数的加减乘除有时可以运用运算定律、性质、或数量间的特殊关系进性较快的运算这就是简便运算。（一）其方法有： 一：利用运算定律、性质或法则。

　　(1) 加法：交换律，a+b=b+a, 结合律，(a+b)+c=a+(b+c).

　　(2) 减法运算性质：a-(b+c)=a-b-c, a-(b-c)=a-b+c, a-b-c=a-c-b,

　　(a+b)-c=a-c+b=b-c+a.

　　(3):乘法：（与加法类似）：交换律，a*b=b*a, 结合律，（a*b）*c=a*(b*c),

　　分配率，（a+b）xc=ac+bc, (a-b)×c=ac-bc.

　　(4) 除法运算性质：（与减法类似），a÷(b×c)=a÷b÷c, a÷（b÷c)=a÷bxc, a÷b÷c=a÷c÷b,

　　(a+b)÷c=a÷c+b÷c, (a-b)÷c=a÷c-b÷c.

　　前边的运算定律、性质公式很多是由于去掉或加上括号而发生变化的。其规律是同级运算中，加号或乘号后面加上或去掉括号，。后面数值的运算符号不变。

　　例1:283+52+117+148=（283+117）+（52+48）=400+200=600。（运用加法交换律和结合律）。减号或除号后面加上或去掉括号，后面数值的运算符号要改变。

　　例2： 657-263-257=657-257-263=400-263=147.（运用减法性质，相当加法交换律。）

　　例3： 195-（95+24）=195-95-24=100-24=76（运用减法性质）

　　例4; 150-(100-42)=150-100+42=50+42=92.(同上)

　　例5： （0.75+125）×8=0.75×8+125×8=6+1000=1006. (运用乘法分配律))

　　例6：（ 125-0.25）×8=125×8-0.25×8=1000-2=998.(同上)

　　例7： （1.125-0.75）÷0.25=1.125÷0.25-0.75÷0.25=4.5-3=1.5。（ 运用除法性质）

　　例8: (450+81)÷9=450÷9+81÷9=50+9=59. (同上，相当乘法分配律)

　　例9： 375÷（125÷0.5）=375÷125*0.5=3*0.5=1.5. (运用除法性质)

　　例10： 4.2÷（0。6×0.35）=4.2÷0.6÷0.35=7÷0.35=20. (同上)

　　例11： 12×125×0.25×8=(125×8)×(12×0.25)=1000×3=3000. (运用乘法交换律和结合律)

　　例12: (175+45+55+27)-75=175-75+(45+55)+27=100+100+27=227. (运用加法性质和结合律）

　　例13：（48×25×3）÷8=48÷8×25×3=6×25×3=450.(运用除法性质, 相当加法性质)

　　（5）和、差、积、商不变的规律。

　　1： 和不变：如果a+b=c,那么，（a+d）+(b-d)=c,

　　2: 差不变：如果 a-b=c, 那么，（a+d）-(b+d)=c, (a-d)-(b-d)=c

　　3:积不变：如果a*b=c, 那么,(a*d)*(b÷d)=c,

　　4: 商不变：如果 a÷b=c, 那么， （a*d）÷(b*d)=c, (a÷d)÷(b÷d)=c.

　　例14： 3.48+0.98=（3.48-0.02）+（0.98+0.02）=3.46+1=4.46,。（和不变）

　　例15： 3576-2997=（3576+3）-（2997+3）=3579-3000=579。 （差不变）

　　例16： 74.6×6.4+7.46×36=7.46×64+7.46×36=7.46×(64+36)=7.46×100=746.(积不变和分配律）

　　例17:12.25÷0.25 =(12.25*4)÷(0.25*4)=49÷1=49.(商不变)。

　　二：拆数法：

　　（1）凑整法，19999+1999+198+6=（19999+1）+(1999+1)+(198+2)+2=22202

　　(2)利用规律，7.5×2.3+1.9×2.5-2.5×0.4=7.5×(0.4+1.9)+1.9×2.5 -2.5×0.4

　　=7.5×0.4+7.5×1.9+1.9×2.5-2.5×0.4=0.4×(7.5-2.5)+1.9×(7.5+2.5)=2+19=21.

　　2. 1992×20052005-2005×19921992=1992×2005×(10000+1)-2005×1992×(10000+1)=0

　　三：利用基准数：2072+2052+2062+2042+2083=（2062x5）+10-10-20+21=10311

　　四：改变 顺序，重新组合。

　　（1）： （215+357+429+581）-（205+347+419+571）=215+357+429+581-205-347-419-571

　　=（215-205）+（429-419）+（357-347）+（581-571）=40

　　（2）：（378×5×25）×(4×0.8÷3.78)=378×5×25×4×0.8÷3.78=(378÷3.78)×(25×4)x(5×0.8)

　　=100x100x4=40000，

　　五：1：求等差连续自然数的和。当加数个数为奇数时 ，有：和=中间数x个数。 当加数个数为偶数时，有：和=（首+尾）x个数的一半。

　　(1):3+6+9+12+15=9*5=45,(2):1+2+3+4+……+10=(1+10)*10÷2=55.

