利用马赫原理修正牛顿第二运动定律：

宇宙膨胀和星系旋转曲线问题的新解释

石宁

中科院广州能源研究所，广州，510640

通讯作者联系方式：Email: shining@ms.giec.ac.cn

 

摘要：本文在接受Sciama对马赫原理的解释的基础上，提出了惯性力产生的惯性场理论：有重物质的周围存在一种按照距离反比定律分布的惯性场。利用惯性场理论修正了牛顿第二运动定律。在修正后的运动力学中，动能、动量和动量均存在于物体之间，而且与物体间的距离成反比。之后，本文将修正后的运动定律利用到了单体宇宙、二体宇宙、三体宇宙以及多体宇宙等不同的宇宙模型中。最后，我们用修正后的运动学理论去解释了星系的旋转角速度以及宇宙膨胀的问题。

Abstract: an inertia field hypothesis was proposed by adopting Sciama’s interpretation of Mach’s principle, and the Newton’s second law of motion was modified by this new inertia field theory. The kinetic energy and momentum were redefined in this new motion law. The problems of expanding cosmic and the galaxy rotation curves were explained by this new motion law without dark energy or dark matter.

Keywords: Mach’s principle; inertia force; inertia field; Newtonian motion

 

1.引言

物体的运动状态与物体的受力状态间的关系是物理学的一个基础问题。在牛顿第二运动定律中，牛顿首先对这个关系进行了公式化：

                                                        (1)

其中， 是物体受到的外力；m是物体的惯性质量，是物体的本质属性，与其他物质没有关系；加速度 是物体相对于牛顿理论中的绝对空间的加速度，绝对空间则是牛顿定律中的惯性系。

牛顿的绝对空间的观念受到了来自莱布尼兹、伯克利[1]以及后来的马赫的质疑。他们坚信，运动是相对的，物体的运动只有在相对于其他物体而言时才具有物理意义，而在物质空间中定义一个与物质没有联系的绝对空间是没有物理意义的。其中，马赫是最具有影响力的。在他的《力学史评》中，他指出，物质的惯性质量是宇宙中其他物质对该物质诱导的结果，物体在加速时产生的惯性力来源于宇宙中遥远的星体。如果宇宙中不存在除研究物体之外的其他物体，那么这个物体就不会感受到惯性力，运动也就变得没有意义。马赫的这些观点后来被称为“马赫原理”。随着现代天文物理学的发展，越来越多不能用常规传统物理理论解释的天文现象被发现(星系旋转曲线，宇宙加速膨胀现象)。为了解释这些现象，暗物质、暗能量等假说被提出来。然而，现在越来越多的物理学家认为暗物质和暗能量并不是解决现存矛盾的有效方法。越来越多的研究者相信马赫对惯性的起源的这些论述是正确的，而且马赫原理可能是指引正在黑暗中探索的天文物理学家走向光明的一条路径[2]。

马赫的这些思想是如此的吸引人，以至于爱因斯坦深深受到这些观点的影响而建了广义相对论，并尝试将马赫原理包含在广义相对论中。然而，最后爱因斯坦放弃了马赫原理。马赫原理探讨的是惯性的起源这一基本物理问题，而在爱因斯坦的广义相对论中，他没有解释物体的惯性的起源，而只是把物体的惯性质量与物体的静止质量相等作为一个相对论的基本原理(等效原理)。从这一点来看，相对论是一个不完善的理论。关于广义相对论与马赫原理是否相容，许多文章进行了探讨[3]。

Sciama首先尝试将马赫原理进行公式化的科学家之一[4]。在尝试将马赫原理进行公式化时，他将引力场和惯性的关系与电场和磁场的关系做类比，提出物质的惯性是产生于物质在引力场中的加速运动，就好比磁场的产生是由于电荷在电场中加速运动。他把惯性的这种产生方式叫做惯性感应定律。通过与Webber的电磁理论进行类比，Sciama指出，在一个物体m相对于另一个物体M具有相对加速运动时，它会受到一个惯性力：

