（选自《数论妙趣——数学女王的盛情款待》第二章　除数好散心）

　  我们知道，如果一个正整数N的质因数可以分解为

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那么，N的因数个数就等于(ɑ1＋1)(ɑ2＋1)…(ɑn＋1)。

如，24＝23×3，2和3的幂指数分别是3和1，所以24有(3＋1)(1＋1)＝8个因数，分别是1、2、3、4、6、8、12、24。

再如。60＝22×3×5，2、3、5的幂指数分别是2、1、1，所以60有(2＋1)(1＋1)(1＋1)＝12个因数，分别是1、2、3、4、5、6、10、12、15、20、30、60。

相反的问题：已知一个数的因数个数，求这个数。

如，试求一个数，这个数正好有14个因数，并且最小。

取14＝2×7，把每个因数都减去1，得1和6，把它们看作幂指数，任一形式为p1q6(p,q为质数)的数，都正好有14个因数。要想得到最小的解，就要取最小的质数，可以取2和3，最小解是21×36＝1458，26×31＝192。

取14＝1×14，把每个因数都减去1，得0和13，把它们看作幂指数，任何一个正整数的0次方都等于1，而1不是质数，最小解是213＝8192。

对所得的3个最小解比较后得出，答案是192。

可见，要求出一个最小的正整数，使之具有给定个数的因数，并非一件很简单的事。

例如，如果12是给定的因数的个数，而我们取12＝2×6，这时，相应的指数为1和5，解就可能是25×32＝96；如果我们取12＝3×4，相应的指数为2和3，解就可能是23×34＝72。而前面已经说过，60有12个因数，而这两个答案96和72，都比60大。那么，60这个解又该怎样才能找到呢？原来，12也可以写成2×2×3，相应的指数是1、1、2，这样就得到22×3×5＝60。

再如，求一个正好具有100个因数的最小正整数，过程就更加复杂。

首先，把100写成几个因数的积：50×2，25×4，20×5，10×10，25×2×2，10×5×2，5×5×4，5×5×2×2。由此得出，正好有100个因数的数，分解质因数后的形式为：p49×q，p24×q3，p19×q4，p9×q9，p24×q×r，p9×q4×r，p4×q4×r3，p4×q4×r×s。让p、q、r、s取尽可能小的质数，通过分析对比，由最后一个形式p4×q4×r×s，得到满足要求的最小解：24×34×5×7＝45360。

对于一个数来说，1和这个数本身也是它的因数；如果不算这个数本身，其余的因数包括1，叫做这个数的“真因数”。

数的因数之和可以引发许多有趣的问题。

如，求一个正整数，其因数之和恰好是一个完全平方数。

满足要求的最小数是3，因为3的因数是1和3，1＋3＝4，而4＝22，是一个完全平方数。

下一个满足要求的数是22，因为22的因数是1,2,11,22。1＋2＋11＋22＝36＝62。

满足要求的数还有：

　　正整数　　　　　　因数　　　　　　　　　　因数和＝平方数

  　　  66    1,2,3,6,11,22,33,66            　  144＝122

　　    70    1,2,5,7,10,14,35,70           　   144＝122

　　    81    1,3,9,27,81                  　    121＝112

　 　 1501    1,19,79,1501                　    1600＝402

  　　 4479865    1,5,13,41,65,205,533,     　   5934096＝24362

    　    　      1681,2665,8405,21853,

      　   　     68921,109265,344605,

        　 　　   895973,4479865

再如，试找出一个平方数，其所有因数之和也是一个平方数。

满足要求的数有：

　　平方数　　　　　　　　所有因数之和＝一个平方数

　　81＝92　　　　　　　　1＋3＋9＋27＋81＝121＝112

　 400＝202　　　　　1＋2＋4＋5＋8＋10＋16＋20＋25＋40＋50

　　　　　　　　　　　　　＋80＋100＋200＋400＝961＝312

再如，试找出一个平方数，其所有真因数之和也是一个平方数。

满足要求的数有：

　　平方数　　　　　　　　所有真因数之和＝一个平方数

　 　 9＝32　　　　　　　　 　　　1＋3＝4＝22

 　2401＝492　　　　　　　　1＋7＋49＋343＝400＝202

有时，一个数真因数之积（而不是其和），有可能等于该数的某个乘幂。这样的实例有：

　　数N　　　　　　          　　　　　N的真因数之积

　　 12　　　　　　　　          　　1×2×3×4×6＝144＝122

     20　　　　　        　　 　　　1×2×4×5×10＝400＝202

     45　　　　　　 　　　       　1×3×5×9×15＝2025＝452

     24　　　　　        　 1×2×3×4×6×8×12＝13824＝245

     40　　　　  　      　1×2×4×5×8×10×20＝64000＝403

     48　　　     1×2×3×4×6×8×12×16×24＝5308416＝484

     80　　   　1×2×4×5×8×10×16×20×40＝40960000＝804

    405　　1×3×5×9×15×27×45×81×135＝26904200625＝4054

正整数的因数，还有许多其他有趣的规律。其中，一个鲜为人知的规律是：

如果数N有p个因数，那么，所有这些因数的乘积，等于N的p次方的平方根。

如，4有3个因数，分别是1、2、4。所有这些因数的乘积是1×2×4＝8；43＝64，而64的平方根也等于8。

又如，15有4个因数，分别是1、3、5、15。所有这些因数的乘积是1×3×5×15＝225；154＝50625，而50625的平方根也等于225。

再如，前面提到过的24和60：

24有8个因数，分别是1、2、3、4、6、8、12、24。所有这些因数的乘积是1×2×3×4×6×8×12×24＝331776；248＝110075314176，而110075314176的平方根也等于331776。

60有12个因数，分别是1、2、3、4、5、6、10、12、15、20、30、60。所有这些因数的乘积是1×2×3×4×5×6×8×12×15×20×30×60＝46656000000；6012＝2176782336000000000000而2176782336000000000000的平方根也等于46656000000。