　　2:求分数串的和。 因为1/n-1/n+1=1/n(n+1), 1/n+1/n+1=n+(n+1)/[n(n+1)].所以：

　　（1）：1/42+1/56+1/72+1/90+1/110=1/6-1/7+1/7-1/8+1/8-1/9+1/9-1/10+1/10-1/11

　　=1/6-1/11=5/66

　　（2）：5/6-7/12+9/20-11/30+13/42-15/56+。。。。。。+41/400-43/460

　　=（1/2+1/3）-（1/3+1/4）+（1/4+1/5）-（1/5+1/6）+（1/6+1/7）-（1/7+1/8）

　　。。。。。。+（1/20+1/21）-（1/21+1/22）=1/2-1/22=5/11

　　3：变形约分法。求：（1.2+2.3+3.4+4.5）÷（12+23+34+45）的值。因为分母各项是分子各项的10倍。所以有：原式=0.1

　　六：设数法：求（1+0.23+0.34）*（0.23+0.34+0.65）-（1+0.23+0.34+0.65）*（0.23+0.34）

　　的值。 设a=0.23+0.34. b=0.23+0.34+0.65.原式=（1+a）*b-(1+b)*a

　　=b+ab-a-ab=b-a=(0.23+0.34+0.65)-(0.23+0.34)=0.65.

　　（二）：巧算的方法：除运用上面所说的简便方法外，最重要的是抓住题目（特别是应用题）中的数量关系，充分利用逻辑推理，变解法不明为解法明确，把一般问题转化为特殊问题，以小见大，以少见多，以简驭繁。从而达到巧算的目的。

　　一：利用数的整除特征和某些特殊规律。

　　特殊问题来求解。重在一个“巧”。

　　（1）：一个三位数连续写两次得到的六位数一定能被7、11、13整除。为什麽？

　　解;六位数abcabc=abc×1000+abc=abc×1001.1001=7×13×11.

　　六位数abcabc必能被7、11、13整除。

　　（2）：六位数865abc能被3、4、5整除，当这个数最小时，a,b,c各是数字几？

　　解 ：因为该数能被4,5整除,b,c必都是零，要使该数能被3整除，它各位数字和应能

　　被3整除，a只能是2。所以a,b,c分别是2,0 ,0。

　　（3）：化简：（1+2+3+4+5+6+7+8+7+6+5+4+3+2+1）÷（888888×888888）

　　=8×8÷(888888×888888)=1÷（111111×111111）=1/12345654321.

　　(因为：11*11=121,111*111=12321,1111*1111=1234321,所以。。。。。。 )

　　二：估算法：求：a=1÷(1/1992+1/1993+1/1994+……+1/2003)的整数部分。

　　解：用一般通分求他得值太繁琐，可巧用“放缩法”估算。

　　假定除数部分各加数都是1/1992， 则a=1÷(12/1992)=166。

　　若除数部分各加数都是1/2003，则a=1÷(12/2003)=166+11/12

　　所以它的整数部分是166。

　　三：正难则反法。直接求解困难时，换个角度从反面求解。

　　（1）：除了本身，合数7854321的最大因数是多少？一般想法是将其分解质因数求之，但

　　这个数很大，做起来很繁琐。

　　巧解：先求它的最小因数，再通过“除”求它的最大因数。 因为该数各位数字和能被3

　　整除，所以这个数的最小因数是3，最大因数是：7854321÷3=261807。

　　（2）：某厂人数在90----110之间，做工间操排队时，站3列正好；站5列少2人；站

　　7列少4人，这厂有多少人？

　　解：按所给数值正面求解很难，若换个角度从反面做，把它转化为：该厂工人站

　　3列多3人；站5列多3人；站7列多3人求这厂人数的问题。即求比3，5,7的

　　最小公倍数多3的数是多少。【3,5,7】=105， 105+3=108人。这厂有108人。

　　四：慎密的逻辑推理：

　　（1）：幼儿园的小朋友分饼干，每人分5块，则差27块。每人分4块，正好分完。这个

　　幼儿园有多少小朋友？分了多少饼干？

　　解：一般用方程法： 设有x个小朋友。5x-4x=27, x=27. 饼干为：27×4=108块。

　　巧解：每人分4块，正好分完，每人多分一块（5块）差27块，说明小朋友

　　为：27÷1=27个，饼干为：27×4=108块

　　(2):某商店有两个柜台，甲台比乙台的磁带少120盒，各卖出164盒后，乙剩下的是甲

　　剩下的3倍，求原来两台各有多少盒磁带？

　　一般用方程法：设甲剩x台，乙剩3x台. (3x+164)-(x+164)=120, x=60,3x=180.

