近5年来高考数列题分析（以全国卷课标Ⅰ为例）

年份
题号
题型
考查内容
思想方法
分值   

   
2011年

理：17
解答题

等比数列求通项、求前n项和
方程组思想
12分

文：6
选择题
等差数列的基本公式
方程组思想
5分

文：17
解答题
等比数列求通项、求前n项和
方程组思想
10分

2012年  
理：5
选择题
等比数列的性质
方程组思想
5分

理：16
填空题
数列的周期性
利用周期性求和
5分

文：12
选择题
数列的周期性
利用周期性求和
5分

文：14
填空题
等比数列前n项和
方程思想
5分

2013年
理：7
选择题
等差数列前n项和
方程思想
5分

理：12
选择题
与三角形的综合应用判断数列的增（减）性
特殊、比较
5分

理：14
填空题
由an与Sn 关系求an
比差法
5分

文：6
选择题
等比数列通项、前n项和
方程思想
5分

文：17
解答题
等差数列通项、前n项和
方程组、列项相消
12分

2014年
理：17
解答题
由an与Sn 关系判定及证明
比差法
12分

文：17

解答题
等差数列通项 前n项和
及一元二次的解法，
乘公比错位相消
方程组
12分

2015年
理:17
解答题
由an与Sn 关系求通项；前n项和
换元法，裂项相消法
12分

文:7
选择题
等差数列：基本量求某一项；
方程思想
5分

文:13
填空题
等比数列：基本量求项数
方程思想
5分

全国卷会对数列部分的考查要求有所下降，只需要掌握基本的求和与通项关系，学会简单的裂项相消法和错位相减法求解数列求和即可。
纵观全国新课标Ⅰ卷、Ⅱ卷的数列试题，我们却发现，新课标卷的数列题更加注重基础，强调双基，讲究解题的通性通法。尤其在选择、填空更加突出，常常以“找常数”、“找邻居”、“找配对”、“构函数”作为数列问题一大亮点.
从2011年至2015年，全国新课标Ⅰ卷理科试题共考查了8道数列题，其中6道都是标准的等差或等比数列，主要考查等差或等比数列的定义、性质、通项、前n项和、某一项的值或某几项的和以及证明等差或等比数列等基础知识。而文科试题共考查了9道数列题，其中7道也都是标准的等差或等比数列，主要考查数列的性质、求通项、求和、求数列有关基本量以及证明等差或等比数列等基础知识。
1．从试题命制角度看，重视对基础知识、基本技能和基本数学思想方法的考查。
    2．从课程标准角度看，要求学生“探索并掌握等差数列、等比数列的通项公式与前n项和的公式，能在具体问题情境中，发现数列的等差关系或等比关系，并能用有关知识解决相应的问题”。
3．从文理试卷角度看，尊重差异，文理有别，体现了《普通高中数学课程标准（实验）》的基本理念之一“不同的学生在数学上得到不同的发展”。以全国新课标Ⅰ卷为例，近五年理科的数列试题难度整体上要比文科的难度大一些。如2012年文科第12题“数列 满足 ，求的前60项和”是一道选择题，但在理科试卷里这道题就命成了一道填空题，对考生的要求自然提高了。
具体来看，全国新课标卷的数列试题呈现以下特点：
●小题主要考查等差、等比数列的基本概念和性质以及它们的交叉运用，突出了“小、巧、活”的特点，难度多属中等偏易。
●大题则以数列为引线，与函数、方程、不等式、几何、导数、向量等知识编织综合性强，内涵丰富的能力型试题，考查综合素质，难度多属中等以上，有时甚至是压轴题，难度较大。
（一）全国新课标卷对数列基本知识的考查侧重点
1．考查数列的基本运算，主要涉及等差、等比数列的通项公式与前项和公式。设出基本量，根据知三求二，列方程求解。高考题在这方面尤其喜欢考查等差与等比彼此交汇的题目，   还有就是 与 的关系问题（考生容易忽视n=1的情况）也是考查的热点。
2．考查数列的基本性质，数列板块中有很多常用的基本性质，“巧用性质、减少运算量”在等差、等比数列的客观题计算中非常重要。
（二）全国新课标卷对数列基本思想方法的考查侧重点
1．分类讨论思想：等比数列的前n项和公比分类，或；数列的前n项和；等等.
2．函数思想：数列关于n的函数。，
3．数形结合  等差的通项及前n项和都可以视为关于n的直线和抛物线方程。
