相邻两个数的差是逐渐增加的：0，3，7，12，（18），25，33；

    （4）前两个数之和等于后面的数：1，1，2，3，5，8，（13），21，34；

    （5）后一个数总是前一个数的3倍多1：2，7，22，64，193，（580）。

  2. 数列3，6，9，12，15，……，387共有多少个数？其中第50个数是多少？

   

    答：共有129个数，其中第50个数是150。

  3. 有数组（1，1，1），（2，4，8），（3，9，27），……，求第100组的三个数之和。

    每组第1个数是按自然数顺序排列的，公差是1的等差数列

    每组第2个数是平方数

    每组第3个数是立方数

    第100组的三个数之和是

  4. 下面各列数中都有一个“与众不同”的数，请将它们找出来：

    （1）6，12，3，27，21，10，15，30，……；

    （2）2，3，5，8，12，16，23，30，……。

    答案：

    （1）这列数中每一个数都是3的倍数，只有10不是。

    （2）这列数中从第2项起，每一项都等于相邻的前一项分别加上1，2，3，4，5，……，这样第6个数应该是12+5=17，不是16。所以，16是“与众不同”的数。

 

 

 

《奥赛天天练》第1讲《数列的排列规律》。在二年级奥数课堂已经对此类问题作了初步介绍。本讲在此基础上增加了一些常见的数列类型，如等比数列、自然数列的平方和立方等等。通过本讲学习可以帮助孩子进一步熟悉更多的数列类型，了解更多的数列规律，扩大知识面，发散思维。寻找数列的排列规律可以从以下三个方面入手：

一、仔细观察数据的特征（对于一些特殊数要有一定的积累，如平方数、立方数），根据数据特征极其相互之间的关系找规律。如：

①【第1讲，巩固训练，习题1，第（2）小题】

这个数列的规律是：12、22、32、42、52、62、72。

答案：1、4、9、16、25、（36）、（49）。

②【第1讲，拓展提高，习题1，第（1）小题】

这个数列的规律是：分子都是1，分母按自然数列递增。

    答案：1，1/2,1/3,1/4,(1)/(5),(1)/(6)。

③【第1讲，拓展提高，习题1，第（2）小题】

这个数列的规律是：13、23、33、43、53、63。

答案：1、8、27、64、（125）、（216）。

二、对数列中相邻两个数作差或相除，根据差和商的情况找规律。如：

①【第1讲，模仿训练，练习1，第（3）小题】

这个等比数列的规律是：数列中任意相邻两个数，后面的数除以前面的数，商是3。依次为：30、31、32、33、34、35。答案：   

②【第1讲，模仿训练，练习2，第（2）小题】

这个数列的规律是：从数列的第二项开始，每一项与前一项的差依次是：31、32、33、34、35。答案： 

这个数列中还蕴藏着这样的规律：后面一个数总是前面一个数的3倍多1。数字之间的这种关系属于比较难找的类型。

③【第1讲，巩固训练，习题1，第（1）小题】

这个数列的规律是：从数列的第二项开始，每一项与前一项的商依次是：2、3、4、5、6、7。答案：

④【第1讲，巩固训练，习题1，第（3）小题】

这个数列的规律是：从数列的第二项开始，每一项与前一项的差依次是：3、5、7、9、11、13、15。答案： 

⑤【第1讲，巩固训练，习题1，第（4）小题】

这个数列的规律是：从数列的第二项开始，每一项与前一项的差依次是：0、2、4、6、8、10。答案：  

⑥【第1讲，巩固训练，习题2，第（2）小题】

这个数列的规律与【模仿训练，练习2，第（2）小题】相同，从数列的第二项开始，每一项与前一项的差依次是： 31、32、33、34、35、36。

答案：2，5，14，41，122，（365），（1094）。

这个数列同样还蕴藏着这样的规律：后面一个数总是前面一个数的3倍少1。这种关系低年级孩子不太容易发现。

三、统筹考虑数列中相邻的三、四个数，根据它们之间的关系找规律。如：

①【第1讲，模仿训练，练习2，第（1）小题】：

这个数列的规律是：从数列的第三项开始，每个数都是这个数前面两个数的和。

答案：5，6，11，17，28，（45），（73）。

《奥赛天天练》第1讲，拓展提高，习题2

【题目】：

找规律，并在空格里填上适当的数。 

【解析】：

第（1）个表格中第二排的数字分别是第一排对应数字的平方，因此空格里应填49；第（2）个表格中第三列的数字既符合用第一列对应的数字加5，也符合用第二列的数字依次减去2、3、4，因此空格中填11或者20都可以；第（3）个表格中的规律是第一排的数字依次减去33得到第二排数字，第二排数字减去31得到对应的第三排数字。

