下面是几个自然数的平方数。

　　122＝144，　212＝441；

　　132＝169，　312＝961。

请仔细观察一下，这些自然数和它们的平方数，有什么特别之处？

相信你一定会发现：

(1)12和21，是两个数字相同排列顺序相反的数；它们的平方数144和441，也是两个数字相同排列顺序相反的数；

(2)13和31，是两个数字相同排列顺序相反的数；它们的平方数169和961，也是两个数字相同排列顺序相反的数。

把一个数的数字排列顺序倒过来，所得的数，因为有点像从镜子里反射出来的样子，就把它叫做“镜反数”。

对于122＝144，212＝441来说，21是12的“镜反数”，144是12的平方数，441是144的“镜反数”，也是12的“镜反数”21的平方数。因此，12、21、144、441虽然从表面上看是4个数，而实质上其余3个数都源于12；

对于132＝169，312＝961来说，31是13的“镜反数”，169是13的平方数，961是169的“镜反数”，也是13的“镜反数”31的平方数。因此，13、31、169、961虽然从表面上看是4个数，而实质上其余3个数都源于13。

这种非同寻常的关系，如果用A代表12或13，可以用下面的图形非常清楚地表示出来：

　　　　A→A镜

　　　　↓　↓

　　　　A2→A2镜

即，A的平方数的“镜反数”，也是A的“镜反数”的平方数。

这句话很拗口，听起来有点像绕口令，却说出了数A的特性。

凡是具有这种特性的数，就叫做“平方镜反数”。

所以，12、13都是“平方镜反数”，当然，21、31也都是“平方镜反数”。

那么，在两位数中，还有这样的“平方镜反数”吗？有，就是11、22。不过，这两个“平方镜反数”就更特殊了！不信请看：

11的“镜反数”还是11，11的平方数是121，121的“镜反数”还是121。这样就可以说：11的平方数121的“镜反数”121，也是11的“镜反数”11的平方数。完全符合“平方镜反数”的条件。

22的“镜反数”还是22，22的平方数是484，484的“镜反数”还是484。这样就可以说：22的平方数484的“镜反数”484，也是22的“镜反数”22的平方数。完全满足“平方镜反数”的条件。

总结一下：两位数的“平方镜反数”只有6个：11、12、13、21、22、31。

这是为什么呢？让我们来探个究竟：

如果用x、y表示两个数字，10x＋y就是个两位数，10y＋x就是它的“镜反数”。显然，x和y都不能是0，因为它们都会出现在十位上。

这两个两位数的平方数分别是：

(10x＋y)2＝100x2＋20xy＋y2，

(10y＋x)2＝100y2＋20xy＋x2。

现在，我们来分析一下x、y都可以取哪些数字：

一、当x＝1时，所讨论的两位数在11～19之间，相应的平方数都是三位数。

(10＋y)2＝100＋20y＋y2 　 　 (1)

(10y＋1)2＝100y2＋20y＋1　　 (2)

由(2)式可知，100y2＋20y＋1的个位数是1，所以，(1)式中100＋20y＋y2的百位数也必须是1，于是，y就不能大于或等于5，否则，20y≧100，100＋20y＋y2的百位数就不是1了；

并且，因为(2)式中的100y2＋20y＋1是三位数，y就不能是4，否则，100y2＝100×42＝1600，100y2＋20y＋12就是四位数了。

于是，y只能是1、2、3，这样就得到3个“平方镜反数”：11、12、13。

二、当x＝2时，所讨论的两位数在21～29之间，相应的平方数也都是三位数。

(20＋y)2＝400＋40y＋y2　　 　(3)

(10y＋2)2＝100y2＋40y＋4  　 (4)

由(4)可知，100y2＋40y＋4的个位数是4，所以(3)式中400＋40y＋y2的百位数也必须是4，y就不能等于或大于3，否则，40y≧120，400＋40y＋y2的百位数就不是4了。

于是，y只能是1或2，这样就得到2个“平方镜反数”：21、22。

三、当x＝3时，所讨论的两位数在31～39之间。

(30＋y)2＝900＋60y＋y2　　　 (5)

(10y＋3)2＝100y2＋60y＋9  　 (6)

由(6)可知，100y2＋60y＋9的个位数是9，(5)中900＋60y＋y2的首位数也必须是9，于是，y只能是1，否则，60y≧120，900＋60y＋y2的首位数就不是9了，这样就得到1个“平方镜反数”31。

概括起来，两位数的“平方镜反数”只有6个：

11、12、13、21、22、31。

那么，三位数、四位数有没有“平方镜反数”呢？有。

三位数的“平方镜反数”只有15个：

101、102、103、111、112、113、121、122、201、202、211、212、221、301、311；

四位数的“平方镜反数”只有39个：

1001、1002、1003、1011、1012、1013、1021、1022、1031、1101、1102、1103、1111、1112、1113、1121、1122、1201、1202、1211、1212、1301、2001、2002、2011、2012、2021、2022、2101、2102、2111、2121、2201、2202、2211、3001、3011、3101、3111；

五位数的“平方镜反数”只有91个：

10001、10011、10012、10013、10101、10102、10103、10111、10112、10113、10121、11003、11001、11011、11012、11013、11101、11102、11103、11111、11112、11113、11121、11122、11123、12202、13001、20001、20011、20012、20101、20102、20112、20121、20122、21001、21011、21101、21102、22001、22011、22101、30001、30011、31001、31011、10002、10003、10021、10031、10022、10201、10202、10211、10212、10221、10122、11031、11002、11021、11022、11201、11202、12002、11211、12001、12011、12012、12201、12101、12102、12111、13011、20002、20021、20022、20201、20111、20211、20221、21002、21021、21201、21111、22002、22102、22111、30101、30111、31101、31111。

回过头来，不禁要问：

一位数，有没有“平方镜反数”呢？

试一下就知道，只有1、2、3合乎要求。

这就是为什么上面提到的“平方镜反数”，都是由1、2、3、0这几个数字组成的原因。至于0，只不过是起了占位的作用而已。

回顾一下，看看不同位数的自然数中，“平方镜反数”所占的份量：

  　N位数　　N位数的个数　　“平方镜反数”的个数　　 所占百分数

　　一位数　　  　　9　　　　　　 　　　3　　　　　　　 33%

　　两位数　　　   90                  15               17%

    三位数　  　　900　　　　　　　 　 39              　4%

　　四位数　　   9000                  91              　1%

可见，随着位数的增加，“平方镜反数”所占的份量越来越少。

那么，六位数、七位数、八位数……有没有，有多少“平方镜反数”呢？

自然数，又给我们出了个诱人的题目。

自然数，真是一个充满奇趣的大宝藏！