4．转化思想：非差、比数列转化为差、比数列。
5．特殊化思想   已知函数，，可求某一项。
6．类比思想  等差、等比数列有相同的特征，有类似的性质。
（三）全国新课标卷对数列内容的常考题型
1.选择、填空题常考题型有知三求二，借助方程组求解基本量，有时也会用到“整体求解”的技巧；有些客观题如能灵活运用数列的性质求解则可以大大简化运算；此外数表、框图有时也是数列客观题考查的载体。
    2．解答题通常会涉及数列的求和，主要考查裂项相消法和错位相减法，难度中等。个别解答题有涉及数列不等式的证明，此类题难度较大，综合性较强，不过其难度要小于近年广东卷的数列压轴题。
数列的知识点、考点如下：
一、转化成解方程组。
二、求.
1、观察法求； 2、公式法求；3、知求；   4、递推公式求.
三、求和。
1、公式法求和；2、分组重组求和；3、裂项相消求和；4、错位相消求和；5、倒序求和.
四、放缩法及利用单调性.
附：近5年来高考数列题（全国卷）
●2015年
课标Ⅰ 理科(17) Sn为数列{an}的前n项和.已知an>0，
(Ⅰ)求{an}的通项公式：(Ⅱ)设 ，求数列}的前n项和.
【试题分析】（Ⅰ）当时，，因为，所以=3，
当时，==，即，因为，所以=2，
所以数列{}是首项为3，公差为2的等差数列，所以=；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，=，
所以数列{}前n项和为= =.
【考点分析】数列前n项和与第n项的关系；等差数列定义与通项公式；拆项消去法。
文科7、已知是公差为1的等差数列，为的前项和，若，则（  ）（A）       （B）      （C）       （D）
【试题分析】∵公差，，∴，解得=，∴，故选B.
【考点分析】：等差数列通项公式及前n项和公式，难度属简单。
文科13、数列中为的前n项和，若，则      .
【试题分析】∵，∴数列是首项为2，公比为2的等比数列，
∴，∴，∴n=6.
【考点分析】：等比数列定义及前n项和公式，难度属简单。
2014年
课标1理科17.已知数列{}的前项和为，=1，，，其中为常数.(Ⅰ)证明：；
（Ⅱ）是否存在，使得{}为等差数列？并说明理由.
（17）解：（I）由题设，
两式相减得  
由于，所以                                   ……6分
（II）由题设，，，可得
由（I）知，
令，解得       故，由此可得
是首项为1，公差为4的等差数列，；
是首项为3，公差为4的等差数列，.
所以，.
因此存在，使得数列为等差数列.                       ……12分
【考点分析】考查等比数列的判定和证明，对参数运算和推理论证能力有一定要求。难度中等。
课标1  文科(17) 已知是递增的等差数列，，是方程的根。
（I）求的通项公式；
（II）求数列的前项和.
【答案】（I）方程的两根为2,3，由题意得
设数列的公差为d，则故从而
所以的通项公式为                                    ……6分
（II）设的前n项和为由（I）知则

两式相减得

    
所以                                            ……12分
【考点分析】考查等差数列的通项及一元二次的解法。涉及乘公比错位相消求前N项和。难度中等偏下。
2014年
课标2（17）（理科）已知数列满足，．
（Ⅰ）证明是等比数列，并求的通项公式；
（Ⅱ）证明．
【试题分析】（Ⅰ）证明：∵，
∴，不等于0，即：
又，∴是以为首项，3为公比的等比数列．∴，即
（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知，∴
∴
故：
【考点分析】本题考查等比数列的递推关系求解，涉及放缩法证明不等式，对转化、分析、解决能力要求较高。难度中等偏上。
5（文科）等差数列的公差为2，若，，成等比数列，则的前n项=（   ）A      B     C     D
【试题分析】∵，，成等比数列，
即