                                                      (2)

其中G是引力常数，c是光在真空中的传播速速，r是两个物体间的距离。

Sciama的工作获得了巨大的成功，并且在后来被Ghosh进行了扩展。关于具体的描述，见参考文献(5,6)。

本文在Sciama的工作基础上，提出了惯性起源的惯性场假说：在具有质量的物体周围存在一种惯性场，其分布规律与物体产生的引力势分布规律相同。物质通过惯性场对相对于它具有相对加速度的物质产物阻碍相对加速运动的惯性力。通过这种假设，我们修正了牛顿运动第二定律，并分析了在修正后的运动力学中，物质的动能、动量等物理学概念的表达式。最后，我们尝试用新的运动学定律去解释星系旋转曲线的问题以及宇宙膨胀的物理学机理。

2.利用马赫原理修正牛顿力学

假设一种阻碍相互加速运动的作用力会产生于两个具有相对运动加速度的物体间，那么所有物体的运动就会直接与宇宙中其他物体相关，正如马赫原理所描述的那样。

假设1: 有质量的物体会在其周围空间产生一个惯性场。这个惯性场是一种标量场，它的分布类似于引力势，与场源的质量成正比，与相对场源的距离成反比：

(3)

其中， 是惯性场的场强；M是惯性场场源的质量；r是场源的到研究点的距离；k是一个常数. 因为至今没有确凿证据可以证明惯性场是引力势的诱导结果，所以这里我们用一个常数k替代了Sciama理论中的G/c²e。这就对Sciama的理论进行了合理的扩展。

假设 2: 物体通过惯性场来对相对于场源具有相对加速运动的物体产生阻碍相对加速运动的力，即惯性力。根据牛顿力学，惯性力与研究物体的质量及相对加速度的大小成正比；同时，根据马赫原理，惯性力的大小与惯性场的场强成正比。因此，惯性力的表达式为：

                                               (4)

其中， 是惯性力；m是试探质点的质量； 是试探质点与惯性场场源之间的相对加速度。

根据上面的两个简单假设，我们对牛顿运动第二定律进行了修正。在修正后的牛顿力学中，惯性力与相对运动的两个物体的距离成反比，这与Sciama所提出的理论相符。

在下面章节，我们将会把这个修正的运动力学运用到不同的宇宙模型中，并应用这个修正的力学去解释星系的旋转曲线问题及宇宙的加速膨胀机制。

3. 修正的牛顿第二定律在在不同的宇宙模型中的应用

3.1 马赫原理在单体宇宙模型中的应用

假设宇宙中存在且仅存在一个星体。根据马赫原理，平动的速度和加速度对于这个物体而言都是没有意义的，因为宇宙中不存在其他物体，而运动必须是相对其他物体而言。

然而，这个物体是否具有旋转的角动量呢？人们一般会把这个物体当做质点对待，进而认为这个物体是不具有动能和转动惯量的，因为难以想象一个孤立的质点如何具有旋转角速度[7]。此外，人们还把这个结论扩展，认为宇宙我们的宇宙也是不具有旋转角速度的，因为宇宙被认为起源于一个质点的大爆炸，而且能够被作为一个整体看[8]。

但是，“质点”的观念只是一个物理学概念。实际上，客观世界中的物体都不是质点，因为具有空间体积的，可以分割成无数个部件。如果将这个孤立的物体分为许多块，而能够找到一个旋转中心使得所有的部件相对于这个中心做旋转，而且各个部件之间的相对运动速度不是零，那么它就在旋转，从而具有旋转角动量。扩展这个结论，我们可以认为我们的宇宙是可以具有旋转角动量的。

3.2 马赫原理在二体宇宙模型中的应用

假设宇宙中存在且仅存在引力质量分别为m_a，m_b的两个物体a, b。两者相距为r_ab, 而它们的相对加速度为 ，相对运动速度为 _ab。

根据修正后的牛顿第二定律公式，两者间的运动状态与相互作用力之间的关系为：

                                            (5)也即：

                                                   (6)

