“数形结合”百般好

 

【摘要】数形结合是数学教学过程中非常重要的思想方法之一，因为数形结合应用广泛，新教材也在结合数形结合思想来编写。华罗庚先生说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休。数形结合”一词，指的是通过代数与图形相互结合、相互转化、相辅相成来解决数学问题，它既具有数学学科的鲜明特点，又是数学探索研究常用的好方法。赞科夫说:“教会学生思考,这对学生来说,是一生中最有价值的本钱”,如要教会学生思考,实质上是要教会学生掌握数学的思想方法。对于小学生来说，对“数”的认识处于初级阶段，对“形”的认识也受到思维的局限，但如果教师能有意识的加以引导，把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来，使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而优化解题途径，常会降低难度，有效地帮助学生理解，并且使知识的理解更加深刻明了，同时学生的抽象思维能力得到培养。

  【关键词】数形结合  代数问题   几何问题  相互转化

 

“数形结合”一词，指的是通过代数与图形的相互结合、相互转化、相辅相成来解决数学问题，它既具有数学学科的鲜明特点，又是数学探索研究常用的好方法。著名数学家华罗庚曾经用这样的话来形容两者关系：“数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔离分家万事休。”看来数形结合在数学中达到巧解题的目的，数形结合也就成为研究数学问题的重要思想方法。尤其是在解决函数问题时，恰当运用数形结合，往往使得问题迎刃而解，达到事半功倍的效果。

 对于小学生来说，对“数”的认识处于初级阶段，对“形”的想象更是受到思维的局限，但如果教师能有意识的加以引导，把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来，就可以使得复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而优化解题途径，有效地帮助学生理解，培养学生的抽象思维能力。在小学数学的教学中，结合自己的实践，我认为可以在以下几个方面利用“数形结合”的思想方法：

一、将“数形结合”应用于概念教学中：

小学数学教材中常见的“××的初步认识”、“××的意义”章节，所指的“意义”是人们一致公认的事物的性质、规律以及事物之间的内在联系，是比较抽象的概念。而应用“数形结合”能使比较抽象的概念转化为清晰、具体的事物，使小学生学生容易掌握和理解。

例如：在《分数的初步认识--认识几分之一》一课中，要求学生理解几分之一是指“把一件物品或某个图形平均分成几份，表示其中的一份，就是几分之一”，这其中对“平均分”的理解和掌握，如果教师在讲授时一味在语言上强调，学生印象不深，经常在叙述意义时漏掉。此时，我们可以出示（如下图）：

 

 

 

 

        （1）                             （2）

以上两个图形中的涂色部分，哪个能用来表示呢？结合本课知识，学生就能清楚的辨认出图（2）是正确的，也就能把“平均分”的含义记牢了。

又如，在“小数的意义”的教学中，要理解0.3的意义时，让学生折一折、画一画、说一说，让学生在不断的探索中，借助图形自主建构小数的意义。

教学片断：

师：你能用画图的方法表示出0.3吗？

学生活动后，教师将学生作品收集起来，展示在黑板上。

 

               0.3

 

                   0.3

师：你认为他（她）画的怎么样？（去掉不恰当的作品，并进行分析）

（指剩下的）为什么这些作品都可以表示0.3？（0.3就是十分之三，它们大小一样，意义一样。）

接着借助大量的直观模型，使学生对小数的认识层层递进，使学生的思维经历由具体到抽象的过程。运用数形结合，把抽象的数学概念直观化，找到了概念的本质特征，同时激发了学生学习的兴趣。

二、将“数形结合”应用于计算教学中：

  小学阶段对学生计算能力的培养非常重要，在教学中，恰当的运用数形结合的思想能清楚的揭示算理，使计算形象化。

 如，在教学“异分母分数的加减”时，我们利用数形结合使学生体会到“通分”的必要性，理解异分母分数加减法的算理，突破教学难点。

（如图）  ＋：

                        

                          ＋       

 

    

 

 

 

 

 

           

