小学数学思想方法　第五讲　类比和转化_zhoushijingguo

解：用类比的方法容易想到，可以先把一个正方形分成9个小正方形，再反其道而行之，把其中4个小正方形合并成1个较大的正方形，就能得到6个正方形(图1)。进而想到分成7个小正方形的方法(图2)。再与分成6个正方形的方法类比，就能想到分成8个小正方形的方法(图3)。要得到10个小正方形，只要先分成7个小正方形，再把其中的1个小正方形分成4个更小的正方形就可以了。照这样，分成再多的小正方形都是可以做到的。

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例2　一段楼梯有10个台阶，如果规定每一步只能登上一个或两个台阶，那么，要登上第10个台阶，有多少种不同的走法？

　　解：从最简单的情况入手：根据已知条件，登上第1个台阶只有1种走法。登上第2个台阶就有2种走法。登上第3个台阶，既可以从第2个台阶向上一步登一个台阶，也可以从第1个台阶向上一步登两个台阶。登上第4个台阶，既可以从第3个台阶向上一步登一个台阶，也可以从第2个台阶向上一步登两个台阶。由此得到一种带有普遍性的走法：登上第n个台阶的走法an，等于登上第n－1个台阶的走法an-1和登上第n－2个台阶的走法an-2的和，即an＝an-1＋an-2。由于a1＝1，a2＝2。所以，登上各个台阶的走法数依次为

　　　　　　　　1, 2，3, 5，8, 13, 21, 34, 55, 89。

于是登上第10个台阶有89种不同的走法。

这里所使用的方法也叫“递推”，就是一步一步推下去的意思，著名的菲波那契数列就是用这种方法得到的。

　　例3　用两个点把一个圆周分成两段半圆弧，在这两个分点上写上1；然后把两段半圆弧二等分，在两个分点上写上相邻两点上的数的和；再把4段圆弧二等分，在分点上写上相邻两点上的数的和。如此继续下去，问第6步操作后，圆周上所有点上的数的和是多少？

　　解：按照题目所说的，一边画、一边计算、一边思考，得到：每次操作后，因为所增加的每个数都是原来相邻两个数的和，在求和时原来的每个数都用了两次，所以每次增加的数的和，等于这次操作前圆周上所有的数的和的2倍，也就是说，每操作一次，圆周上所有的数的和等于这次操作前圆周上所有的数的和的3倍。如果把第n次操作后圆周上所有的数的和记作an，把这次操作前圆周上所有的数的和记作an-1，就得到an＝3an-1。所以a6＝a1×3×3×3×3×3，因为a1＝2，于是a6＝2×3×3×3×3×3＝486。

　　例4　用对角线把正六边形剖分成三角形(这些三角形的顶点是正六边形的顶点)，共有多少种不同的方法？

解：为了找到规律，可以从四边形、五边形入手，再推进到六边形：

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(1)四边形。对角线A1A3把四边形分为2个三角形，对角线A2A4把四边形分为另外2个三角形，所以把四边形分成三角形的方法共有2种。

(2)五边形。对角线A1A3把五边形分为1个三角形和1个四边形，而四边形分成三角形的方法有2种，于是把五边形分成三角形的方法也有2种；同理，对角线A1A4把五边形分成三角形的方法也有2种；对角线A1A3和A1A4并用，也可以把五边形分成三角形。所以把五边形分成三角形的方法共有2＋2＋1＝5种。

(3)六边形。对角线A1A3把六边形分为1个三角形和1个五边形，而五边形分成三角形的方法有5种，于是把六边形分成三角形的方法也有5种；同理，对角线A1A5把六边形分成三角形的方法也有5种；对角线A1A4把六边形分成2个四边形，每个四边形分成三角形的分法有2种，于是把六边形分成三角形的方法有2＋2＝4种。所以把正六边形分成三角形的方法共有5＋5＋4＝14种。

　　通常，当我们要处理一个陌生的或复杂的问题时，总是先设法把它变成比较熟悉的或者比较简单的问题，这种数学思想方法叫做转化。转化是一种最常用的数学思想方法。

　　例5　四十一位数55…5□99…9(其中5和9各有20个)，能被7整除，那么，方格内的数字是几？

　　解：先从能被7整除的连续几个5和连续几个9入手。试算发现555555÷7＝79365, 999999÷7＝142857，而555555、999999都是6位数。20÷6余2，所以，问题转化为“55□99能被7整除，方格内的数字是几？”从55□99先减去一个能被7整除的整千数49000得6099，再从6099里减去一个能被7整除的两位数98得6□01，再从6□01里减去一个被7整除的数1001得5□00，显然方格内的数字应该是6。

　　例6　一批工人到甲、乙两个工地进行清理工作，工人的工作效率相同，甲工地的工作量是乙工地的3/2倍。上午去甲工地的人数是去乙工地人数的3倍，下午这批工人中有7/12的人去甲工地，其余工人去乙工地。到傍晚下班时，甲工地的工作已做完，乙工地的工作还需4名工人再做1天，那么这批工人有多少人？

　　解：根据对应的思想方法，要求出这批工人有多少人，必须知道4人相当于这批工人的几分之几。下面就按照这个思路进行必要的转化：

(1)“上午去甲工地的人数是去乙工地人数的3倍”，转化为“上午去甲工地的人数占总人数的3/4，去乙工地的占总人数的1/4”；

　　(2)从“下午这批工人中有7/12的人去甲工地”，得出“下午去乙工地的占总人数的5/12”；

(3)“到傍晚下班时，甲工地的工作已做完”，转化为“如果半天完成工作，甲工地需要总人数的3/4＋7/12＝4/3”。

(4)根据“甲工地的工作量是乙工地的3/2倍”，得出“如果半天完成工作，乙工地需要总人数的4/3÷3/2＝8/9”，进而得出“还缺总人数的8/9－1/4－5/12＝8/36”；

(5)“乙工地的工作还需4名工人再做1天”转化为“乙工地的工作还需要4×2＝8(人)干半天”；

(6)“如果半天完成工作，乙工地需要总人数的8/9”，与“乙工地的工作还需要8(人)干半天”相对应，所以这批工人有8÷8/36＝36(人)。

　　例7　图(a)是一个直径3厘米的半圆，AB是直径。让A点不动，把整个半圆逆时针转60°角，此时B点移动到B‘点，见图(b)，那么图中阴影部分的面积是多少平方厘米？

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　　解：阴影部分的面积，等于全部图形的面积减去直径为AB的半圆的面积，而全部图形的面积等于直径为AB‘的半圆与半径为3厘米的圆的1/6。实际　上这两个半圆的面积是相等的，所以阴影部分的就等于半径为3厘米的圆的1/6，是1/6×3.14×32＝4.71(平方厘米)。

例8　左下图中，已知AE＝1/5AC，CD＝1/4BC，BF＝1/6AB，那么△DEF的面积是△ABC的面积的几分之几？

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解：连结AD、BE、CF如右上图。因为CD＝1/4×BC，所以S△ACD＝1/4×S△ABC。因为AE＝1/5×AC，所以S△CDE＝4/5×S△ACD＝4/5×1/4×S△ABC＝1/5×S△ABC；同理，S△BDF＝1/6×S△ABD＝1/6×3/4×S△ABC＝1/8×S△ABC；S△AEF＝1/5×S△ACF＝1/5×5/6×S△ABC＝1/6×S△ABC。所以，△DEF的面积是△ABC的面积的1－1/5－1/8－1/6＝61/120。