加载中…几种连续随机变量的概率密度函数，期望和方差
(2016-06-30 09:37:21)| 分类： 统计学概率 |
《统计学》 第五版 William Mendenhall
第五章 连续随机变量
5.1 连续随机变量
很多随机变量不是离散的，而是连续的，如时间，降雨量。这样的随机变量叫连续随机变量。
定义5.1 随机变量Y的 累积分布函数F(y0)等于Y 取值小于 y0 的 概率，即
即是累积分布函数从 -∞ 到 y0 的 积分。
连续随机变量的累积分布函数一定是单调递增函数。
5.2 连续随机变量的密度函数
定义5.3 若 F(y) 是连续型随机变量 Y 的累积分布函数，则随机变量 Y 的密度函数 f(y)
是
5.3 连续随机变量的期望值
定义5.4 设Y是一个连续随机变量，密度函数f(y), g(Y) 是Y的任意函数，则Y的 期望值：
g(Y) 的 期望值：
（注：期望的定义类似向量内积的定义）
方差：
即，方差 = Y平方的期望 - Y期望的平方。
5.4 均匀概率分布
概率密度函数：
f(y) =
1/(b-a)
a<=y<=b
均值：
μ = (a+b)/2
方差：
δ^2 = (b-a)^2 / 12
5.5 正态概率分布
概率密度函数：
f(y) = 1 /
δ(2π)^(1/2)
e^[-(y-μ)^2/(2δ^2), -∞ < y
< ∞
均值： μ
方差：
δ
5.7 Γ 型概率分布
概率密度函数：
f(y) = y^(α-1) e^(-y/β) / β^α Γ
(α)
0<=y<∞； α>0; β>0
其中：
Γ (α) = ∫[0, ∞] y^(α-1) e^(-y) dy
参数 α 称为形状参数
参数 β 称为尺度参数（如正态分布的 δ）
均值：
μ = αβ
方差：
δ^2 = αβ^2
Γ 分布用于描述生产的元件，设备等寿命长度的分布。
Γ 型概率特殊情况之一：β = 2, α = γ/2
当 β = 2, α = γ/2 的 Γ 型概率分布称为卡方概率分布。(chi square)
均值：
μ
方差：
2μ
Γ 型概率特殊情况之二：
当 α = 1 时， Γ 密度函数称作指数分布。
概率密度函数：
f(y) = e^(-y/β) / β
均值：
β
方差：
β^2
注：指数分布可用于描述元件寿命，这时，β表示平均寿命（即MTBF）。
5.8 威布尔概率分布
这个分布也用来描述元件的寿命。而且它的累积分布函数的显示表示是存在的。
概率密度函数：
f(y) = α/β y^(α-1) e^(-yα/β)
均值： β^(1/α)
Γ (α+1/α)
方差：
β^(2/α) [Γ(α+2/α) - Γ(α+1/α)*Γ(α+1/α)]
5.9 β 型概率分布
是 y 取 0~1 的 Γ 分布的特殊形式，
概率密度函数：
f(y) = y^(α-1) (1-y) ^ (β-1) / B (α, β)
均值： α/α+β
方差：
αβ / (α+β) ^ 2 (α+β+1)
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