对方程(6)进行积分，可以得到：

(7)

方程(7)即是修正后的运动力学下的冲量定理，且修正后的运动力学中，物体的动量表达式变为：

                                                      (8)

同理，我们可以得到修正后的运动定律下的动能定理：

  (9)

其中动能的表达式为：

                                                   (10)

正如上面的分析所示，在修正后运动力学中，动能、动量都存在于相对运动的两个物体之间，与两个物体的质量以及距离有关。这与牛顿的理论是完全不同的。因为运动是相对的，那么动能和动量自然应该存在与物体之间。所以可以看出我们的理论是比牛顿运动力学更具有优越性的。

3.3 马赫原理在总星体质量有限的宇宙空间中

通过类似，我们能够得到在质量有限的宇宙中的运动力学。假设宇宙中存在N个物体，它们的质量表述为m₁,m₂…m_N，用r_ij和a_ij分别表示物体i与j间的距离和相对加速度，那么物体i受到的惯性力可以表示为：

(11)

很显然，对于真实宇宙而言，方程(11)太复杂而不适合直接应用，因为宇宙中物质的分布和物体间的相对位置以及相对加速度都难以确定。但是，我们可以假设宇宙中除了研究的物体i之外的所有其他物体都可以被一个物体所取代，而不影响物体i的受力状态与运动状态间的关系。用R表示物体i与物体M间的距离，用 代表物体i与物体M间的相对加速度。在这个替代运动系统中，物体i受到的合外力与加速度间的关系为：

                                                     (12)

结合方程(11)和(12)可以得到：

                                        (13)

在方程 (13)中，因为有三个未知数 (M, , R)，所以存在无数的解。也即说明，我们总是可以找到一个假象质点来取代宇宙中所有研究物体之外的其他物体，从而简化宇宙。

3.4马赫原理在质量分布均匀的无限宇宙模型中的应用

通常，我们的宇宙被认为是无边的，物质在其中的分布是均匀的，各向同性的，密度为ρ_U。而且我们的宇宙处于膨胀状态，膨胀速度(以任何一点为原点)遵从哈勃定律：

(14)

其中 是哈勃常数。假设惯性场的传播速度与光速c相同，那么相对运动速率超过光速的物体间的惯性场就不能传播到另一方，从而对彼此的惯性没有影响。因此，对于任意物体都存在一个可视宇宙，半径为：

                                                        (15)在可视宇宙球壳内的物质相对本地的运动速度都小于光速，它们的引力场能够传播到当地，对当地物体的惯性有影响；球面外的物质相对于本地的运动速度大于光速，引力场不能够传播到当地，不会对当地物体的惯性有影响。可视宇宙内的物质对球心处物体的惯性场可以表述为：

                                                 (16)

其中V是可视宇宙的体积。积分方程(16)，我们可以得到球心处的惯性场：

                                                        (17)

其中k是常数，M是可视宇宙内所有物质的质量，R是可视宇宙的半径。

因为我们的宇宙相对于任意一点都是膨胀的。因此宇宙中的任意一点都可以作为宇宙的中心。因此，方程(17)适用于宇宙中的每一点。因此宇宙中的每一点的惯性场都是一个常数。方程(17)还表明，宇宙中任意物体的惯性场主要是由宇宙中遥远星体所诱导产生的，而邻近物体对本地惯性场的影响可以忽略。

4. 修正的运动定律对星系旋转曲线问题和宇宙膨胀现象的解释

4.1 修正运动第二定律对星系旋转曲线问题的解释

“星系旋转曲线”星系中的星体旋转轨道线速度与星体与星系中心距离之间的函数关系曲线，已经被通过对众多的螺旋星系的观测所确定。所有的星系旋转曲线都很相似：它们都从星系的旋转中心开始迅速上升，并且保持平坦(v = constant)直到能被观测到的最远处。它们是通过测量恒星光谱的多普勒效应和中性气体云的21cm 辐射来确定。

