在一个向量空间中，同样的向量在不同的基下有不同的坐标。设B={x₁,x₂,...,x_n} 和B'={y₁,y₂,...,y_n}是n维向量空间V的基，对于V中的任意向量v，都有

[v]_B'=P[v]_B，其中P=[I]_BB'=([x₁]_B'|[x₂]_B'|...|[x_n]_B').

即通过一个基变换矩阵P，可将任意向量在基B下的坐标变换到基B'下的坐标。其中P是一个非奇异矩阵，且给定基B和B'，从B到B'的基变换矩阵便唯一确定。

对于向量空间中的线性变换，同样可以利用基变换矩阵P，在不同的基之间变换其表示，即对于线性变换A，

[A]_B=P^-1[A]_B'P

因此对于线性代数研究的对象线性变换，可以利用基变换来得到其不同的矩阵表示。基变换并不改变线性变换的动作，但有可能得到更简单的矩阵表示，从而更容易分析变换的性质，这件事情在线性代数和矩阵理论中很重要。

由于基变换不改变矩阵所表示的线性变换的实质，因此对于两个矩阵B和C，如果有B=Q^-1CQ，那么就认为B和C是相似矩阵(similar matrices)。通过相似矩阵的共同性质，可以用来分析线性变换的坐标无关的性质。

一个简化线性变换的矩阵表示的重要手段，是将其变换到不变子空间(invariant subspace)上，不变子空间是指，对于向量空间V上的线性变换T，如果对于V的子空间X，有{T(x)|x∈X}⊆X，即T在X上保持封闭，那么X 就称为T下的不变子空间(invariant subspace under T)。

利用不变子空间来简化线性变换的矩阵表示的秘诀，在于将线性变换表示在不变子空间的基上。假设X,Y,...,Z是n维向量空间V的子空间，其维度分别为r₁,r₂,...r_k，它们的基分别为B_X, B_Y,...,B_Z，且∑r_i=n，B=B_X∪B_Y∪...∪B_Z是 V的一个基。那么，

如果X是T下的不变子空间，那么[T]_B是一个块三角矩阵，即

http://hiphotos.baidu.com/timeless/pic/item/4289b90173f7fb34738da5ce.jpgsubspace under T" TITLE="基变换和不变子空间invariant subspace under T" />

如果X,Y,..,Z都是T下的不变子空间，那么[T]_B是一个块对角矩阵，即

http://hiphotos.baidu.com/timeless/pic/item/30d7d10043c6c026728b65ce.jpgsubspace under T" TITLE="基变换和不变子空间invariant subspace under T" />

更特殊地，如果X,Y,...,Z都是一维子空间，则T可表示为对角矩阵；对于x∈X有Tx=λx，即λ是T的特征值(eigenvalue)，x是T的特征向量(eigenvector)。