　　甲原有：60+164=224盒， 乙原有180+164=344盒。

　　推理巧解：因为卖出的数量相等，所以卖出后甲仍比乙少120盒，乙是甲的3倍，

　　这就转化为差倍问题了。120÷（3-1）=60。60×3=180.

　　甲原有：60+164=224盒， 乙原有：180+164=344盒

　　(3):甲乙两人进行骑车比赛，当甲骑到全程的7/8时，乙骑到全案程6/7，这时两人相

　　距140米。如果两人的速度不变，当甲骑到终点时，两人相距多少？

　　解：一般方法：7/8:6/7=49:48.140÷（7/8-6/7）=7840 ，7840:x=49:48, x=7680

　　7840-7680=160米

　　推理巧解思路：直接求甲到终点时比乙多走多少米。甲走7/8时比乙多走140米

　　甲走1/8时比乙多走140/7=20米。所以甲走8/8（全程）时，

　　比乙多走140+20=160米

　　（4）：求分母为40以内所有自然数的真分数的和。1/2+（1/3+2/3）+（1/4+2/4+3/4）

　　+（1/5+2/5+3/5+4/5）+。。。。。。+39/40

　　解：用通分法求和很繁琐。通过分析数量关系可知，每个加数乘以2，可顺次得到1、2

　　、3、4/。。。。。。39。所以，(20×39)÷2=390 即为所求。

　　（5）：一正方形，当竖边减少20%，横边增加2米时，得到的长方形面积与原正方形面积相等，求原正方形面积。

　　解：一般思路：因为正方形面积=边长×边长。所以应先求边长。

　　.用方程解：设正方形边长为一个单位长度，则面积为一个单位面积。长方形的

　　宽为：1×(1-20%)=80%个单位长度，长为：一个单位面积÷80%个单位长度=1.25

　　个单位长度， 与2米对应的单位长度为：1.25-1=0.25个单位长度。所以正方

　　形边长（一个单位长度）=2÷0.25=8米，正方形面积=8x8=64平方米。很繁琐。

　　巧解思路：因竖边减少20%，在原图形上减少的面积与后来因横边增加2米，增

　　加的面积相等。 所以设原正方形边长为x米，则：

　　20%x× x=80%x ×2x=8米。 正方形面积=8×8=64平方米.

　　（6）：某班有40名学生，考数学时有2人缺考，这38人平均分数是89，这2名学生

　　补考后，两人的平均成绩比全班40人的平均成绩多9.5分，这两人的平均成绩

　　是多少？

　　解：一般从求平均数的共识考虑，用方程解：设这两人的平均成绩为x,则：

　　x-(89*38+2x)÷40=9.5, x=99.

　　推理巧解（抓住平均就是移多补少的实质）。这两人的平均分数比全班平均分

　　数多9.5分，把9.5×2=19补给38名学生，每人增加0.5分，所以这两人平均

　　分 数为：89+0.5+9.5=99。

　　五：注意一般解法的特殊形式：

　　（1）：求平均数的一般方法:公式法，平均数=总数量÷总份数。但当份数相等时，

　　巧解法： 平均数=（第一份数量+第二份数量+。。。。。。+第n份数量）

　　÷份数。

　　如： 某人晨练，第一个5分钟的速度是100米/分，第二个5分钟的速度是110米/分，

　　求他这10分钟内的平均速度

　　一般解法：平均数=（100×5+110×5）÷(5+5)=105米/分

　　因为“份数”相同，可巧解：平均数=（100+110）÷2=105米/分。

　　（2）：甲（带着一条狗）乙两人同时从相距100千米的两地出发相向而行，甲速度为6千米/小时，乙速为4千米/小时，狗速为10千米/小时，狗碰到乙时就掉头朝甲走来，碰到甲时又朝乙跑去。。。。。。直到甲乙两人相遇。这狗走了多少米？

　　解：若分段求出狗与甲、与乙、与甲、与乙。。。。。。相遇时走的路程，再加起来是很困难的。

　　一般巧解方法是：从整体考虑，狗走的时间就是甲乙相遇用的时间，所以狗走的时间

　　=100÷（4+6）=10小时， 狗走的路程=10×10=100千米.

　　这还不算巧，更巧的方法是：从题意可知：甲乙速度和=狗速，并且走的时间相同，所以，甲乙共走的路程就=狗走的路程=100千米。

　　总的来看，“巧解”就是在一题多解情况下的最佳选择。