引言

有限元法经过４０多年的发展，现已成为结构分析的标准方法。强大的分析能力是有限元法最突出的特点。它所解决的问题种类之广泛，几乎囊括了结构分析的各个方面：分析对象既可以是杆件系统，也可以是由杆、板、壳、块等多种力学性质不同的构件组成的复杂系统；分析类型既可以是静力问题，也可以是动力问题；既可以是线性的，也可以是非线性的；既可以是确定的，也可以是随机的；既可以是单一物理场，也可以是固、流耦合或热、固耦合的多物理场；无论材料、载荷、边界条件多么复杂，有限元法都能有效地加以处理。

有限元法的另一个突出特点是：对于不同类型的问题，理论推导过程以及计算步骤的高度规范和统一。这一特点不但为学习这一方法减轻了难度，也为研制大型通用有限元软件奠定了基础。

    有限元法的第三个特点是：人们可以从不同的专业背景和知识起点学习和掌握它。既可

以从纯数学的概念出发，按数学物理方程数值求解的角度去学习和研究它，也可以从力学的直观概念出发去理解和掌握它。

    目前，我们在结构设计过程中使用的PKPM、广厦、TBSA、ETABS等软件都是基于有限元理论开发的。如果我们使用这些软件进行结构分析时，对软件本身所依据的理论、各种假定等一无所知的话，也就不能成为一名合格的结构工程师，同时也要承担很大的风险。

1、有限元法的发展概况

有限单元法，又称有限元法，是一种求解数学物理问题的数值方法。它最早起源于固体力学，后来迅速扩展到流体力学、传热学、电磁学、声学等与场问题有关的物理学领域。

有限单元法的解题方法，最早可追溯到１９４３年库兰特（Ｒ．Ｃｏｕｒａｎｔ）在一篇研究扭转问题的论文中对里兹（Ｒｉｔｚ）法所作的重要推广。他把杆件的横截面划分成若干个三角形区域，假设翘曲函数在各个三角形子域内近似地用线性分布函数表示，从而克服了里兹法要求整个求解域的近似解函数必须满足全部边界条件的困难。

１９６０年，克劳夫（Ｒ．Ｗ．Ｃｌｏｕｇｈ）在一篇弹性力学平面问题的论文中，首次提出有限单元法这一术语。从此，有限单元法成为连续体离散化的一种标准研究方法，在工程界获得了广泛的应用。

    到了２０世纪７０年代前后，随着计算机技术的发展，有限元法的理论和应用研究也随之空前地活跃起来。研究的内容涉及有限元法的几乎所有方面：有限元法的数学力学理论基础；单元的划分原则，形状函数的选取及协调性；有限元法所涉及的各种数值计算方法及其误差、收敛性和稳定性；有限元软件开发技术；向非结构领域的推广等。

经过４０多年的发展，有限元法已经成为一种理论上相当成熟，应用面极为广泛的数值方法。到目前为止，有限元法已被应用于各种单一物理场的线性或非线性静、动力问题的求解，以及固体、流体、温度等相互作用的耦合场问题的求解。

    利用有限元软件解决工程和科学计算问题，是有限元理论应用于工程设计和科学研究实

践的主要形式。由于工程设计的巨大市场需要，几十年来，有限元软件的发展是很迅速的。从解决单一学科的结构分析软件发展到解决多学科的多功能综合分析软件。其集成化、智能化、可视化和网络化的功能越来越强，成为工程技术人员和科研工作者的必备工具软件。目前，我国引进的大型有限元软件常见的有ＳＡＰ系列（包括ＳＡＰ５，ＳＡＰ７，ＳＡＰ８４，ＳＡＰ２０００等），ＡＤＩＮＡ，ＭＳＣ／ＮＡＳＴＲＡＮ，ＭＳＣ Ｍａｒｃ，ＡＮＳＹＳ，ＡＳＫＡ等。这些有限元软件的共同特点是：具有丰富的单元库和求解器，强大而可靠的分析功能，且很多已移植到Ｗｉｎｄｏｗｓ环境，完全的ＣＡＤ式操作方式和强大的前后处理功能，使分析工作变得轻松和容易了。人们利用这些软件解决了很多工程建设和工业产品设计中遇到的问题，取得了巨大的经济技术效益。目前，有限元软件在有关学科，特别是在计算机技术发展的推动下，继续朝着更加方便用户以及和ＣＡＤ／ＣＡＭ技术更加紧密结合的方向发展。

2、有限元法的特点

在实际工作中，人们发现，一方面许多力学问题无法求得解析解答，另一方面许多工程问题也只需要给出数值解答，于是，数值解法便应运而生。

    力学中的数值解法有两大类型。其一是对微分方程边值问题直接进行近似数值计算，这

一类型的代表是有限差分法；其二是在与微分方程边值问题等价的泛函变分形式上进行数值

计算，这一类型的代表是有限单元法。

有限差分法的前提条件是建立问题的基本微分方程，然后将微分方程化为差分方程（代数方程）求解，这是一种数学上的近似。有限差分法能处理一些物理机理相当复杂而形状比较规则的问题，但对于几何形状不规则或者材料不均匀情况以及复杂边界条件，应用有限差分法就显得非常困难，因而有限差分法有很大的局限性。

有限单元法的基本思想是里兹（Ｒｉｔｚ）法加分片近似。将原结构划分为许多小块（单元），用这些离散单元的集合体代替原结构，用近似函数表示单元内的真实场变量，从而给出离散模型的数值解。由于是分片近似，可采用较简单的函数作为近似函数，有较好的灵活性、适应性与通用性。当然有限单元法也有其局限性，如对于应力集中、裂缝体分析与无限域问题等的分析都存在缺陷。为此，人们又提出一些半解析方法，如有限条带法与边界元法等。

在结构分析中，从选择基本未知量的角度来看，有限单元法可分为三类：位移法、力法与混合法。其中位移法易于实现计算自动化，在有限单元法中应用范围最广。

依据单元刚度矩阵的推导方法可将有限单元法的推理途径分为直接法、变分法、加权残数法与能量平衡法。

    直接法直接进行物理推理，物理概念清楚，易于理解，但只能用于研究较简单单元的特性。

    变分法是有限单元法的主要理论基础之一，涉及泛函极值问题，既适用于形状简单的单

元，也适用于形状复杂的单元，使有限单元法的应用扩展到类型更为广泛的工程问题，当给定的问题存在经典变分叙述时，这是最方便的方法。当给定问题的经典变分原理不知道时，须采用更为一般的方法，如加权残数法或能量平衡法来推导单元刚度矩阵。

    加权残数法由问题的基本微分方程出发而不依赖于泛函。可处理已知基本微分方程却找

不到泛函的问题，如流?固耦合问题，从而进一步扩大了有限单元法的应用范围。

3、学习有限元法的目的

    学习有限元法的目的大致可以分为两类：(1) 应用有限元法，特别是运用已有的通用或专用软件求解实际工程技术问题；(2) 在有限元的理论和方法方面作进一步的研究工作，以提高它的有效性和扩大它的应用领域。作为工程技术人员，我们主要是为了利用有限元方法解决实际工程问题，所以，在学习的过程中要掌握好分寸，没必要钻得太深。

4、预备知识

                                       To be continued