摘要：趋势分析是经济分析中常用的分析方法，但数据经常会遇到季节因素和随机波动的影响，无法直接发现变动的趋势。移动平均能够有效消除以上两个方面的影响，在趋势分析中是一种非常好的数据处理方法。本文举例说明了移动平均方法的应用，并通过数学证明分析了具有的敏感性和稳健性的特性。

关键词：趋势分析  移动平均  拐点

    趋势分析是经济分析中一种常用的分析方法。趋势分析常用的数据类型为时间序列数据，寻找其拐点对判断未来走势具有重要的意义。时间序列数据尤其是月度或季度数据，经常会受到季节因素和随机波动的影响，数据序列呈现不规则波动，无法准确发现其变动的拐点。通过对序列进行移动平均，一方面可以消除时间序列的随机波动，另外一方面选择合适的移动平均步长则可以消除季节因素的影响。因此，可以使用移动平均方法来进行趋势分析。

一、移动平均方法简介

    移动平均法是一种简单平滑预测技术，它的基本思想是：根据时间序列资料、逐项推移，依次计算包含一定项数的序时平均值，以反映长期趋势的方法。因此，当时间序列的数值由于受周期变动和随机波动的影响，起伏较大，不易显示出事件的发展趋势时，使用移动平均法可以消除这些因素的影响，显示出事件的发展方向与趋势（即趋势线），然后依趋势线分析预测序列的变化趋势。

    移动平均方法可分为简单移动平均和加权移动平均。对于一个时间序列：X₁、X₂、……、X_t，如果进行n期移动平均:

    简单移动平均法：

    http://s12/middle/66239fdbtc860c8e258bb&690

     ……

    http://s15/middle/66239fdbtc860c8f2323e&690
   
    加权移动平均法：

    http://s2/middle/66239fdbtc860c8ec4261&690

    ……

    http://s8/middle/66239fdbtc860c8f2b4f7&690
   

    其中：http://s13/middle/66239fdbtc860c90164bc&690
   

    如果没有特殊要求，一般采用简单移动平均即可。

二、应用示例

    图1为某地区外资直接投资的月度数据。从原始数据看，投资呈现明显的随机波动和季节波动，我们无法从原始数据中看出任何变动趋势。为了消除随机波动和季节因素的影响，我们的原始数据进行移动平均处理。因为是月度数据，我们选择移动平均的步长n为12，可以完全消除季节波动的影响。调整后的序列见图2。

http://s15/middle/66239fdbtc860c922baae&690

图1 某地区外资投资数据（示例）

    相对图1，图2数据序列更加平滑，且呈现出明显的趋势性。可以发现，受金融危机的影响，2008年开始外资投资呈现明显下降趋势，到2009年9月份达到谷底后开始出现回升，于2011年6月达到新的高点后重新进入下降通道，目前仍保持下降态势。
 

http://s12/middle/66239fdbtc860c94db6eb&690

图2 移动平均处理后的某地区外资投资数据（示例）

三、移动平均方法的特性分析

    对于一种统计方法，我们希望处理后的数据能够不改变原有数据的发展趋势，即当原始数据序列发生变化时，新的数据序列能够体现这一趋势。同时，新的数据序列能够有效剔除原有的噪声，新的数据序列更加平稳。这要求新的数据序列既要保证原始数据的敏感性，同时具有稳健性。
   

    我们对移动平均后新的序列进行分析：
   

    http://s4/middle/66239fdbt7a7014218263&690
           http://s6/middle/66239fdbtc860c9592db5&690
   

    如果n为12，则X_i与X_i-n的时间差为一年，即当原始序列中某个月的数据相对一年前的变动趋势和上个月相对一年前的变动趋势出现反转时，处理后新的数据序列同样会出现拐点，即新数据序列保持了原有数据序列的趋势性。

    假定X_i之间相互独立，且服从方差为http://s2/middle/66239fdbtc860c9770821&690的方差为 http://s8/middle/66239fdbtc860c8e37c07&690，为原数据序列的1/n，这表明新的序列波动更小，表现会更加稳健。

    当然，移动平均也存在缺陷。一是移动平均降低了波动的幅度，会低估原始数据的波动程度；二是移动平均会降低原始数据的记录数，对历史数据记录条数有更高的要求。