在掌握了能被2、3、5整除的数的特征之后，判断一个数能否被4、6、8、9整除也就不成问题了，唯独判断一个数能否被7整除有点麻烦。下面介绍几种判断一个数能否被7整除的方法供老师们参考。这些方法各有所长，贵在熟练，不必求全。

1、去尾相加法：一个自然数，去掉它的末位数字之后，再加上末位数字的5倍，如果得数能被7整除，这个自然数就能被7整除。

例  判断1029能否被7整除。

解：去掉1029的末位数字9得102，再加上末位数字9的5倍45得147。继续下去，去掉147的末位数字7得14，再加上末位数字7的5倍35得49。49能被7整除，所以1029能被7整除。

计算过程可以简单记作：1029→102＋9×5＝147→14＋7×5＝49。

2、去尾相减法：一个自然数，去掉它的末位数字之后，再减去末位数字的2倍，如果所得的差能被7整除，这个自然数就能被7整除。

例　判断15946能否被7整除。

解：去掉15946的末位数字6得1594，再减去末位数字6的2倍12得1582。继续下去，去掉1582的末位数字2得158，再减去末位数字2的2倍4得154。再继续下去，去掉154的末位数字4得15，再减去末位数字4的2倍8得7。7能被7整除，所以15946能被7整除。

计算过程可以简单记作：15946→1594－6×2＝1582→158－2×2＝154→15－4×2＝7。

3、去头相加法：一个自然数(至少有3位)，去掉它的首位数，把首位数的2倍加在其余的数的前两位数上，如果得数能被7整除，这个自然数就能被7整除。

例　判断8134能不能被7整除。

解：去掉8134的首位数8，把8的2倍16加在134的前两位数13上得294。继续下去，去掉294的首位数2，把2的2倍4加在94上得98。98能被7整除，所以8134能被7整除。

计算过程可以简单记作：8134→134＋8×20＝294→94＋2×2＝98。(8的2倍是16，为了把它加在134的13上要添一个0。)

4、去头相减法：一个自然数(至少有4位)，去掉它的首位数，把首位数从其余的数的左起第三位数中减去，如果得数能被7整除，这个自然数就能被7整除。

例　判断9219能不能被7整除。

解：去掉9219的首位数9得219，从219中减去9得210。210能被7整除，所以9219能被7整除。

计算过程可以简单记作：9219→219－9＝210。

5、两段相加法：把一个自然数分成末两位数一段，其余的数一段。计算末两位数那段与其余的数那段的2倍之和。如果得数能被7整除，这个自然数就能被7整除。

例　判断1036能不能被7整除。

解：把1036分成末两位数36和其余的数10两段，36加上10的2倍得56。56能被7整除，所以1036能被7整除。

计算过程可以简单记作：1036→36＋10×2＝56。

6、两段相减法：把一个自然数分成末三位数一段，其余的数一段。计算末三位数那段与其余的数那段之差。如果得数能被7整除，这个自然数就能被7整除。

例　判断904841能不能被7整除。

解：把904841分成末三位数841和其余的数904两段，904与841的差是63。63能被7整除，所以904841能被7整除。

计算过程可以简单记作：904841→904－841＝63。

7、三位分节法：一个自然数从个位向左，3位一节(最后不足3位时也算一节)，右起第一节减第二节、加第三节、减第四节、……照这样减加交错，如果得数能被7整除，这个自然数就能被7整除。

例　判断21205219能否被7整除。

解：从21205219的个位向左，3位一节得219、205、21，第一节219减第二节205加第三节21得35。35能被7整除，所以21205219能被7整除。

计算过程可以简单记作：21205219→219－205＋21＝35。

8、两位分节法：一个自然数从个位向左，2位一节(最后不足2位时也算一节)，从右向左逐节依次用1、2、4、1、2、4、……分别乘各节的数再相加，如果得数能被7整除，这个自然数就能被7整除。

例　判断34825能否被7整除。

解：从34825的个位向左，2位一节得25，48，3，逐节依次乘1，2，4得25×1＋48×2＋3×4＝133，继续下去，把133分为33、1得33×1＋1×2＝35。35能被7整除，所以34825能被7整除。

计算过程可以简单记作：34825→25×1＋48×2＋3×4＝133→33×1＋1×2＝35。

　　9、逐位求和法：一个自然数从个位向左，逐位依次用1、3、2、－1、－3、－2、1、3、2、－1、－3、－2、……分别乘各个数位上的数再相加，如果得数能被7整除，这个自然数就能被7整除。

例　判断1743能不能被7整除。

解：1743从个位向左依次是3、4、7、1，逐位依次用1、3、2、－1乘，得3×1＋4×3＋7×2－1×1＝28。28能被7整除，所以1743能被7整除。

计算过程可以简单记作：1743→3×1＋4×3＋7×2－1×1＝28。

例　判断1789756能不能被7整除。

解：1789756从个位向左依次是6、5、7、9、8、7、1，逐位依次用1、3、2、－1、－3、－2、1乘，得6×1＋5×3＋7×2－9×1－8×3－7×2＋1×1＝－11。－11不能被7整除，所以1789756不能被7整除。

计算过程可以简单记作：1789756→6×1＋5×3＋7×2－9×1－8×3－7×2＋1×1＝－11。

10、减去倍数法：常见的7的倍数有7、14、21、28、35、42、49、56、63、84、91、98、1001等。从一个自然数的任意数位上减去这些倍数，如果余数能被7整除，这个自然数就能被7整除。

比如上面那些例题：

1029 → 28。能被7整除。

　　 减1001

15946 → 1946 → 945 → 35。能被7整除。

　　  减14 　　减1001   减91

8134 → 126 → 56。能被7整除。

　　减8008　　减7

9219 → 21。能被7整除。

　　减9009

1036 → 35。能被7整除。

　　减1001

　　904841 → 3941 → 938 → 28。能被7整除。

　　　减9009　　减3003　  减91

　　21205219 → 205009 → 4809 → 609 → 49。能被7整除。

　　　减21、21　　　减2002　　减42    减56

34825 → 4795 → 791 → 7。能被7整除。

　　 减3003　　减4004　减91

　　1743 → 742 → 0。能被7整除。

　　减1001　减7、42

　　1789756　→　788 → 11。不能被7整除。

　　减1001、7、56　减777

　　上面这些方法熟练以后可以综合运用，并且过程也可以写得更加简单。

例　判断123456789能不能被7整除。

解：先用“三位分节法”789－456＋123＝456；再用“减去倍数法”去掉56得4。4不能被7整除，所以123456789不能被7整除。

计算过程可以简单记作：123456789→456→4。

例　判断987653142能不能被7整除。

解：先用“减去倍数法”去掉98、7、42得6531；再用“两段相加法”31＋65×2＝161；再用“去尾相减法”16－1×2＝14。14能被7整除，所以987653142能被7整除。

计算过程可以简单记作：987653142→6531→161→14。