小时候手工课，经常有要把纸裁成带然后再粘成环的活要干。这个任务即使对小朋友来说也是很简单的。但有时总会有些马大哈会犯糊涂，在把纸带两端粘成环之前不小心翻了个面，纸环就变得歪歪斜斜的了。

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这也不是什么大事，撕了重粘就好了。但是，既然纸环已经变成这样了，何妨把玩一番呢？要知道，这就是鼎鼎有名的莫比乌斯带。

很多读者应该都知道莫比乌斯带的特别之处：它只有一个面，也只有一条边。在数学上，这样的曲面有一个特别的名字：单侧曲面。怎么证明它只有一个面呢？很简单，我们用红笔在上面沿着它的走向画一条线（不跨越边沿），在笔回到起点的时候，我们会发现红笔已经涂过了纸环的所有面。如图：

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这就可以很好说明莫比乌斯带只有一个面了。

如果我们在普通的纸环上面做同样的操作的话，当笔回到起点时容易知道还有一面没有涂过，所以普通纸环不是单侧曲面，实际上每个人都知道它有两个侧面。

如果我们沿着这条红线把环剪开，会得到什么呢？

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相信很多朋友都知道了，我也就不卖关子了：这个纸环会被剪成一个中间旋转了两个半圈的大纸环：

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但是，可能没有多少人留意到，经过一番摆弄，这个纸环可以变成一个两层的“莫比乌斯带”。之所以要加引号，是因为这个毕竟也是双侧曲面，而不像真正的莫比乌斯带那样是单侧曲面。

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要做到同样的效果，我们也可以用两层纸带用类似做莫比乌斯带的方法来粘贴，只不过两层纸要分别粘贴而已。

好了，回到那个剪了一次的纸环那里去。如果我们再剪一次，会发生什么事情呢？现在这个纸环已经是不是单侧曲面了，所以剪开以后应该至少出现两个环。问题是，那会是怎么样的两个环呢？

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好了，结果出来了，是两个和刚才一样的纸环，不过这两个纸环是套在一起的。

如果我们摆弄一下，能把它们弄成刚才没有开剪之前的大纸环的一个双层版本。

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再摆弄一下，又能把它们弄成一个四层的“莫比乌斯带”。

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可以证明，如果我们这样不停的剪下去，每次剪出来的都是一样的纸环（中间有两圈旋转的），而且都套在一起，还能弄成一个多层的“莫比乌斯带”。一个不大严谨的证明应该是不复杂的。（提示：将每次剪出来的都套成多层“莫比乌斯带”，然后剪开就成了多层的两个半圈旋转大纸环，又能套成多层的“莫比乌斯带”）

那么，这东西有什么用呢？

首先，这东西既然是数学家做出来的，肯定是有理论上的意义的。事实上，这是数学家发现的第一个单侧曲面。

在积分理论发展的过程中，由于曲面通常有两侧，所以人们要给曲面定个方向才能进行积分。但是，当时还没有人知道是否存在这样的曲面，它只有一侧从而无法在它上面确定一个积分的方向。

而莫比乌斯带正是这样的一个单侧曲面，它只有一个侧面从而无法定向。所以这类曲面又有一个名字叫“不可定向曲面”。

由于莫比乌斯带只有一个面，这个面的长度自然就是普通纸环一面长度的两倍了。有人想到将这个特性用到传送皮带上，这样的话就可以把磨损分摊到更多的地方，从而提高皮带的寿命。这个想法还获得了美国的专利。

利用莫比乌斯带的想法获得的专利还不止这一个。还记得那个两层“莫比乌斯带”吗？不记得也没有关系，看下图：

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如果我们把纸带想像成金属带，让电流由其中一个夹子流入而从另一个夹子流出的话，在纸带表面的电流有两个可能的流动方向，而这两个方向的电流产生的磁场恰好互相抵消。也就是说，电流在这个装置流动的时候不会产生磁场，所以也不会有电池感应的现象发生。这就是一个无电感电阻。这种电阻就叫默比乌斯电阻。

莫比乌斯带在艺术和文化作品中也经常被引用，作为“无限循环”的一个象征。国际通用的循环再造标志就是一个绿色的、摆放成三角形的莫比乌斯带。在《哆啦A梦》（小叮当）漫画中，就有一个形状是莫比乌斯带的道具，只要把它放在门把手上，里边的人开门就会回到同一个房间里去。如果我们看科学馆门前的环状雕塑，多半也利用了类似莫比乌斯带的性质，有空的话经过这些雕塑可以数一下这些环有多少个面多少条边沿，我估计绝大部分结果都是1。而至于埃舍尔的例子就更是众人皆知，也不用我饶舌了。

实验室中也有可能产生莫比乌斯带形状的粒子。前不久，一群科学家在Journal of Chemical Physics上发表了一篇论文，其中预言了一种莫比乌斯带形状的碳单质（准确来说应该是石墨烯）。它能抵抗摄氏200度左右的温度，算是相当稳定。由于它莫比乌斯带的结构，它应该是一个偶极子，从而可以形成稳定的晶体。现在就等科学家们把它实际做出来了。

这一切，都是由数学家看到一个粘错的纸环开始的。

Bonus1：

又是来自xkcd的漫画：（http://xkcd.com/381/）

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Bonus2：

想要一个金属做的莫比乌斯带的朋友，你们有福了！野驴设计了莫比乌斯带形状的松鼠会纪念品！不过现在订购已经截止了！

莫比乌斯项链，装备后+43敏捷，+46耐力，增加命中等级25点，增加攻击强度86点，再加上松鼠会的松鼠光环，实在是行走在艾泽拉斯大陆和现实世界上的必备佳品啊！

注：根据全国科学技术名词审定委员会在1993年审定公布的数学名词名单，这里所说的“莫比乌斯带”（Möbius Strip）正规译名应该为“默比乌斯带”，但由于前一个说法比较常用，故在文中仍然沿用“莫比乌斯带”的说法。但请有志于写下含有这个词语的论文的同学，正式的写法应该是“默比乌斯带”。

