“公度”是一个几何学概念。对于两条线段a和b，如果存在线段d，使得a=md，b=nd(m，n为自然数)，那么称线段d为线段a和b的一个公度。换言之，两个数之比是有理数，那么这两个数是可公度的，否则不可公度。

sin(x)和sin(2x)这两个函数的周期一个是2π，一个是π，它们是可以公度的，而且两个函数之和sin(x)+sin(2x)也是周期函数，最小正周期是2π。

如果两个函数的周期是不可以公度的，直觉上他们的和函数应该不是周期函数，但是，有人构造出了一组函数f(x)和g(x)，其中f(x)的最小正周期是sqrt(2), g(x)的最小正周期是sqrt(3), f(x)+g(x)的最小正周期是1！

下面给出构造和证明。

定义：设x1和x2是两个实数，若存在整数j,m,n使得x1-x2=j+sqrt(2)*m+sqrt(3)*n，则称x1与x2等价，

所有与x等价的实数所构成的集合称为x的等价类。

引理：存在集合E为R的一个真子集，使得对任意的实数x，都存在唯一的一组数(x',j,m,n)，其中x'∈E而j,m,n是整数，使得x=x'+j+sqrt(2)*m+sqrt(3)*n.

由等价类的定义知，可以把R划分为所有等价类的并集。从每个等价类中任取一个元素组成一个新的集合E,则这个E即为所求（这里用到了选择公理）。另外，规定0=0+0*1+sqrt(2)*0+sqrt(3)*0.

下面给出构造和证明：

设f(x)=2x'+j+sqrt(3)*n;  g(x)=x'-j+sqrt(2)*m.

则h(x)=f(x)+g(x)=3x'+sqrt(2)*m+sqrt(3)*n.

因为x+sqrt(2)=x'+j+(m+1)*sqrt(2)+n*sqrt(3)，所以sqrt(2)是f的一个周期。

下证sqrt(2)是最小正周期：

设T是f的一个周期，对T作分解T=x0+j0+m0*sqrt(2)+n0*sqrt(3).

因为2x0+j0+n0*sqrt(3)=f(T)=f(0)=0,

所以T-0=(x0+j0+m0*sqrt(2)+n0*sqrt(3))-(2x0+j0+n0*sqrt(3))=-x0+m0*sqrt(2)，

因此我们得到了T=-x0+m0*sqrt(2)，

再考虑到T的分解T=x0+j0+m0*sqrt(2)+n0*sqrt(3)，两者相加得：

2T=j0+2m0*sqrt(2)+n0*sqrt(3)，这是2T的分解式，

所以0=f(0)=f(2T)=j0+n0*sqrt(3)，

相减再除以2：

T=(2T-0)/2=(j0+2m0*sqrt(2)+n0*sqrt(3)-(j0+n0*sqrt(3)))/2

=m0*sqrt(2)，于是任意周期都是sqrt(2)的整数倍。

同理可证g(x)和h(x)的周期分别为sqrt(3)和1.

如果需要构造两个周期不可公度的函数之积为周期函数的例子，只需要取p(x)=e^f(x)，q(x)=e^g(x)即可。