莫尔—库伦理论

1.       土中某点的应力状态

    我们先来研究土体中某点的应力状态，以便求得实用的土体极限平衡条件的表达式。为简单起见，下面仅研究平面问题。

在地基土中任意点取出一微分单元体，设作用在该微分体上的最大和最小主应力分别为σ₁和σ₃。而且，微分体内与最大主应力σ₁作用平面成任意角度α的平面mn上有正应力σ和剪应力τ［图1（a）］。

 

（a）                       （b）

图1 土中任意一点的应力

（a）微分体上的应力；（b）隔离体上的应力

为了建立σ_、τ与σ₁和σ₃之间的关系，取微分三角形斜面体abc为隔离体[图1（b）]。将各个应力分别在水平方向和垂直方向上投影

根据静力平衡条件得

     

联立求解以上方程(a)、(b)，即得平面mn上的应力

                                  

由材料力学可知，以上σ_、τ与σ₁和σ₃之间的关系也可以用莫尔应力圆的图解法表示，即在直角坐标系中（图2）以σ为横坐标轴．以

 

图2 用莫尔应力圆求正应力和剪应力

τ为纵坐标轴，按一定的比例尺，在σ轴上截取OB＝σ₃，OC＝σ₁，以O₁为圆心，以(σ₁-σ₃)／2为半径，绘制出一个应力圆。并从O₁C开始逆时针旋转2α角，在圆周上得到点A。可以证明，A点的横坐标就是斜面mn上的正应力σ，而其纵坐标就是剪应力τ。事实上，

可以看出，A点的横坐标为

 

而A点的纵坐标为

 

2.       土的极限平衡条件——莫尔—库伦破坏准则

    为了建立实用的土体极限平衡条件，将土体中某点的莫尔应力圆和土体的抗剪强度与法向应力关系曲线(简称抗剪强度线)画在同一个直角坐标系中，这样，就可以判断土体在这一点上是否达到极限平衡状态。

由前述可知，莫尔应力圆上的每一点的横坐标和纵坐标分别表示土体中某点在相应平面上的正应力σ和剪应力τ，如果莫尔应力圆位于抗剪强度包线的下方[图3（a）]即通过该点任一方向的剪应力τ都小于土体的抗剪强度τ_f，则该点土不会发生剪切破坏，而处于弹性平衡状态。若莫尔应力圆恰好与抗剪强度线相切[图3（b）]，切点为B，则表明切点B所代表的平面上的剪应力τ与抗剪强度τ_f相等，此时，该点土体处于极限平衡状态。

 

（a）                         （b）

图3 莫尔应力圆与土的抗剪强度之间的关系

（a）土处于弹性平衡状态；（b）土处于极限平衡状态

根据莫尔应力圆与抗剪强度线相切的几何关系，就可以建立起土体的极限平衡条件。

下面，我们就以图4中的几何关系为例，说明如何建立无粘性土的极限平衡条件

 

图4 无粘性土极限平衡条件推导示意图

               （2）

土体达到极限平衡条件时，莫尔应力圆与抗剪强度线相切于B点，延长CB与τ轴交于A点，由图中关系可知

OB=OA

再由切割定理，可得

 

在△AOC中，有

 

 

因此，

又由于，

所以，有

                （3）

对粘性土和粉土而言，可以类似地推导出其极限平衡条件，为

     （4）

这可以从图5中的几何关系求得。作EO平行BC，通过最小主应力σ₃的坐标点A作一圆与EO相切于E点，与σ轴交于I点。

 

图5 粘性土与粉土极限平衡条件推导示意图

由前可知

下面找出IG与c的关系（G点为最大主应力坐标点）。

由图中角度关系可知△EBD为等腰三角形，ED=BD=c， ，则有

在△GIF中

 

而且        OG=OI+IG

所以       

同理可以证明

    （5）

还可以证明

                                                      （6）

由图4的几何关系可以求得剪切面(破裂面)与大主应力面的夹角关系，因为

                       （7）

所以               
                                            （8）

即剪切破裂面与最大主应力 作用平面的夹角为 （共轭剪切面)。

由此可见，土与一般连续性材料(如钢、混凝土等)不同，是一种具有内摩擦强度的材料。其剪切破裂面不产生于最大剪应力面，而是与最大剪应力面成 的夹角。如果土质均匀，且试验中能保证试件内部的应力、应变均匀分布，则试件内将会出现两组完全对称的破裂面（图6）。

图6 土的破裂面确定

式（2）至式（8）都是表示土单元体达到极限平衡时（破坏时）主应力的关系，这就是莫尔—库伦理论的破坏准则，也是土体达到极限平衡状态的条件，故而，我们也称之为极限平衡条件。

理论分析和试验研究表明，在各种破坏理论中，对土最适合的是莫尔—库伦强度理论。总结莫尔—库伦强度理论，可以表述为以下三个要点：

(1)剪切破裂面上，材料的抗剪强度是法向应力的函数，可表达为

 

(2)当法向应力不很大时，抗剪强度可以简化为法向应力的线性函数，即表示为库伦公式

  

（3）土单元中，任何一个面上的剪应力大于该面上土体的抗剪强度，土单元体即发生剪切破坏，用莫尔—库伦理论的破坏准则表示，即为式（2）至式（8）。