前面在“有趣的图形数”和“求连续自然数平方和的公式”两文中，曾经用图形法和列表法，巧妙地推出过求连续自然数平方和的公式：

　　　　　　12＋22＋32…＋n2＝n(n＋1)(2n＋1)]/6

这里再用一种比较正规又很好理解的方法，推导一下这个公式。

由恒等式

　　　　　　(n＋1)3＝n3＋3n2＋3n＋1

可得

　　　　　　(n＋1)3－n3＝3n2＋3n＋1

取n＝1,2,3,…,n，依次写出

　　　　　　23－13＝3·12＋3·1＋1

　　　　　　33－23＝3·22＋3·2＋1

　　　　　　43－33＝3·32＋3·3＋1

　　　　　　…………

　　　　　　(n＋1)3－n3＝3n2＋3n＋1

等式两端相加，得

　　　　　　(n＋1)3－1＝3(12＋22＋32＋…＋n2)＋3(1＋2＋3＋…n)＋n

观察发现：右端两个括号里分别是“从1到n连续自然数的平方和”与“从1到n连续自然数的和”。

如果用S2表示“从1到n连续自然数的平方和”，用S1表示“从1到n连续自然数的和”，那么右端就等于

　　　　3S2＋3S1＋n

于是

　　　　　　(n＋1)3－1＝3S2＋3S1＋n

因为

　　　　　　S1＝n(n＋1)/2

　　所以，

　　　　　　 (n＋1)3－1＝3S2＋3n(n＋1)/2＋n

　　于是，

　　　　　　 S2＝[(n＋1)3－1－3n(n＋1)/2－n]/3

　　　　　　  ＝[n3＋3n2＋3n＋1－1－(3n2＋3n)/2－n]/3

              ＝[n3＋3n2＋3n－(3n2＋3n)/2－n]/3

　　右端的分子、分母同时乘以2，

             S2＝[2n3＋6n2＋6n－(3n2＋3n)－2n]/6

　　　　　　　＝[2n3＋6n2＋6n－3n2－3n－2n]/6

              ＝[2n3＋3n2＋n]/6

              ＝n[2n2＋3n＋1]/6

              ＝n[2n2＋2n＋n＋1]/6

              ＝n[2n(n＋1)＋(n＋1)]/6

              ＝n(n＋1)(2n＋1)]/6

于是

　　　　　S2＝n(n＋1)(2n＋1)]/6

即

　　　　　　　12＋22＋32…＋n2＝n(n＋1)(2n＋1)]/6

　　是不是很好理解？当然，三种方法各有所长各有所短，这不正是数学的魅力所在吗？