加载中…线性代数及应用【一】
(2016-05-14 18:32:00)| 分类： 线性代数矩阵 |
"Linear Algebra with applications" Eighth Edition, by Steven J.
Leon
x2 - x3 = 1
2x3 = 4
第一章 线性方程组 -> 矩阵 ->
向量
矩阵（Matrices）的出现是为了求解线性方程组（System of linear
equations）的。先研究线性方程组。
线性方程组即多元一次方程组。
线性方程组可能有 n 个未知量，n个系数， m 个常数，构成 m
个方程组。这样的方程组有可能无解，唯一解或者无穷多个解。
如果该方程组无解，则称该线性方程组是"不相容的"(inconsistent)。
如果该方程序有一个或无穷个解，则称该线性方程组是"相容的"(consistent)。
线性方程组所有解的集合叫解集(solution
set)。
线性方程组的几何表示：
如果是线性方程组有1个方程，1个变量。则其几何意义是直线上一个点。（相容，唯一解）
如 x1 =1;
如果是线性方程组有1个方程，2个变量。则其几何意义是平面上一个线。（相容，无穷个解）
如 x1 + x2 = 1
如果是线性方程组有1个方程，3个变量。则其几何意义是空间上一个面。（相容，无穷个解）
如 x1 + x2 +x 3 = 1
如果是线性方程组有2个方程，3个变量。则其几何意义可能是：
1）空间平行的两个面 （不相容，无解）
2）空间相交的两个面 （相容，无穷个解）
3）空间重叠的两个面 （相容，无穷个解）
如果是线性方程组有3个方程，3个变量。则其几何意义可能是：
1）空间有两面平行的三个面，第三面任意。 （不相容，无解）
2）空间两两相交的三个面
（相容，唯一解）
3）空间两两重叠或两个重叠与另一个相交的三个面 （相容，无穷个解）
空间维度和物体维度：n个未知量的线性方程组表示的是n维空间下的物体。如果系数都不为0，则它表示的是
n-1维物体的形状。如 x1 + x2 +x 3 =
1 表示的是3维空间中的平面（2维）。
在相交的情况下，交集的维度物体维度-1。即3维空间中，两个平面(2维)的交集是直线(1维)。
含有相同未知量个数的两个方程组，如果具有相同的解集，则称他们是等价的(equivalent)。
三种等价运算可以得到等价方程组：
I. 交换任意两个方程的顺序
II. 任意方程两边同乘一个非零实数
III.
任意方程的倍数加到另一个方程上（得到一个新的方程）
注意，上面三种预算I, II
是某个方程自身的运算，本质山并未有任何改变，但 III 是方程间的运算，它是用一个新的改变旧的方程！ 如：
x1 + x2 = 1
x1 - x2 = 5
会得到 2X1 = 6，即 x1 = 3
这个方程。这个方程可以替代原来的第二个方程 x1 - x2 =
5，但这两个方程式截然不同的。之所以能够替换是因为在解那个点上面，他们是一致的。
下面研究如何对线性方程组求解。
先考虑特殊情况。
n个变量,m个方程的线性方程组。只有在m=n是，方程组才有可能有唯一解。那么，在什么情况下，n*n 方程组必有一个唯一解呢？
条件就是，如果n*n线性方程组能通过上面提到的三种等价运算得到一个严格三角形的方程组(strict triangle
form) 。
如：
3x1 + 2x2 + x3 =1
（x表是未知量）
这种情况下，用回代法(back substitution
代替的代）可以按照 x3,x2, x1 的顺序依次求解。
n*n
线性方程组可能存在唯一解，但也可能是无解或者无穷个解。在这两种情况下，都不能把它通过等级运算运算成严格三角方程组。无解的情况下，左边把变量都消没了，但右边常数不为0，就是无解。左边变量都消没了，右边为0，就是无穷多个解。（对应着平行和重叠）
一个n*n线性方程组，如果某个方程左边变量都消没了，就不会得到一个严格三角形，二是一个梯形， 这个就叫
行阶梯型或行梯形(row echelon form)