 

 

 

1       8       9       4       1       1/6     ...........

  n的(5-n)次方  

  n^(5-n)  

   

  第一个是1的4次方  

  第二个是2的3次方  

  第三个是3的2次方

导入

        数列是按照某种规律排列的一串数，因此，怎样通过观察、分析、综合、归纳找出数列的排列规律。我们看下面的例题。

 

二、新授

1、例1     按规律填数：

  1，4，9，16，25，（  ），49，64，81

思路点拨：  

           找数列的规律，常用的方法有两种。一种是找出数列的“项”与“项数”之间的关系。数列中的每一个数称为数列的一项，而每个数所在的位置，第一个数称为第一项，第十个数称为第10项，这时的“1”、“10”称为项数，用字母表示数列的项，一般的数列是

                        a1 , a 2 ,a3  , … …,an ,…              

       有几项就叫项数。

解法一：

       数列（1）中的第一项是1；第二项是4，它等于2的平方；第三项就是9，它等于3的平方。通过观察发现“项”与“项数”之间的关系是：项等于项数的平方，样，要填写的是第6项，当然是6的平方，即36。

解法二：

         找规律的另一种常用的方法是找出相邻项之间的关系。这样，就知道了第一项、第二项、第三项、第四、…….等项都可以算出来。

2、例2      按规律填数：

             2，3/2，4/3，5/4，（  ），7/6，8/7，9/8 ；                                      

思路点拨 ：

       数列（2 ）的排列规律是：每项都是分数，分母等于项数，分子等于项数加1，要填的是第五项，应是6/5。                      

解：

     这个数列的通项公式是

                      an=n+1/n                     

  如果要写1990项，那么应是1991/1990。

3、例3      按规律填数：

1*3，2*4，3*5，（  ），5*7，6*8，7*9 ；

思路点拨：

      数列（3）的排列规律是：每项都是两个整数的乘积，第一个因数等于项数，第二个因数等于项数加2，要填的第4个项应是4*6。                  

解：

  这个数列的通项公式是

             an=n*(n+2)                              

                                                

如果要写出第1990项，那么应是1990*1992。

4、例4  按规律填数：

  1，4，7，10，13，16，19，（  ）                                                                           

思路点拨：

这种数列称为等差数列，它的排列规律是：从第二项起，每项减去它的前一项的差等于一个常数（称为公差），这个数列是等差数列，公差是3。

解：要填写的第八项等于第7项加上3，即为19+3=22

 

三、练习

按规律填数

（1）39，41，43，45，（ ），（ ）

 

（2）2，3，5，8，12，（ ），（ ）

 

（3）1，4，7，10，13，（ ），（ ）

 

（4）5，3，7，5，9，（ ），（ ）

 

（5）0，3，3，6，9，（ ），（ ）

 

（6）1，8，9，17，26，（ ），（ ）

 

 

数字推理题型的7种类型28种形式

    数字推理由题干和选项两部分组成，题干是一个有某种规律的数列，但其中缺少一项，要求考生仔细观察这个数列各数字之间的关系，找出其中的规律，然后从四个供选择的答案中选出你认为最合适、最合理的一个，使之符合数列的排列规律。其不同于其他形式的推理，题目中全部是数字，没有文字可供应试者理解题意，真实地考查了应试者的抽象思维能力。

    第一种情形----等差数列：是指相邻之间的差值相等，整个数字序列依次递增或递减的一组数。

    １、等差数列的常规公式。设等差数列的首项为a1，公差为d ，则等差数列的通项公式为an=a1+(n-1)d (n为自然数)。

  [例1]1，3，5，7，9，（    ）  A.7    B.8  C.11    D.13

  [解析] 这是一种很简单的排列方式：其特征是相邻两个数字之间的差是一个常数。从该题中我们很容易发现相邻两个数字的差均为2，所以括号内的数字应为11。故选C。

  ２、二级等差数列。是指等差数列的变式，相邻两项之差之间有着明显的规律性,往往构成等差数列.

