极端容斥这个是我在网络上看到的一些老师的叫法，我个人更倾向于把这种题型叫做容斥极值问题。

怎么样的极值呢？两种题型，在容斥原理的外壳下，问你符合条件的最多有多少，或者最少有多少，这就是容斥原理极值问题。从具体上来说，其实只有两道题，因为手头没有原题，我就给大家举例子来说明下：

某公司有N个人，其中会书法的有A个人，会唱歌的有B个人，会跳舞的有C个人，问会其中两样的最多有多少人？三样都会的最少有多少人？

这就是容斥问题极值题型。怎么求解呢？我们分成两个题型来解释。

第一个题型，会两样的最多有多少？

解题的核心：只会一样的和三样都会的人数一定要少！

第一道题：

公司有100人，会书法的10人，会唱歌的15人，会跳舞的16人，问会其中两样的有多少人？

这个题目我给大家列一个表大家一看就明白了

http://img8.wtoutiao.com/mmbiz/TYyZ718TA98QMu3HgdCXS0PF8x1PJfCSROpSGWXCM2S0wIQFfWXAz6K2eULWuLUfXCYqKc0Ua8j7f0aFaVwiawg/0?wx_fmt=png
因为总人数是足够多的，100人，那么我们就可以这样来列出一个表格，的到最多有20个人符合条件。

大家想一想，如果会书法的人再多一个的话？是不是答案就是21了？那如果再在此基础上多一个呢？其实还是21个！

所以第一种题型的第一种情况：总量足够大的时候：符合两个条件的最多有满足一种条件的人数总和的一半！（向下取整）

计算公式（以基本题型上给出的总量N，满足条件数分别为ABC为例）：

（A+B+C）/2

第二道题：

公司有18人，会书法的10人，会唱歌的15人，会跳舞的16人，问会其中两样的有多少人？

这里大家注意到了，总人数才18个人，那么上面那个表格的列数就收到了限制，最多只能是18列，这时候我们怎么来排布呢？

http://img8.wtoutiao.com/mmbiz/TYyZ718TA98QMu3HgdCXS0PF8x1PJfCS9fGFLHbVMo9OeElJADJpb9fw3dicRycMwT2TibbLWtQW4OWSALnia1XjQ/0?wx_fmt=png
发现了吗？这个时候就像是我们做图形推理的位置类一样，右面没位置了，往下走，结果答案是：13个人。

从上面这个表格，其实细心的同学发现了，什么时候会发生这种情况呢？满足其中一个条件的总数超过了总量的2倍，也就是说人次>2*人数。

计算公式（以基本题型上给出的总量N，满足条件数分别为ABC为例）：

3M-（A+B+C）

第三道题：

公司有100人，会书法的10人，会唱歌的5人，会跳舞的16人，问会其中两样的有多少人？

细心的同学发现了，跳舞的人数比其他两个加起来的都多，按照第一种情况的假设来列表的话好像变成了：

http://img8.wtoutiao.com/mmbiz/TYyZ718TA98QMu3HgdCXS0PF8x1PJfCSsovSFmG0XRTgwVLGFv5HYP4eibTicdbx1L9mUiaVjXMFzOgNEphEYiaiahQ/0?wx_fmt=png
于是乎，答案变成了10+5=15！

的的确确，这就是此种题型的第三个情况！

当A>B+C的时候，满足两个条件的人数最多就是B+C

以上就是关于满足两种条件最多有多少的题型，三种情况大家是不是都理解了呢？我想，如果单靠描述可能有点难，理解了上面的表格，应该就很容易了！

接下来我们看前面讲到的第二个类型，就是满足三个条件的最少有多少？

某公司有N个人，其中会书法的有A个人，会唱歌的有B个人，会跳舞的有C个人，问三样都会的最少有多少人？

剖析：从题目中我们知道，三样都会的人数最少，也就是A∩B∩C最小！

想到了什么？？？文氏图！！！

用-A -B和-C来表示的三集合容斥问题的文氏图！

http://img8.wtoutiao.com/mmbiz/TYyZ718TA98QMu3HgdCXS0PF8x1PJfCSCSWqEnWich81QEfstPdwibSeGrpyqhTS9fV6tM0ewHviandBeUKibovwHg/0?wx_fmt=png
对了，就是这张图！

A、B、C是确定的，是不是-A，-B，-C也都是确定了呢？没错，分别是N-A，N-B，N-C。而要想A∩B∩C最小，那么是不是就意味中中间这3个非集合代表的圈圈霸占的面积要足够大？

如此，事情就变得简单了，想想我们前面讲的图示法里面提到的那一题，"至少多少人不能参加面试!"

于是乎只要-A，-B，-C不想交即可！

他们三个圈圈占的面积自然就是

（-A）+（-B）+（-C）

而A∩B∩C=N-[（-A）+（-B）+（-C）]

自然就可以知道A∩B∩C的最小值就是A+B+C-2N了

同样以上面的题目为例：

公司有100人，会书法的50人，会唱歌的70人，会跳舞的90人，问会其中两样的有多少人？

秒杀，答案是50+70+90-200=10人。

这里我想肯定有的人要问了，如果跳舞的只有50人呢？

意思也就是50+70+50<200怎么搞？

那自然三种都会的最少人数为0了，千万别忘了最少两个字哦~

至此，容斥问题的内容就全部给大家讲完了，回复容斥原理，可以看到关于二集合、三集合以及极值相关的所有容斥问题解题方法！