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莫比乌斯带（Möbius strip或者Möbius band），又译梅比斯环或麦比乌斯带，是一种拓扑学结构，它只有一个面（表面），和一个边界。它是由德国数学家、天文学家莫比乌斯（August Ferdinand Möbius）和约翰·李斯丁（Johhan Benedict Listing）在1858年独立发现的。这个结构可以用一个纸带旋转半圈再把两端粘上之后轻而易举地制作出来。事实上有两种不同的莫比乌斯带镜像，他们相互对称。如果把纸带顺时针旋转再粘贴，就会形成一个右手性的莫比乌斯带，反之亦类似。

莫比乌斯带本身具有很多奇妙的性质。如果你从中间剪开一个莫比乌斯带，不会得到两个窄的带子，而是会形成一个把纸带的端头扭转了两次再结合的环（并不是莫比乌斯带）。如果你把带子的宽度分为三分，并沿着分割线剪开的话，会得到两个环，一个是窄一些的莫比乌斯带，另一个则是一个旋转了两次再结合的环。另外一个有趣的特性是将纸带旋转多次再粘贴末端而产生的。比如旋转三个半圈的带子再剪开后会形成一个三叶结。剪开带子之后再进行旋转，然后重新粘贴则会变成数个Paradromic。

莫比乌斯带常被认为是无穷大符号「∞」的创意来源，因为如果某个人站在一个巨大的莫比乌斯带的表面上沿着他能看到的“路”一直走下去，他就永远不会停下来。但是这是一个不真实的传闻，因为「∞」的发明比莫比乌斯带还要早。
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几何学与拓扑学结构
 
用Matlab描绘的莫比乌斯带一个利用参数方程式创造出立体莫比乌斯带的方法：
http://hiphotos.baidu.com/julianbackup/pic/item/4e7cebc2f2d8e71d0ff477d1.jpg 其中0<=u<2π且-1<=v<=1 .这个方程组可以创造一个边长为1半径为1的莫比乌斯带，所处位置为x-y面，中心为（0，0，0）。参数u在v从一个边移动到另一边的时候环绕整个带子。
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如果用极坐标方程表示的话(r,θ,z)，一个无边界的莫比乌斯带可以表示为：

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从拓扑学上来讲，莫比乌斯带可以定义为矩阵[0,1]×[0,1]，边由在0 ≤ x ≤ 1的时候(x,0) ~ (1-x,1)决定，如右图所示。

莫比乌斯带是一个二维的紧致流形 (即一个有边界的面)，可以嵌入到三维或更高维的流形中 。它是一个不可定向的的标准范例，可以看作RP^2 # RP^2 。同时也是数学上描绘纤维丛的例子之一。特别地，它是一个有一纤维单位区间，I = [0,1]的圆S1上的非平凡从。仅从莫比乌斯带的边缘看去给出S1上一个非平凡的两个点(或Z2)的从。
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有关的物体
和莫比乌斯带非常近似的一个几何学物体叫做克莱因瓶。一个克莱因瓶可以用粘贴两个莫比乌斯带的方法制作出来。但是如果物体不进行自我交叉，这个步骤在三维空间内是不可能完成的。

另外一个相近的结构是真投影屏面。如果在真投影屏面上有一个洞的话，从左侧看就会形成一个莫比乌斯带。或者把莫比乌斯带的边界进行有限定义，就会形成一个真投影屏面。更形象地说法是重建莫比乌斯带的边缘形成一个普通的环。有一种普遍的误解认为如果不进行平面的自我交叉就无法在三维空间内形成一个有普通环边缘的莫比乌斯带。事实上是可能的，方法是这样的：定义C为xy面上的单位圆，现在连接C上面的对拓点，比如θ和θ + π。当θ在0到π/2之间运动的时候，在xy面上方做这条线的反余切，其他情况则在面下做反余切。
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艺术和科技
 
莫比乌斯带为很多艺术家提供了灵感，比如美术家M.C.Escher就是一个利用这个结构在他木刻画作品里面的人，最著名的就是莫比乌斯二代，图画中表现一些蚂蚁在莫比乌斯带上面前行。

它也经常出现在科幻小说里面，比如亚瑟·克拉克的《黑暗之墙》。科幻小说常常想象我们的宇宙就是一个莫比乌斯带。由A.J.Deutsch创作的短篇小说《一个叫莫比乌斯的地铁站》为波士顿地铁站创造了一个新的行驶线路，整个线路按照莫比乌斯带方式扭曲，走入这个线路的火车都消失不见。另外一部小说《星际航行：下一代》中也用到了莫比乌斯带空间的概念。

有一首小诗也描写了莫比乌斯带：

数学家断言 
莫比乌斯带只有一边 
如果你不相信 
就请剪开一个验证 
带子分离时候却还是相连 
莫比乌斯带也被用于工业制造。一种从莫比乌斯带得到灵感的传送带能使用更长的时间，因为可以更好的利用整个带子，或者用于制造磁带，可以承载双倍的信息量。

有一座钢制的莫比乌斯带雕塑位于美国华盛顿的史密斯森林历史和技术博物馆。

荷兰建筑师Ben Van Berkel以莫比乌斯带为创作模型设计了著名得莫比乌斯住宅。

 
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