人们可以使用开普勒第三定律来确定螺旋宇宙的质量：GM = v²r，其中v是试探质点的旋转线速度，r是它的旋转半径，是轨道内部的物体质量(仅对球对称的质量分布有效)。因为恒星旋转的线速度到最远处一直保持平坦(v = constant)，这个观测结果表明星系的质量是从螺旋宇宙的中心开始一直直线上升直到观测的最远端。

人们还可以通过螺旋星系的发光部分来推测一个宇宙的质量。然而，两种不同的方法推测出来的星系质量具有很大的不符：星系中所有的发光物质的质量仅占不到星系旋转曲线形成所需要的质量的10%。因此，现在人们认为在星系和星系簇中存在大量的暗物质，甚至占到宇宙质量的90%以上。

然而，假设暗物质的存在并不是解决星系旋转曲线的唯一方法。因为上述不符是将引力理论和运动力学理论应用于螺旋星系的运动中，修正引力理论和运动力学理论似乎更是解决这个不符的有效方法[9]。实际上，Milgrom已经在上个世纪八十年代提出了一个修正的牛顿力学(MOND)。在他的理论中，他认为惯性力不是与加速度成正比例，而是一个更为广泛的表达式：

;                     (18)

其中a₀是一个宇宙加速度， 是研究物体相对于宇宙中遥远星体的加速度。 是一个与加速度相关的函数[10]。

在Milgrom的修正运动力学(MOND)中，考察加速度远小于宇宙加速度(a a₀,)的情况，质点m围绕一个物体M做圆周运动时，运动线速度v与运动半径r间的关系。因为质点m运动的向心力是M对它的引力，所以有：

                                      (19)

同时，因为是做圆周运动，加速度与线速度间存在关系：

                                                         (20)

结合方程(19)和(20)，我们得到旋转线速度与半径之间的关系为：

  (21)

方程(21)表明，试探质点旋转的线速度仅与宇宙常数G、宇宙加速度常数a₀和旋转中心物体的质量M有关，与旋转半径r没有关系，这与观测结果基本相符。关于更具体的描述，见参考文献(10-12)。

然而，为什么运动力学要通过这种方式修正呢？Milgrom并没有给出他的这种修正方式的物理依据。这里，我们尝试在我们提出的新的运动力学中去解释星系旋转曲线的问题。

考虑上述圆周运动的情况。假设宇宙中存在一个试探质点(引力质量为m)围绕另一个物体(引力质量为M)做圆周运动，宇宙中其他物体相对于这个运动系统的距离都较远，对试探质点的引力可以直接忽略。宇宙中其他物体在这个运动系统的惯性场为 ，物体M在m处产生的惯性场为 ：

                                                       (22)

因此，在试探质点m处的惯性场为 。因为质点m围绕M做圆周运动，因此：

                                   (23)

m受到的合外力是M对它的引力：

                                                      (24)

根据修正的运动力学，我们可以得到：

                           (25)

如果 , 那么v与旋转半径的关系为：

(26)

方程 (26) 表明，在本地的惯性场主要有遥远星体产生，而受到的引力是有本地的物体产生的情况下，物体旋转线速度 与旋转半径r的平方根成反比，这与我们的太阳系中行星的运动规律是相符的。

相反，如果 ，那么我们得到：

                                                 (27)

方程(27)表明，当本地物体的惯性场主要由附近星体诱导产生，而遥远星系在本地产生的惯性场可以忽略时，那么物体旋转的线速度与旋转半径没有关系，是一个常数。这个结果与观测到的星系旋转曲线刚好相符。