  [例2] 2, 5, 10, 17, 26, (  ), 50      A.35  B.33  C.37  D.36

  [解析]  相邻两位数之差分别为3, 5, 7, 9,

  是一个差值为2的等差数列,所以括号内的数与26的差值应为11,即括号内的数为26+11=37.故选C。

  ３、分子分母的等差数列。是指一组分数中，分子或分母、分子和分母分别呈现等差数列的规律性。

[例3]  2/3，3/4，4/5，5/6，6/7，（  ） 

A、8/9  B、9/10  C、9/11  D、7/8

    [解析]  数列分母依次为3，4，5，6，7；分子依次为2，3，4，5，6，故括号应为7/8。故选D。

    ４、混合等差数列。是指一组数中，相邻的奇数项与相邻的偶数项呈现等差数列。

[例4]  1，3，3，5，7，9，13，15，，（  ），（  ）。 

A、19  21  B、19  23  C、21  23 D、27  30

    [解析]  相邻奇数项之间的差是以2为首项，公差为2的等差数列，相邻偶数项之间的差是以2为首项，公差为2的等差数列。

    提示：熟练掌握基本题型及其简单变化是保证数字推理题不丢分的关键。

    第二种情形---等比数列：是指相邻数列之间的比值相等，整个数字序列依次递增或递减的一组数。

    5、等比数列的常规公式。设等比数列的首项为a1，公比为q(q不等于0)，则等比数列的通项公式为an=a1q n-1(n为自然数)。

      [例5] 12，4，4/3，4/9，（  ）     

A、2/9  B、1/9  C、1/27  D、4/27

      [解析]  很明显，这是一个典型的等比数列，公比为1/3。故选D。

  6、二级等比数列。是指等比数列的变式，相邻两项之比有着明显的规律性，往往构成等比数列。

    [例6]  4，6，10，18，34，（  ）    A、50  B、64  C、66  D、68

    [解析] 此数列表面上看没有规律，但它们后一项与前一项的差分别为2，4，6，8，16，是一个公比为2的等比数列，故括号内的值应为34+16Ⅹ2=66 故选C。

  7、等比数列的特殊变式。

    [例7] 8，12，24，60，（  ）    A、90  B、120  C、180  D、240

    [解析]  该题有一定的难度。题目中相邻两个数字之间后一项除以前一项得到的商并不是一个常数，但它们是按照一定规律排列的：3/2，4/2，5/2，因此，括号内数字应为60Ⅹ6/2=180。故选C。此题值得再分析一下，相邻两项的差分别为4，12，36，后一个值是前一个值的3倍，括号内的数减去60应为36的3倍，即108，括号数为168，如果选项中没有180只有168的话，就应选168了。同时出现的话就值得争论了，这题只是一个特例。

第三种情形—混合数列式：是指一组数列中，存在两种以上的数列规律。

8、双重数列式。即等差与等比数列混合，特点是相隔两项之间的差值或比值相等。

    [例8]  26，11，31，6，36，1，41，（  ）  A、0  B、-3  C、-4 D、46

    [解析] 此题是一道典型的双重数列题。其中奇数项是公差为5的等差递增数列，偶数项是公差为5的等差递减数列。故选C。

    9、混合数列。是两个数列交替排列在一列数中，有时是两个相同的数列（等差或等比），有时两个数列是按不同规律排列的，一个是等差数列，另一个是等比数列。

[例9]  5，3，10，6，15，12，（  ），（  ） 

A、20  18  B、18  20  C、20  24 D、18 32

  [解析] 此题是一道典型的等差、等比数列混合题。其中奇数项是以5为首项、公差为5的等差数列，偶数项是以3为首项、公比为2的等比数列。故选C。

第四种情形—四则混合运算：是指前两（或几）个数经过某种四则运算等到于下一个数，如前两个数之和、之差、之积、之商等于第三个数。

    10、加法规律。

      之一：前两个或几个数相加等于第三个数，相加的项数是固定的。

    [例11] 2，4，6，10，16，（  ）A、26  B、32  C、35  D、20

    [解析] 首先分析相邻两数间数量关系进行两两比较，第一个数2与第二个数4之和是第三个数，而第二个数4与第三个数6之和是10。依此类推，括号内的数应该是第四个数与第五个数的和26。故选A。