（16）（文科）数列满足，=2，则=_________.
【试题分析】考查数学列的递推关系。由，令n=7，得，由，出现周期性，从开始依次是2，0.5，-1,2,0.5，-1,2,0.5，所以=0.5
●2013理科   课标Ⅰ
理科7.设等差数列的前项和为，则 (    )
A.3     B.4   C.5   D.6
【答案】　C.
【考点分析】本题考查等差数列的通项和前N项和公式。难度属中等偏下。
12．(2013课标全国Ⅰ，理12)设△AnBnCn的三边长分别为an，bn，cn，△AnBnCn的面积为Sn，n＝1,2,3，….若b1＞c1，b1＋c1＝2a1，an＋1＝an，bn＋1＝，cn＋1＝，则(　　)．
A．{Sn}为递减数列                             B．{Sn}为递增数列
C．{S2n－1}为递增数列，{S2n}为递减数列        D．{S2n－1}为递减数列，{S2n}为递增数列
【答案】　B
理科14．若数列{an}的前n项和，则{an}的通项公式是an＝_______.
【答案】=.
文科6．设首项为，公比为的等比数列的前项和为，则（    ）
（A）     （B）   （C）   （D）
【答案】　D
【考点分析】本题考查等比数列的通项和前N项和公式的关系。
文科 17．已知等差数列的前项和满足，。
（Ⅰ）求的通项公式；（Ⅱ）求数列的前项和。
【答案】17．（1）设｛a｝的公差为d，则S=。
由已知可得

（2）由（I）知
从而数列.
【考点分析】本题考查等差数列的通项和前N项和公式，考查等差数列的基本量，涉及列项相消求和。难度中等偏下。
课标2
理3．等比数列的前项和为，已知，，则 (   )
    A             B         C       D 
理16．等差数列的前项和为，已知，则的最小值为________．
【考点分析】本题考查等差数列的前N项和的应用，涉及用导数求函数最值。难度中等。
文科：17．已知等差数列的公差不为零，a1=25，且a1，a11，a13成等比数列。
（Ⅰ）求的通项公式；
（Ⅱ）求。

●2012年
理科
【2012高考真题新课标理5】已知为等比数列，，，则（     ）                             
【答案】D
【考点分析】本题考查等比数列的通项及性质。涉及转化思想，难度属中等偏下。
【试题分析】因为为等比数列，所以，又，所以或.若，解得，；若，解得，仍有，综上选D.
【2012高考真题新课标理16】数列满足，则的前项和为      
【答案】1830
【试题分析】由得，
，
即，也有，两式相加得，设为整数，
则，
于是
【考点分析】本题考查等差数列的前N项和公式及对（-1）n处理。涉及转化思想，对推理运算能力要求较高，难度属较难。
文科（12）数列{}满足，则{}的前60项和为
（A）3690         （B）3660         （C）1845            （D）1830
【考点分析】本题主要考查灵活运用数列知识求数列问题能力，是难题.
【试题分析】【法1】有题设知
=1，①    =3  ②      =5  ③     =7，=9，
=11，=13，=15，=17，=19，，
……
∴②－①得=2，③+②得=8，同理可得=2，=24，=2，=40，…，
∴，，，…，是各项均为2的常数列，，，，…是首项为8，公差为16的等差数列，
∴{}的前60项和为=1830.
【法2】可证明：

    
文科(14)等比数列{}的前n项和为Sn，若S3+3S2=0，则公比=_______
【试题分析】当=1时，=，=，由S3+3S2=0得，=0，∴=0与{}是等比数列矛盾，故≠1，由S3+3S2=0得，，解得=－2.
【考点分析】本题主要考查等比数列通项公式和前n项和公式，简单题.
大纲卷.
理科【2012高考全国卷大纲理5】已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a5=5，S5=15，则数列的前100项和为(    )(A)   (B)    (C)   (D)
【试题分析】由,得，所以，所以，又，选A.
文科6．已知数列的前项和为，，，则
A．     B．       C．     D．
【试题分析】由可知，当时得
当时，有  ①   ②
①－②可得即，故该数列是从第二项起以为首项，以为公比的等比数列，故数列通项公式为，
故当时，
当时，，故选答案B
【考点分析】本试题主要考查了数列中由递推公式求通项公式和数列求和的综合运用。
文科18． 已知数列中，，前项和．
（Ⅰ）求；
（Ⅱ）求的通项公式．
【试题分析】（1）由与可得
，
故所求的值分别为。
（2）当时，①       ②
①－②可得即