现在，我们的宇宙被认为是无界的，而且各向同性并且质量均匀分布，宇宙中的物质密度为ρ_U, 因此，宇宙中任意点的惯性场都是一个常数，而且主要有宇宙中的可是宇宙内的所有遥远星体所决定(见3.4节)。甚至，一个重球壳宇宙模型被提出，在这个模型中，球壳代表宇宙中的遥远星体，惯性场主要由球壳质量决定，而球壳内的物质的惯性场被直接忽略，球壳内所有物体的运动都是相对于这个球壳而言的。然而，宇宙真如我们所认为的那样是无界的吗？宇宙真的是质量均匀分布的吗？正如上面的研究所述，螺旋星系的旋转曲线表明，星系内的惯性场可能主要是有星系内的物质所决定，而星系外的物质在星系处产生的惯性场可以忽略。也许，我们一直过于高估了星系外的物质对星系内部的惯性场的影响。

可能，一个有限的，质量分布极不均匀的宇宙模型可能更接近真实宇宙。实际上，Roscoe提出了一个离散宇宙模型。在这个离散宇宙模型中，质量分布是极不均匀的。众所周知，宇宙是由星系组成的，但是星系间的距离远远大于星系本身的尺寸，这当然会使得宇宙中的质量部分是不均匀的。

4.2 修正的运动力学对宇宙膨胀机制的解释

因为星体间存在引力，宇宙应该经历加速收缩或者减少膨胀。然而，天文学的观测表明我们的宇宙正在加速膨胀。通常，这种现象被认为是暗示我们的宇宙中存在某种暗能量，这种暗能量通过宇宙常数去推动宇宙的膨胀。

在这里，我们尝试用修正了的牛顿第二定律去解释宇宙加速膨胀的物理机制而不引入所谓的暗能量。

正如3.3节所示，当我们研究复杂宇宙体系中的某物体的动力学状态时，我们可以用一个质点去替代宇宙中的所有其他物体，进而将复杂的宇宙简化为一个简单的二体运动系统。在这个二体运动系统中，正如3.2节所示，动能的表达式为：

(28)

而这个二体系统的引力势能为：

(29)

而这个系统的机械能是动能和引力势能之和：

(30)

结合方程(28)-(30)，我们得到这个二体系统的机械能的表达式：

(31)

如果这个二体系统没有除了引力之外的其他作用力，那么系统的机械能守恒。方程(31)可以改写为：

                                            (32)

对方程 (32)进行微分，可以得到：

                                           (33)

因为k, G, m₁ 和m₂都是常数，所以：

                                                     (34)

方程 (31) 表明，只要宇宙的总机械能大于零，宇宙就会进行加速膨胀，膨胀的加速度与总机械能大小成正比，与质量分布也有关。通过上面的分析，我们可以看出，宇宙之所以会加速膨胀是由于动能是一个与距离有关的函数，两个物体间如果动能维持不变，那么随着距离的增加，它们之间的相对运动速度必然增大。传统的运动力学中的动能表达式为 ，是一个与距离没有关系的量，所以无法解释宇宙加速膨胀的问题。

5. 结论

在前面分析的基础上，我们可以得到如下的结论：

我们通过扩展马赫原理，提出了一个惯性起源的惯性场理论，并用这个理论修正了牛顿运动第二定律；

通过将修正后的牛顿运动第二定律应用于不同的宇宙模型，我们证明：我们的宇宙可以具有旋转角速度；在新的运动力学中，动能和动量都是存在与物体之间的，他们不仅与物体的质量以及相对运动速度有关，而且与物体间的相对距离有关；

这个修正后的牛顿运动第二定律对星系旋转曲线问题和宇宙膨胀现象的提供了新的解释。在星系旋转曲线问题的解释中，我们认为星系中的惯性场是由星系内的物质产生，而星系外的其他物质对星系内的惯性场的贡献可以忽略；提出了一个有限的、质量分布不均的宇宙模型。在解决宇宙加速膨胀现象的问题中，我们证明在修正后的牛顿第二定律中，宇宙会加速膨胀而不需要所谓的暗物质，而这主要是由于动能的表达式改变所引起的。