自然数的整数次幂求和公式

作者：曹恒轩

整数包括正整数、零和负整数，正整数和负整数都是整数.

自然数包括0和正整数。本文中探讨非零且大于等于2的自然数的情形。

在这篇文章中，n∈N，N为自然数，笔者用n表示正整数，以（-n）表示负整数.(-n)、0、n共同组成整数.

∑a的n次方幂=[1/（a-1）]·[a的（n+1）次幂-1]=[a的（n+1）次幂-1]/（a-1）.………………（1）

其中，a为自然数，且a≥2，a∈N，N表示自然数.n的取值范围为n=0（特殊情况）和n=1至(+∞).

即∑a的n次方=a的0次幂+a的1次幂+a的平方+……+a的n次幂=[a的（n+1）次幂-1]/（a-1）.

∑a的n次幂=a的1次方+a的平方+a的立方+……+a的n次幂={[a的（n+1）次幂-1]/（a-1）}-1

          =[a(a的n次幂-1)]/(a-1)  =[a/(a-1)]·（a的n次幂-1）.………………………………（2）

其中，a∈N，且a≥2，n∈N，表示自然数，n的取值范围为[1，+∞）.

∑a的(-n)次幂=a的(-1)次幂+a的(-2)次幂+a的(-3)次幂+……+a的（-n）次幂

           =1/a+1/a的平方+……+1/a的n次幂=（a的n次幂-1）/[（a-1）·（a的n次幂）].……（3）

其中，a∈N，且a≥2，n∈N，N为自然数，-n即为负整数，n的取值范围为[1，∞），-n范围为（-∞，-1].

(1)式表示a为大于等于2的自然数时,n为0和正整数时的求和公式；

(2)式表示a为大于等于2的自然数时,n为正整数时的求和公式；

(3)式表示a为大于等于2的自然数时,(-n)为负整数时的求和公式.

注释:自然数的整数次幂求和公式可分为a=1时和a≥2两种情况讨论.

    第一种情况,当a=1时,∵1的任何整数次方都等于1,

    ∴∑1的n次幂在区间[1,+∞)范围内其总和值为n；

      ∑1的n次幂在区间[0，+∞）范围内其总和为1+n；

      ∑1的（-n）次幂在区间（-∞，-1]范围其总和为n.

      由上述讨论可知在区间(-∞,+∞)范围∑1的整数次幂其总和为(2n+1).其中，n∈N.

    第二种情况,当a≥2时,在整数的不同区间其求和公式即为(1)式、（2）式和（3）式.

      读者朋友可分别不同的情况和不同的取值范围,代入具体的数值去分析和检验.其中,

      a可以代入大于等于2的任意自然数,n可以是全体整数中的任意整数.

说明:整数和自然数的幂运算问题在纯数学和数论中始终是一个十分重要的问题.

     由于在排版系统中未能找到相应的数学符号,因而只好用语言形式来表述.

（本文作者：曹恒轩，1990年毕业于南开大学经济学系，现为山西经济出版社编辑。

  已编辑出版80多种图书。已发表学术论文和科普文章60多篇，并曾多次获奖。）