贝塞尔函数(Bessel function,又称柱函数)是一类在各工程领域中有着广泛应用的特殊函数。贝塞尔函数是贝塞尔方程(一个二阶常微分方程)的解。

一般有三类贝塞尔函数

1、第一类贝塞尔函数(Bessel function of the first kind) J_v(x)

2、第二类贝塞尔函数(Bessel function of the second kind),又称诺依曼函数（Neumann function）:Y_v(x)(或N_v(x))

3、第三类贝塞尔函数（Bessel function of the third kind），又称汉克尔函数（Hankel function）: H¹_v(x)和H²_v(x)。

当贝塞尔方程为变形贝塞尔方程(虚宗量贝塞尔方程)时，方程的解一般有两类

1、  变形第一类贝塞尔函数（modified Bessel function of the first kind）I_v(x)

2、  变形第二类贝塞尔函数（modified Bessel function of the second kind）K_v(x)

另外应用比较多的函数还有球贝塞尔函数(Spherical Bessel functions)、艾里函数(Airy functions）等等。由于贝塞尔函数的广泛应用，很多软件都提供了现成的函数供用户使用。

Mathematics：提供了比较多的Bessel函数。如：

Matlab：提供了五个函数besselj、bessely、besselh、besseli和besselk分别对应第一类Bessel函数、第二类Bessel函数、第三类Bessel函数、第一类变形Bessel函数和第二类变形Bessel函数。语法besselj(nu,z)：nu为函数的阶次，可以不为整数但必须为实数。z为函数的变量，可以为复数。还有besselj(nu,z,1)语法，可查询帮助。其他函数除了besselh有些不同外，基本类似。至于球函数、Airy函数等可通过这个函数来构造实现。

Excel：提供了四个函数，即： BESSELJ、BESSELY、BESSELI、BESSELK。

语法：BESSELJ (x,n)；其中，x为参数值，n为函数的阶数。如果 n非整数，则截尾取整。即Excel中只能计算整数阶次的Bessel函数。其他函数类似。

关于贝塞尔函数的专业书籍有：

中文

[1]刘颖，《圆柱函数》国防工业出版社，1983。

[2]奚定平，《贝塞尔函数》高等教育出版社和施普林格出版社，1998.

英文

[3] George Neville Watson《A Treatise on the Theory of Bessel Functions》Cambridge University Press，1995(1944，1922)   最经典的一本书。

[4] BG Korenev 《Bessel Functions and Their Applications》CRC 2002.

[5] Milton Abramowitz, and Irene A. Stegun《Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables》Dover Publications 1964.

[6] I.S. Gradshteyn, I.M. Ryzhik, A Jeffrey, D Zwillinger《Table of integrals, series and products》(Seventh Edition) Academic Press 2007.