    之二：前面所有的数相加等到于最后一项，相加的项数为前面所有项。

    [例12] 1，3，4， 8，16，（    ）  A、22 B、24  C、28  D、32

    [解析]  这道题从表面上看认为是题目出错了，第二位数应是2，以为是等比数列。其实不难看出，第三项等于前两项之和，第四项与等于前三项之和，括号内的数应为前五项之和为32。故选D。

    11、减法规律。是指前一项减去第二项的差等于第三项。

    [例13] 25，16，9，7，（  ），5    A、8 B、2  C、3  D、6

  [解析] 此题是典型的减法规律题，前两项之差等于第三项。故选B。

  12、加减混合：是指一组数中需要用加法规律的同时还要使用减法，才能得出所要的项。

    [例14]  1，2，2，3，4，6，（    ）      A、7  B、8  C、9  D、10

  [解析]  即前两项之和减去1等于第三项。故选C。

  13、乘法规律。

    之一：普通常规式：前两项之积等于第三项。

    [例15] 3，4，12，48，（    ）  A、96  B、36  C、192  D、576

    [解析]  这是一道典型的乘法规律题，仔细观察，前两项之积等于第三项。故选D。

    之二：乘法规律的变式：

      [例16]  2，4，12，48，（    ）  A、96  B、120  C、240  D、480

  [解析]  每个数都是相邻的前面的数乘以自已所排列的位数，所以第5位数应是5×48=240。故选D。

    14、除法规律。

  [例17]  60，30，2，15，（    ）  A、5  B、1  C、1/5  D、2/15

  [解析]  本题中的数是具有典型的除法规律，前两项之商等于第三项，故第五项应是第三项与第四项的商。故选D。

  15、除法规律与等差数列混合式。

  [例18]  3，3，6，18，（  ）  A、36  B、54  C、72  D、108

[解析]  数列中后个数字与前一个数字之间的商形成一个等差数列，以此类推，第5个数与第4个数之间的商应该是4，所以18×4=72。故选C。

  思路引导：快速扫描已给出的几个数字，仔细观察和分析各数之间的关系，大胆提出假设，并迅速将这种假设延伸到下面的数。如果假设被否定，立刻换一种假设，这样可以极大地提高解题速度。

第五种情形—平方规律：是指数列中包含一个完全平方数列，有的明显，有的隐含。

  16、平方规律的常规式。

  [例19]  49，64，91，（  ），121  A、98  B、100  C、108  D、116

    [解析]  这组数列可变形为72，82，92，（  ），112，不难看出这是一组具有平方规律的数列，所以括号内的数应是102。故选B。

  17、平方规律的变式。 

    之一、n2-n

    [例20]  0，3，8，15，24，（    ）    A、28  B、32  C、35  D、40

  [解析]  这个数列没有直接规律，经过变形后就可以看出规律。由于所给数列各项分别加1，可得1，4，9，16，25，即12，22，32，42，52，故括号内的数应为62-1=35，其实就是n2-n。故选C。

    之二、n2+n

  [例21]  2，5，10，17，26，（    ）    A、43  B、34  C、35  D、37

[解析] 

  这个数是一个二级等差数列，相邻两项的差是一个公差为2的等差数列，括号内的数是26=11=37。如将所给的数列分别减1，可得1，4，9，16，25，即12，22，32，42，52，故括号内的数应为62+1=37，，其实就是n2+n。故选D。

