有趣的渐升数

 （梁宝同  安徽省颍上第一中学）

在北师大选修2-3第一章 计数原理 第一节 习题B组有这样一道习题：“渐升数”是指每一位数字比其左边的数字大的正整数（如236），那么三位渐升数有多少个？其中比516大的三位渐升数有多少个？

    本题是在刚讲完计数原理的一个题目，自然不能用组合来处理了，放于此处主要是要学生应用分类加法原理进行统计.

首先得确定分类的标准，可以从高位向低位逐次递增数字。可以先处理两位的渐升数，如表1有：   

  表1                                     表2                     表3

从表1中可以看出两位数的渐升数有36个，那三位数的渐升数有多少呢？我们仍然列表统计，如表2所示，百位数是1的有28个，那百位数字是2的还要这样统计吗？当然不用，我们可以想想，若百位数字是2，则十位数字最小为3，故此时渐升数正好是百位数字是1时减去十位数字是2的7个数，即有21个，依次类推，如表3所示有84个.用同样的方法可以统计出四位数渐升数、五位数渐升数等等，如表4所示.

                      表 4

由表4可知，渐升数共有502个.列完后，从表中不难发现一个有趣的性质，即位数的和为9的其渐升数的个数相同，如2位数的渐升数和7位数的渐升数都有36个，3位数的渐升数和6位数的渐升数都有84个，4位数的渐升数和5位数的渐升数都有126个.

发现有趣的性质之余，随之而来的便是如何解释这一现象呢，巧合？还是必然？此时，突然想到杨辉三角，每行两边的数是对称的，可以有组合知识解释，这里的莫非也是……

于是，便计算着C(9，1)=9；C(9，2)=36；C(9，3)=84；C(9，4)=126；C(9，5)=126；C(9，6)=84；C(9，7)=36；C(9，8)=9；C(9，9)=1；C(9，k)的值正好就是k位数的渐升数，为何？恍然间，有种柳暗花明之感，求k位数的渐升数不就是组合问题吗，因为1～9这9个数字中选出k个数字任意排序，渐升数只有一个，故k位数的渐升数有C(9，k)个.