加载中…[转载]刘徽“青朱出入图”另解
(2013-10-23 18:11:29)
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原文地址：刘徽“青朱出入图”另解作者：听梧阁
中国成书于公元前1世纪的《周髀算经》第一次记载了勾股定理的应用：“昔者周公（注：公元前11世纪周武王的大臣）问于商高（注：学者）曰：‘窃闻科大夫善数也，请问古者包牺立周历度。夫天不可阶而升，地不可得尺寸而度，请问数安从出？’商高曰：‘数之法，出于方圆。圆出于方，方出于矩，矩出于九九八十一。故折矩，以为勾广三，股修四，径隅五。既方之，外半其一矩，环而共盘，得成三四五。两矩共长二十有五，是谓积矩。故禹之所以治天下者，此数之所生也。’”
基于上述渊源，中国学者一般把此定理叫做“勾股定理”或“商高定理”。
赵爽约在222年深入研究了《周髀算经》，为该书写了序言，并作了详细注释。其中一段530余字的“勾股圆方图”注文是数学史上对勾股定理的第一次证明。
图1
三国吴 赵爽 弦图
他将勾股定理表述为：“勾股各自乘，并之，为弦实。开方除之，即弦。”
证明方法叙述为：“按弦图，又可以勾股相乘为朱实二，倍之为朱实四，以勾股之差自相乘为中黄实，加差实，亦成弦实。”
翻译出来就是：如图1，用勾（a）和股（b）相乘（a×b）等于两块红色三角形的面积，乘以二（2ab）即为四块红色三角形的面积，以勾（a）股（b）的差（b-a）再平方即为中间的黄色正方形，所有四个红色三角形的面积加这个黄色正方形的面积，即为弦（c）为边长的正方形的面积。
数学表达式为：c2=(a-b)2+2ab=a2+b2-2ab+2ab=a2+b2
41年后，三国时代魏国的数学家刘徽在魏景元四年（即公元 263
年）为古籍《九章算术》作注释。也提出了一个勾股定理的证明，用的以形证数的方法，刘徽的证明原也有一幅图，可惜图已失传，只留下一段文字：“勾自乘为朱方，股自乘为青方，令出入相补，各从其类，因就其余不动也，合成弦方之幂，开方除之，即弦也。”
后人根据这段文字补了一张图，如图2。大意是：直角三角形，以勾为边的正方形为朱方，引弦为正方形切割朱方和青方，多出的部分正好可以和弦方缺亏的部分相补。弦方再开方即为弦长。
后人这个补图无疑是非常符合刘徽的文字描述，但笔者发现，直接用赵爽的弦图，一样可以得出青朱出入相补证明勾股定理，如图3，此法仅仅使用了两块三角形出入相补，无需额外画出弦方，弦图补青朱法可能是刘徽证明更为直接的原型。
图3
三国魏 刘徽 青朱出入图推想图（根据弦图推想）
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