  之三、每项自身的平方减去前一项的差等于下一项。

  [例22]  1，2，3，7，46，（  ）    A、2109  B、1289  C、322  D、147

      [解析]  本数列规律为第项自身的平方减去前一项的差等于下一项，即12-0，22-1=3，32-2=7，72-3=46，462-7=2109，故选A。

    第六种情形—立方规律：是指数列中包含一个立方数列，有的明显，有的隐含。

  16、立方规律的常规式：

  [例23]  1/343，1/216，1/125，（    ）      A、1/36  B、1/49  C、1/64  D、1/27

    [解析]  仔细观察可以看出，上面的数列分别是1/73，1/63，1/53的变形，因此，括号内应该是1/43，即1/64。故选C。

  17、立方规律的变式： 

  之一、n3-n

[例24]  0，6，24，60，120，（  ）    A、280  B、320  C、729  D、336

[解析]  数列中各项可以变形为13-1，23-2，33-3，43-4，53-5，63-6，故后面的项应为73-7=336，其排列规律可概括为n3-n。故选D。

    之二、n3+n

  [例25]  2，10，30，68，（  ）  A、70  B、90  C、130  D、225

    [解析]  数列可变形为13+1，23+1，33+1，43+1，故第5项为53+=130，其排列规律可概括为n3+n。故选C。

  之三、从第二项起后项是相邻前一项的立方加1。

[例26]  -1，0，1，2，9，（  ）  A、11  B、82  C、729  D、730

      [解析]  从第二项起后项分别是相邻前一项的立方加1，故括号内应为93+1=730。故选D。

  思路引导：做立方型变式这类题时应从前面几种排列中跳出来，想到这种新的排列思路，再通过分析比较尝试寻找，才能找到正确答案。

      第七种情形—特殊类型：

      18、需经变形后方可看出规律的题型：

    [例27] 1，1/16，（  ），1/256，1/625  A、1/27  B、1/81  C、1/100  D、1/121

      [解析] 此题数列可变形为1/12，1/42，（  ），1/162，1/252，可以看出分母各项分别为1，4，（    ），16，25的平方，而1，4，16，25，分别是1，2，4，5的平方，由此可以判断这个数列是1，2，3，4，5的平方的平方，由此可以判断括号内所缺项应为1/（32）2=1/81。故选B。

  19、容易出错规律的题。

  [例28]  12，34，56，78，（    ）    A、90  B、100  C、910  D、901

  [解析]  这道题表面看起来起来似乎有着明显的规律，12后是34，然后是56，78，后面一项似乎应该是910，其实，这是一个等差数列，后一项减去前一项均为22，所以括号内的数字应该是78+22=100。故选B。

【破解点拨】近几年来，数字推理题的难度在不断加大，命题者在通过各种复杂的变形希望能增大这部分题型的难度，建议考生在做题时，不要拘泥于数列规律本身，而应该着眼于观察数字本身的“组合”问题，从而轻松破解新题型。

　　例题：2008年广州市公务员考试行政真题

　　(26) 1.03 ,3.04，3.05，9.06，5.07，27.08,( )

　　A.7.09 B.9.09 C.34.00 D.44.0l ，

　　【解析】这是一道隔项数列题，我们先把奇数项列出来，组成新数列：

　　1.03，3.05，5.07，( )

　　这样，我们可以观察到，整数部分和分数部分各自形成一个新数列，所以我们应该将数列“拆分”开来，形成两个独立的数列。

　　(1)整数部分是：1，3，5，(7)。

　　(2)分数部分是：0.03，0.05，0.07，(0.09)

　　合并起来即7+0.09=7.09，则正确选项为B.

1、下面是两个具有一定的规律的数列，请你按规律补填出空缺的项：

    (1)1，5，11，19，29，________，55； (2)1，2，6，16，44，________，328。

    解答：（1）观察发现，后项减前项的差为：6、8、10、......所以，应填41（=29+12），41+14=55符合。

    （2）观察发现，6=2*（2+1），16=2*（2+6），44=2*（16+6），所以，应填120=2*（44+16），2*（120+44）=328符合。

    2、有一列由三个数组成的数组，它们依次是(1，5，10)；(2，10，20)；(3，15，30)；……。问第99个数组内三个数的和是多少？

    解答：观察每一组中对应位置上的数字，每组第一个是1、2、3、......的自然数列，第二个是5、10、15、......，分别是它们各组中第一个数的5倍，第三个10、20、30、......，分别是它们各组中第一个数的10倍；所以，第99组中的数应该是：99、99*5、99*10，三个数的和=99+99*5+99*10=1584。

    3、0，1，2，3，6，7，14，15，30，________，________，________。上面这个数列是小明按照一定的规律写下来的，他第一次先写出0，1，然后第二次写出2，3，第三次接着写6，7，第四次又接着写14，15，依次类推。那么这列数的最后3项的和应是多少？