利用等价运算方法，将线性方程组化为严格三角形或者行梯形，进而求解方程组的过程叫做高斯消元法 (Gaussian
elimination)。
高斯消元之后可以进一步消元，即把每行第一个非零元变成该列唯一的非零元，这样的消元法叫高斯-乔丹消元法。
齐次方程组：如果线性方程组右端项全部为0，则称其为齐次的
(homogeneous)。齐次方程组肯定有一个全0解(即平凡解)，所以它肯定是相容的。如果方程数小雨变量数，则肯定存在非零解（非平凡解）。
下面进入矩阵的讨论。
【矩阵】
由线性方程组给出矩阵的定义。 m*n 线性方程组的n 个变量的
m*n 个系数可以组成一个 m*n 的系数矩阵(coefficient
matrix)。如果在加上m 个常数，则他们组成增广矩阵(augmented
matrix)。
矩阵运算：
矩阵相等（equality）：
如果两个矩阵的维数以及他们对应的元素相等，则称两个矩阵相等 。
标量乘法（Scalar
Multiplication）：
矩阵加法（addition）：
矩阵乘法（Multiplication）： 矩阵1
的列必须等于矩阵2的行才能相乘。如 m*n , n*r。
1*n 矩阵和 n*1
矩阵相乘的结果是一个标量，这个乘积叫标量积(Scalar product)。注：请注意区分标量乘法。
m*n 矩阵 乘以 n*1 矩阵，结果是m*1
矩阵。这就是线性方程组。即，线性方程组可以表示成m*n系数矩阵乘以n*1 变量矩阵 等于 m*1 常数矩阵的形式。
n个矩阵相乘可以表示为矩阵的n次方。
矩阵转置（transpose）：如果矩阵的转置和自身相等，则该矩阵是对称的(symmetric)。
单位矩阵：I ,必须是n*n
矩阵
初等矩阵：
I 型： 交换单位矩阵I 的两行得到
E1
II 型：单位矩阵某一行乘以一个非零常数得到
E2
III 型： 由 I 某一行的倍数加上另一行得到
E3
矩阵的逆（inversion）：只针对 n*n 矩阵。矩阵可逆，则该矩阵称为非奇异的(nonsingular)。否则为奇异的。
矩阵的逆如何求：矩阵和单位矩阵组成增广矩阵。用初等行运算把矩阵运算成单位矩阵，则单位矩阵就运算成矩阵的逆。
矩阵的逆可以用来解线性方程组： 对 Ax = b ， x
= A^(-1) b，所以，一旦知道A的逆，方程组的解也就出来了。
对角矩阵：不在对角线上的元素都为0的矩阵叫对角矩阵。注意：对角矩阵的对角线的元素可以是0。
三角形矩阵：
LU分解：如果把行等价运算的过程记录下来，我们可以得到另一个一个严格三角形矩阵。
一个矩阵可以分解为一个单位下三角矩阵(L)和一个严格上三角矩阵(U)相乘的形式，这个过程叫LU分解。
分块矩阵：
【向量】
向量(vector)是一个特殊的矩阵。它的定义可以从两个地方来：
1）
一个只有1列的矩阵，称为列向量，简称向量，一个只有1行的矩阵，称为行向量。
2） 一个 m*n
矩阵，可以看成是n个列向量组成的矩阵，或者是 m个行向量组成的矩阵。
向量的几何含义：
无论是几维数据表示的向量，它的几何含义都是一条有方向的线段。
1）
1维数据表示的向量，是一条直线上有方向的线段
2）
3）
n个元素组成的向量所在的空间
行向量（n个元素）可以和同等元素数量的列向量(n个元素)相乘，结果是标量。
列向量（m个元素）可以和不同元素数量的行向量（n）相乘， 结果是m*n 矩阵。
线性方程组可以看成是m*n矩阵（由系数组成）乘以一个列向量（由n个未知数组成）等于一个列向量（由m个常数组成）。即
线性方程组可以写成等价的矩阵方程： Ax = b ,其中A是矩阵， x
，b
除此之外，线性方程组还可以用另外一种矩阵方程的方式表示，即 把 x1 a1 + x2
a2 + ... + xn an =
b，其中 x1, x2, ..., xn 是标量， a1, a2, ...,
an 其实是系数矩阵的列向量。
我们把这种表达方式，叫做向量a1, a2, ..., an
关于向量，第三章专门讨论。
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