故有
而，所以的通项公式为
【考点分析】本试题主要考查了数列的通项公式与数列求和相结合的综合运用。
【点评】试题出题比较直接，没有什么隐含的条件，只要充分发挥利用通项公式和前项和的关系式变形就可以得到结论。
●2011年理科
课标1     理科（17）等比数列的各项均为正数，且
（Ⅰ)求数列的通项公式；
（Ⅱ）设 求数列的前n项和.
【试题分析】（Ⅰ）设数列{an}的公比为q，由得所以。
由条件可知a>0,故。由得，所以。
故数列{an}的通项式为an=。
（Ⅱ ）
                故

所以数列的前n项和为
课标1  文科
(6)设为等差数列的前项和，若，公差，，则
（A）8         （B）7           （C）6           （D）5
【命题意图】本题主要考查等差数列的基本公式的应用.
【试题分析】解法一，解得.
解法二: ，解得.
课标1  文科
(17)设等比数列的前n项和为.已知求和.
【思路点拨】解决本题的突破口是利用方程的思想建立关于a1和公比q的方程，求出a1和q，然后利用等比数列的通项公式及前n项和公式求解即可。
【试题分析】设的公比为q,由题设得
       …………………………………3分
解得或，      …………………………………6分
当时，；
当时，  ……………………………10分
课标2理科
理科4. 解：设为等差数列的前项和，若，公差，，则(   ) （A）8         （B）7           （C）6           （D）5
【答案】D  文科第6题
【命题意图】本题主要考查等差数列的基本公式的应用.
【试题分析】解法一，解得.
解法二: ，解得.
【思路点拨】思路一：直接利用前n项和公式建立关于k的方程解之即可。
思路二：利用直接利用通项公式即可求解，运算稍简。
【试题分析】= = =
故选D。
课标2理科
(20)设数列满足且.
求的通项公式；
(Ⅱ)设.
【命题意图】本题主要考查等差数列的定义及其通项公式,裂项相消法求和,不等式的证明，考查考生分析问题、解决问题的能力.
【试题分析】(Ⅰ)由题设,即是公差为1的等差数列.
又,故.所以    ………5分#
(Ⅱ) 由(Ⅰ)得   ,
……………12分
【点评】2011年高考数学全国卷将数列题由去年的第18题后移,一改往年的将数列结合不等式放缩法问题作为押轴题的命题模式，具有让考生和一线教师重视教材和基础知识、基本方法基本技能,重视两纲的导向作用，也可看出命题人在有意识降低难度和求变的良苦用心.估计以后的高考，对数列的考查主要涉及数列的基本公式、基本性质、递推数列、数列求和、数列极限、简单的数列不等式证明等，这种考查方式还要持续.
课标2  文科
(17)  设等比数列的前n项和为,已知求和.
【思路点拨】解决本题的突破口是利用方程的思想建立关于a1和公比q的方程，求出a1和q，然后利用等比数列的通项公式及前n项和公式求解即可。
【试题分析】设的公比为q,由题设得
解得或，
当时，
当时，.
●2010年
（4）已知各项均为正数的等比数列{}，=5，=10，则=(  ).
(A)     (B) 7     (C) 6      (D)
4.A【命题意图】本小题主要考查等比数列的性质、指数幂的运算、根式与指数式的互化等知识，着重考查了转化与化归的数学思想.
【试题分析】由等比数列的性质知
，10,所以,
所以
（22）(本小题满分12分)（注意：在试题卷上作答无效）
已知数列中， .
（Ⅰ）设，求数列的通项公式；
（Ⅱ）求使不等式成立的的取值范围 .
【命题意图】本小题主要考查数列的通项公式、等比数列的定义、递推数列、不等式等基础知识和基本技能，同时考查分析、归纳、探究和推理论证问题的能力,在解题过程中也渗透了对函数与方程思想、化归与转化思想的考查.