    解答：观察发现，在0、1后写2、3，2=1*2；在2、3后面写6、7，6=3*2；在6、7后面写14、15，14=7*2；在14、15后面写30，30=15*2；所以，后三项应填31、62（=31*2）、63，和为31+62+63=156。

    4、仔细观察下面的数表，找出规律，然后补填出空缺的数字。

 

    解答：观察发现，（1）第二行的数字比第一行对应位的数字都大21，所以应该填58+21=79；（2）第一列的数字是同行中后两列的数之和，所以应该填28-9=19。

    5、图5-3中各个数之间存在着某种关系。请按照这一关系求出数a和b。

    解答：图中5个圆、10个数字，其中5个数字是只属于某一个圆本身的，5个数字是每两个圆相重叠的公共区域的，观察发现，两圆重叠部分的公共区域的数字2倍，正好等于两圆独有数字之和，15*2=10+20，30*2=20+40；所以，a=2*17-10=24，b=（16+40）/2=28。验算：20*2-16=24，符合。

    6、将8个数从左到右排成一行，从第三个数开始，每个数恰好等于它前面两个数之和。如果第7个数和第8个数分别是81，131，那么第一个数是多少？

    解答：根据数列规律倒推，第6个数=131-81=50，第5个数=81-50=31，第4个数=50-31=19，第三个数=31-19=12，第2个数=19-12=7，第个数=12-7=5。

    7、1，2，3，2，3，4，3，4，5，4，5，6，…。上面是一串按某种规律排列的自然数，问其中第101个数至第110个数之和是多少？

    解答：观察发现，数列的规律为三个一组、三个一组，每一组的第一个数为从1开始的自然数列，每一组中的三个数为连续自然数；101/3=33......2，说明第101个是第33+1=34组中的第二个数，那么应该是34+1=35；从101到110共有110-101+1=10个数，那么这10个数分别是：35、36，35、36、37，36、37、38，37、38；所以，他们的和为35+36+35+36+37+36+37+38+37+38=365。

    8、如果把1到999这些自然数按照从小到大的顺序排成一排，这样就组成了一个多位数：12345678910111213…996997998999。那么在这个多位数里，从左到右的第2000个数字是多少？

    解答：一位数1~9共有9个；二位数10~99共有90个，占90*2=180位；一、二位数共占了189位；2000-9-180=1811，这1811个位数都是三位数，1811/3=603......2，说明第2000个数是第604个三位数的第2位，三位数从100开始，第604个应该是603，第二位就是0。因此，从左到右的第2000个数字是0。

    9、标有A，B，C，D，E，F，G记号的7盏灯顺次排成一行，每盏灯各安装着一个开关。现在A，C，D，G这4盏灯亮着，其余3盏灯是灭的。小方先拉一下A开关，然后拉B，C，…，直到G的开关各一次，接下去再按从A到G顺序拉动开关，并依此循环下去。他这样拉动了1990次后，亮着的灯是哪几盏？

    解答：如果一个灯的开关被拉了2下，那么，这个灯原来是什么状态，还应该是什么状态，即原来亮着的还亮着，原来不亮的还是不亮。现在共有7盏灯，每个拉2次的话就是14次。也就是说，每拉14下，每个灯都和原来的情况一样。1990/14=142......2，说明，拉1990次就相当于只拉了2次，那么就应该是A和B各被拉了一下。A原来亮着，现在变灭；B原来不亮，现在变亮。所以，拉1990次后亮着的灯应该有：B、C、D、G。

    10、在1，2两数之间，第一次写上3；第二次在1，3之间和3，2之间分别写上4，5，得到

1    4    3    5    2。

以后每一次都在已写上的两个相邻数之间，再写上这两个相邻数之和。这样的过程共重复了8次，那么所有数的和是多少？

    解答：原来两数之和：1+2=3；操作一次：1+3+2=6=3+3；操作2次：1+4+3+5+2=15=3+3+9；操作3次：1+5+4+7+3+8+5+7+2=42=3+3+9+27；......规律是，操作n次，和为3+3^1+3^2+3^3+......+3^n,所以，操作8次的和为3+3^1+3^2+3^3+......+3^8=9843。

