小学数学思想方法

第十一讲　　用字母表示数，一般化与特殊化

　　用字母表示数，可以把数和数量关系简明地表示出来，有利于对数和数量关系进行分析。

　　例1　把一个两位数的个位数字与十位数字交换后得到一个新数，它与原来的数加起来恰好是某个自然数的平方。这个和数是多少？

　　解：设原来的两位数是xy，交换十位数字与个位数字后的两位数就是yx，两数的和为xy＋yx＝10x＋y＋10y＋x＝11×(x＋y)。这个和是11的倍数，所以也是112＝121的倍数。因为两个两位数的和小于200，所以要求的和数就是121。

　　例2　有一个电话号码是6位数，其中左边3位数字相同，右边3位数字是3个连续的自然数，6个数的和恰好等于末尾的两位数。这个电话号码是多少？

　　解：设这个电话号码是aaabcd。因为b、c、d是三个连续的自然数，所以d＝c＋1或d＝c－1。六个数字的和3a＋3c＝10c＋d可简化为3a＋3c＝11c＋1(式①)，或3a＋3c＝11c－1(式②)。由①，得3a＝8c＋1，于是c＝1，a＝3。由②，得3a＝8c－1，于是c＝2，a＝5。因此，这个电话号码是333012或555321。

例3　一个自然数被8除余1，所得的商被8除也余1，再把第二次所得的商用8除余7，最后得到的商是a。又知道这个自然数被17除余4，所得的商被17除余15，最后得到的商是a的2倍，求这个自然数。

解：依题意，[(8a＋7)×8＋1]×8＋1＝(17×2a＋15)×17＋4，整理得512a＋457＝578a＋259，即66a＝198，a＝3。于是，这个自然数是[(8a＋7)×8＋1]×8＋1＝1993。

　　例4　将一个四位数的数字顺序颠倒过来，得到一个新的四位数，新数比原数大7902。那么，所有符合条件的原四位数的和是多少？

解：设原四位数是abcd，新四位数是dcba，依题意，

于是，由千位得d＞a≥1；由个位得10＋a－d＝2，即d－a＝8，所以d＝9，a＝1；由十位得b－c＝1。从而原数可以是1109、1219、1329、1439、1549、1659、1769、1879、1989共9个数，它们的和是13941。

　　对已有的知识和结论作一般化的思考，这种思维方法就叫做一般化方法。反之，也可以把解决特殊情况的方法或结果推广到一般问题上，而获得一般性问题的解决，这种思维方法叫做特殊化。

　　例5　小于8且分母为24的最简分数共有多少个？这些最简分数的和是多少？

　　解：(1)小于8且分母为24的最简分数可以表示为(24n＋r)/24，其中n＝0，1，2，3，4，5，6，7；r＝1，5，7，11，13，17，19，23。由n与r的搭配可知，小于8且分母为24的最简分数共有8×8＝64(个)。

　　(2)上述所有这些分数的和是：(1/24＋5/24＋7/24＋…＋23/24)＋[(24＋1)/24＋(24＋5)/24＋…＋(24＋23)/24)]＋…＋[(24×7＋1)/24＋(24×7＋5/24＋…＋(24×7＋23)/24]＝1/24×［8×(1＋5＋7＋11＋13＋17＋19＋23)＋8×24×(1＋2＋3＋4＋5＋6＋7)]＝32＋224＝256。

　　例6　360这个数的约数有多少个？这些约数的和是多少？

　　解：(1)360＝2×2×2×3×3×5＝23×32×5，在求360的约数时，质因数2可以“不取”、“取1个”、“取2个”、“取3个”共有3＋1种选择，同理质因数3有2＋1种选择，5有2种选择，所以360的约数有(3＋1)×(2＋1)×(1＋1)＝24(个)。

　　(2)这些约数的和是(1＋2＋22＋23)×(1＋3＋32)×(1＋5)＝1170。

　　例7　1/□＋1/□＋1/□＋1/□＋1/□＋1/□＝1。请找出6个不同的自然数，分别填入6个方框中，使这个等式成立。

解：可以采取“一分为二”的方法：

1＝1/2＋1/2＝1/2＋1/4＋1/4＝1/2＋1/4＋1/8＋1/8＝1/2＋1/4＋1/8＋1/16＋1/16，根据1/n－1/(n＋1)＝1/[n(n＋1)]可得1/16＝1/17＋1/(16×17＝1/272，于是，1＝1/2＋1/4＋1/8＋1/16＋1/17＋1/272。

(答案不惟一。)

    例8　某公共汽车线路上有15个车站(包括起点站和终点站)，公共汽车从起点站到终点站的行驶过程中，每一站(包括起点站)上车的人中恰好在以后的各站都各有1人下车。要使汽车在行驶中乘客都有座位，那么在车上至少要安排多少个座位？

解：按照题意列出下表：

　　观察发现，如果用k表示站的序数，那么，汽车从第k站开出时，留在车上的乘客人数可以用k(15－k)表示。试算得出，当k＝7或8时，k(15－k)＝7×8＝56，或k(15－k)＝8×7＝56，k(15－k)的值最大，所以车上至少要安排56个座位。

    练习：

　　1、四位数3AA1能被9整除，求A。

　　2、老师报出一个四位数，要求先把这个四位数的数码顺序倒排后得到一个新的四位数，再把这两个四位数相加。甲的答数是9898；乙的答数是9998；丙的答数是9988；丁的答数是9888。已知甲、乙、丙、丁四位同学中有一位同学的结果是正确的，那么做对的同学是谁？

3、六位数3ABABA是6的倍数，这样的六位数有多少个？

4、一个两位数中间插入一个数字，就变成一个三位数。有些这样得到的三位数是原来两位数的9倍，这样的两位数有哪几个？

　　5、有这样三个数字，它们能组成6个不同的三位数，已知这6个三位数的和是2886，那么其中最小的一个三位数是多少？

6、在方框里填上两个不同的自然数，使等式成立。

　　　　　　　　　　1/□＋1/□＝1/1993

7、写出10个不同的自然数，使它们的倒数的和等于1。

8、4200的约数有多少个？这些约数的和是多少？

9、从360到630的自然数中，有奇数个约数的自然数有几个？

10、有4个表面涂有红漆的正方体，它们的棱长为1、3、5、7。将这些正方体锯成棱长为1的小正方体，得到的小正方体中，至少有一个面是红色的有多少个？

    答案：

　　1、7。　　2、丙。　　3、20个。　　4、15、25、35、45。

5、139。　　6、1994，3974042。

7、2，4，8，16，32，64，128，256，257，65792。

8、48个，和是14880。　　9、7个。　　10、343个。