    用算式表达是： ＋=+=

       通过这样的直观的演示，清晰表达了算理，使学生能一目了然，非常有效地帮助了学生的理解。

三、将“数形结合”应用于解决问题的教学中：

     在解决问题教学中，运用数形结合思想，就是根据问题的具体情形画图，就是一个“去情境化”的过程；当题目难以理解时，通过画图能直观地显示题意，更加清楚，一目了然，并且有条理地表示数量，便于发现数量之间的关系，是帮助学生理解数学问题的重要补充，有利于学生对问题的理解，从而形成解题的思路。画图是一种最简单的数学语言，体现了一种数学美，应引导学生试着运用这种简洁的数学语言，让学生在思考的过程中产生画图的需要，在自己画图的活动中体会方法、感悟策略、发展思维、获得思想。画图是对现实中数学问题不断抽象的过程；小学生不断地由形象思维向抽象的逻辑思维过渡，而线段图是两种思维的过渡载体，画线段图能够充分地体现数和形相结合的特点，为学生将来进一步学习数学打下比较好的基础。

案例一：一年级思维训练课堂上，学生利用画图解决问题：问题1:一（2）班16位同学到校园做游戏。排队时，从前往后数，小红在第8位，从后往前数小红在第几位？问题2:从前往后数小红排在第5个，从后往前数她还是排在第5个，请问这队有多少位同学排队？

题目一读完，孩子们一口同声都说小红从后往前数排在第8位。当时我没有马上否定他们的答案，而是让他们思考，你是如何知道的？谁来说一说你是怎么想的，学生们争先恐后的举起小手，8+8=16，少数孩子有不同的意见。这个时候我还是没有说答案的对错，那你们能不能想办法验证呢？于是小组开始讨论起来。经过了解结果不太理想，有的学生还是认为就是原先的结论是对的。巡查时发现有几个学生低头在纸上画，然后得出结论：小红从后往前数排在第9位。于是展示了其中的一份作品：

       O O O O O O O △ O O O O O O O O 

△表示小红。O表示其他学生，可以知道排在小红后面的有8人，从后往前数时要数到小红，所有从后往前数小红排在第9位。问题的难点就解决了。经过学生这么一说，班上学生通过结合图形，马上理解了这类型的题目的难点，第二题的问题抛出来学生毫无费力的解决了。能够通过图解决问题，就像我国著名数学家华罗庚教授有这么一段名言“形时少直觉，形少数时难入微。数形结合百般好，隔离分家万事非”。

四、将“数形结合”应用于学生思维拓展训练教学中：　

     数形结合，其实质是将抽象的数学语言与直观的图形联系起来，使抽象思维和形象思维结合起来，通过对图形的处理，发挥直观对抽象的支柱作用，揭示数和形之间的内在联系，实现抽象概念和具体形象、表象之间的转化，发展学生的思维。

    例如：六年级思维拓展课片断：（如图）

   

    

 

  

 

 

   上面的图描述的是怎样的一个场景呢？请你根据图中提供的数学信息，发挥自己的想象，编一个数学小故事。

   摘录学生答案如下：

  1、周末小明和爸爸去博物馆参观，他们骑着自行车，下午一时出发，经过20分钟行驶了3千米，这时小明的自行车出了故障，于是修理了20分钟，车终于修好了，又经过20分钟到达了目的地--博物馆，他们在那里逗留了40分钟后，一路顺利的回到了家里。

   （学生思维清晰，所述情境与提供的数据吻合，是位办事很有条理的男生。）

  2、妈妈开车送小丽去医院看望生病的外婆，由于妈妈是新手上路，又遇上堵车，所以她们行驶的速度很慢，20分钟才行驶了3千米，路况越来越拥堵，居然导致停车20分钟，母女两真是心急如焚，后来终于通畅了，她们再继续向前到达医院。小丽陪外婆聊天，用去了40分钟，然后就依依不舍的告别外婆，和妈妈一起回家了。

 （除了数学上的精准，这位女孩子还有一颗丰富、细腻的爱心，爱美、爱亲人、爱生活，全然体现在这几句话语之中。）

   在这里，学生根据所所学知识，从自己的生活经验出发，利用数形结合，最大限度的发挥想象力，写出了多彩、富有个性的生活印记的答案。相信这样的习题在发展学生思维的同时，也会让他久久不能忘记。

综上所述，数形结合的思想方法能将抽象的数量关系具体化，把无形的解题思路形象化，不仅有利于学生顺利的、高效率的学好数学知识，更有利于学生学习兴趣的培养、能力的增强，使教学收到事半功倍之效。对于学生而言，唯有深深地铭刻于头脑中的数学思维和研究方法，才能随时随地发生作用，使他们受益终生。在教学中应适当渗透教学，使学生逐步形成“数形结合”这种思想方法，并成为学习数学、解决数学问题的工具。所以在教学中，教师要充分利用图形直观、形象，有利于分析的优点，把数和形紧密结合起来，达到快速、准确的解决问题的目的。