前面，在“有趣的图形数”和“求连续自然数立方和的公式”两篇文章中，曾经用图形法和数表法，得到过求连续自然数立方和的公式。下面，再介绍一种更为巧妙的，推导这个公式的方法。

把自然数1，2，3，4，5，……分行排列并求和。排列的规律是，自上而下每行自然数的个数，形成一个奇数列(1个、3个、5个……)：

　　　　　　 　　1　　　　　　 　　　　 ＝1

　　　　　　　2＋3＋4　　　　　　　 　　＝9

　　　　　　　 5＋6＋7＋8＋9　　　　　　　　＝35

　　10＋11＋12＋13＋14＋15＋16　　　　　＝91

……

对和进行一次简单的变换：

　　　　　　 　　1　　　　　　 　　　　 ＝13

　　　　　　　2＋3＋4　　　　　　　 　　＝13＋23

　　　　　　　 5＋6＋7＋8＋9　　　　　　　　＝23＋33

　　10＋11＋12＋13＋14＋15＋16　　　　　＝33＋43

……

观察发现：

这些等式的左端，是一些连续自然数的和，并且自上而下第几个等式，最后一个数就是几的平方；

这些等式的右端，是一些连续自然数的立方和，并且自上而下第几个等式，就是几减1的立方加几的立方。

于是想到，如果自上而下，把这些等式的左右两端分别加起来：

左端将会得到从1开始的一些连续自然数的和；

右端将会得到从1开始的一些连续自然数的立方和。

进一步仔细观察又发现，加到第几个等式：

左端将是从1开始，连续加到几的平方；

右端将是从1开始，连续加到几的立方的2倍，再减去1个几的立方。

于是，可以列出下面的等式：

　　　1＋2＋3＋…＋n2＝2(13＋23＋33＋…＋n3)－n3

左端是从1开始到n的连续自然数的和。而右端已经出现了从1开始到n的连续自然数的立方和，只要把它解出来就行了。

根据“求连续自然数之和的公式”：1＋2＋3＋…＋n2＝(1＋n2)n2/2，得到：

　　　(1＋n2)n2/2＝2(13＋23＋33＋…＋n3)－n3

两端除以2

 　   (1＋n2)n2/4＝13＋23＋33＋…＋n3－n3/2

把右端的“－n3/2”移到左端

　    (1＋n2)n2/4＋n3/2＝13＋23＋33＋…＋n3

左端通分相加

      [(1＋n2)n2＋2n3]/4＝13＋23＋33＋…＋n3

左端提出公因数

　    (1＋2n＋n2)n2/4＝13＋23＋33＋…＋n3

根据公式(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2得到：

  　  (1＋n)2n2/4＝13＋23＋33＋…＋n3

左端化简

  　  [(1＋n)n/2]2＝13＋23＋33＋…＋n3

于是得到，求连续自然数立方和的公式：

　　　　13＋23＋33＋…＋n3＝[(1＋n)n/2]2

这里，只用到一些非常基本的代数知识，关键是怎样想到了问题的切入点，以及通过认真仔细的观察，发现规律性的东西。所以说，巧妙的思路、认真的观察、扎实的基础知识和过硬的应用能力，实在是太重要了。