http://s10/middle/67ee9e43g87de58318f59&690
    同学们好，今天我要和大家一起分享一种非常重要的数学思想：数形结合思想。

    我国著名数学家华罗庚说过：“数缺形时少直观，形缺数时难入微”。

    一位伟大的数学家留给了我们上面这句经典名言，为什么他会有这样的论断和感慨呢？

    今天让我们结合几道题来体悟他的这句至理名言。

【例1】来看一幅图：

http://s5/middle/67ee9e43g87de76509944&690

    同学们会有何感想？你也许会说：“这有何感想，不就是几条直线相交吗？没有什么感想。”没有感想，说明你没有“入微”。为什么没有“入微”？“数缺形时难入微”。因为这只是一幅图，为了“入微”，主动出击，寻求“数”的出现，“数”是什么？请看下幅图：

http://s9/middle/67ee9e43g87de8bf073a8&690

    “数形结合”的价值是什么？产生了一种新的两数相乘的计算方法：画线条法。

    如计算：http://s13/small/67ee9e43g87de9e4f6bdc&690，即可得到结果：672

【例2】再来看一幅图：

http://s16/middle/67ee9e43g87deaa96da7f&690

    你看到了什么？在这个图形中对数的挖掘，产生了初等几何中最为重要的定理之一：勾股定理。

    勾股定理被称为“数形结合”史最为壮丽的篇章，这是历史上被人们关注最多的定理，关注它的人上至帝王总统，下至平民百姓。据说它的证明方法至今已超过500种，仅西方的数学家毕达哥拉斯的一本专著上就给出了367种证明方法。

    这里介绍一种代表我国古代人民智慧的证明方法：拼图法。见下图：

http://s11/middle/67ee9e43g87dee0bdf72a&690

    根据大正方形的面积等于四个直角三角形的面积的和再加上一个小正方形的面积，可得：

http://s14/middle/67ee9e43g87deea54c95d&690

    这种证法成为了我们中国人的骄傲，首先骄傲到了2002年在北京举行的国际数学家大会上，上面的这幅图成为了当年大会的会标；其次骄傲到了我们人教版初中数学教科书的封面上，共六册书，除封面的颜色稍有不同外，每本的封面都醒目地印上了上面这幅图。

    这次“数形结合”的价值是什么呢？因为勾股定理的出现，无理数随之被人们发现了。

【例3】最后看一幅图：

http://s3/middle/67ee9e43g87df0073ff42&690

    人们根据“形离不开数，数离不开形”的理念，对上面的这幅图进行了研究。

    结果是出现了下的试题：

    （1）计算：1+2+3+…+99+100+99+…+3+2+1=_______________.

    （2）计算：从1开始的连续100个奇数的和是_______________.

    (请读者自行思考,当然别忘了观察上面的图形哟!)

    (如百思不得其解,可留言,再作解释.)

    如果说上面我们体验了从形到数的过程，那么很多时候我们也要从数到形开拓前进。

    请看下面的例子：

【例4】

http://s11/middle/67ee9e43g87df20858faa&690

    这个题目就有点儿那种“数缺形时少直观”的感觉。而且用纯数的运算不易得到结果，况且出题人的用意也不是让我们直接计算呢。

    这道题应构造展示题目特点的图形，轻松获解。

    请看下幅图：

http://s11/middle/67ee9e43g87df3e94b27a&690

    上面这幅图，你耐心看一下，收获一定不小，会有一种很美的感觉的。当然最后的答案是13。

    这里主要是构造勾股定理的图形，以及两点之间线段最短的一个经典运用。

    过多的话我就不说了，如再有疑问，也象上面的那道题一样，尽可留言，再作详述。

【例5】我为大家准备的这道题，被称之为数学史上最有生命力的试题之一。内容如下：

http://s16/middle/67ee9e43g87df52a90aff&690

    之所以说这道题最有生命力，是因为自2005年它成为一道竞赛题之后，2006年就被改编为一道中考题，随后的练习与测试中也不断地使用它，不过每年它都会有所变动，而变动的形式只不过是把最后的那个绝对值里的2010改为相应的年份就是了。

    作为本讲结束语的这道题，我还是先不打算讲了，这也算是一道“数缺形时少直观”的题目了，你怎样画出图形搞定它呢？发动你智慧的大脑吧。有了答案就告诉我答案和联系方式吧，发消息或留言均可。我会寄给你一个小小的惊喜呢！

    同学们，我们对今天的课题作一个小结：

    “数形结合”是一种“思想”，那“思想”又是什么呢？

    我们认为有两层含义：

    一是要有“数离不开形，形离不开数”的想法，要有主动将数与形结合起来的意愿；
    二是要掌握数与形结合的方法，这当然要靠平时的努力与积累。

    最后给大家留一个课后思考题：

    我们的课本上哪些知识点在讲解时明显地运用了数形结合思想？

    （例如：数轴、函数及其图象、乘法公式、数据的描述……）

    祝大家天天开心！学习进步！