    11、有一列数：1，1989，1988，1，1987，…。从第三个数起，每一个数都是它前面两个数中大数减小数的差。那么第1989个数是多少？

    解答：为了找到规律，我们把这列数再往下写出一些：1，1989，1988，1，1987，1986，1，1985，1984，1，1983，1982，1，1982，…这样我们可以很容易的看出规律了，即每三个一组，第一个为1，后两个是从1989依次减1排下去；1989/3=663，共有663组，去掉每一组中的1，剩下663*2=1326个，从1989顺序递减，到最后一个应该是1989-1326+1=664。所以，第1989个数是664。

    12、在1，9，8，9后面顺次写出一串数字，使得每个数字都等于它前面两个数之和的个位数字，即得到1，9，8，9，7，6，3，9，2，1，3，4…那么这个数串的前398个数字的和是多少？

    解答：同上一题所讲的思路一样，我们需要再往下写一些，以便发现规律：1，9，8，9，7，6，3，9，2，1，3，4，7，1，8，9，…这是我们已经可以发现规律了，即它们会以8，9，7，6，3，9，2，1，3，4，7，1不断循环，也即从第3个数开始，每12个数一个循环。那么，（398-2）/12=33，即供循环33次；一个循环的数字和为8+9+7+6+3+9+2+1+3+4+7+1=60，前398个数字的和=1+9+33*60=1990。

    13、有一列数：2，3，6，8，8，…从第三个数起，每个数都是前两个数乘积的个位数字，那么这一列数中的第80个数是多少？

    解答：还是上面的思路，需要再往下写一些，寻找规律：2，3，6，8，8，4，2，8，6，8，8，4，2，8，…不难发现，规律是从第三个数开始，每6个数一个循环，那么，（80-2）/6=13，所以，第80个数是8。

    14、1999名学生从前往后排成一列，按下面的规则报数：如果某个同学报的数是一位数，后面的同学就要报出这个数与9的和；如果某个同学报的数是两位数，后面的同学就要报出这个数的个位数与6的和。现在让第一个同学报1，那么最后一个同学报的数是多少？

    解答：按照要求，我们先写出前面的一些数，寻找规律：1，10，6，15，11，7，16，12，8，17，13，9，18，14，10，......规律是：从第2个数开始，每13个数一个循环；（1999-1）/13=153......9，所以，最后一个同学报的数是17。

    15、将从1到60的60个自然数排成一行，成为111位自然数，即12345678910111213…5960。在这111个数字中划去100个数字，余下数字的排列顺序不变，那么剩下的11位数最小可能是多少？

解答：为了使剩下的数尽可能小，那么除留下第一个1外，后面应尽可能多的留下0，1~60共有6个0，并且有一个是在最后，所以，第一个1后面只能留下5个0，也就是说，到50为止，前面除第一个1外只留下0，这时便成10000051525354555657585960；除了第一个1和6个0外，还要留下4个数，不难看出，应该留下51525354中的1234，所以，剩下的11位数最小可能是10000012340。

 

1） 0,3,17,95 ___

2） 8，24，60，120 ___

3) 9，1，4，3，40 ___

4) -1/2，1/2, -3/8，1/4，-5/32，___

下一个数是什么，并找出数列规律

按一定的规律在括号中填上适当的数

（一）.1，2，3，4，5，( ),  7....

（二）.100，95，90，85，80，（），70....

（三）.1，2，4，8，16，（），64....

（四）.2，1，3，4，7，（），18，29，47....

（五）.1，2，5，10，17，（），37，50....

（六）.1，8，27，64，125，（），343....

（七）.1，9，2，8，3，（），4，6，5，5....

 

 

2、4、7、12、21、38、71、_____265答案是：136

规律是：先看差值。2、3、5、9、17、33

差值的规律是 后一位=前一位*2-1

所以33后一位是65。

然后还原式子 71+65=136

①     1、2、3、4……

②  1、2、1、2、1、2……

③  1、2、1、3、1、4……

④  1、2、4、7……

⑴用图形、数表示接下去是几？

○ ○○   ○○  ○○○○

○○  ○○○○　　＿＿＿＿

⑵2、3、5、8、12、17、＿＿＿

⑶2、4、8、14、22、＿＿、44、58

提高练习

①2、3、5、8-----、-----、

②1、1、2、3、5、8、----、21

③