找等量关系列方程解应用题

广东省清新县浸潭镇第一初级中学　朱熠

方程指的是“含有未知数的等式”。列方程就是要根据题目的意思，设好相关的未知数之后，写出一个含有未知数的等式出来。

则列方程解应用题的关键是——找出相等关系，找出了相等的关系，方程也就可以列出来了．找等量关系常见方式有：

一、抓关键词、句找等量关系

关键词、句包括一般和差关系或倍数关系等，常用“一共有”、“比……多”、“比……少”、“是……的几倍”、“是……的几分之一”等关键词、句．在解题时可抓住这些关键词、句去找等量关系，按叙述顺序来列方程。

例1：1.某数的三分之一比这个数小1，求这个数。

 2.某数的3倍比这个数的一半大2,求这个数。

 

 

3.一班有48人，在某一次捐款活动中，男生平均每人捐款5元，女生平均每人捐款8元，全班一共捐款285元。问男生有多少人？

 

 

二、借助表格找等量关系

若题目较复杂，不易寻找等量关系时，可先依据所求，设出未知数，再综合已知条件，把握数量关系，分别填入表格中，则等量关系不难得出.

例2  某医院利用甲、乙两种原料为病人配制营养品.已知每克甲原料含0.6单位蛋白质和0.08单位铁质，每克乙原料含0.5单位蛋白质和0.04单位铁质，如果病人每餐需34单位蛋白质和4单位铁质，那么每餐甲、乙两种原料各多少克恰好满足病人的需要？

    分析：设每餐需甲原料 

克，乙原料 克，依据条件，则有下表：




 

 

 

 

显然，本题存在下列两个等量关系：①甲原料蛋白质含量＋乙原料蛋白质含量=34；②甲原料铁质含量＋乙原料铁质含量=4.

解：设每餐需甲原料 克，乙原料 克.根据题意，

得 

解得 
答：每餐需甲原料

40克，乙种原料20克.

评注：当问题中的数量关系比较隐含时，可考虑用列表的形式进行对比分析，这样可使等量关系一目了然.

例3 某日小伟和爸爸在超市买12袋牛奶24个面包花了64元.第二天他们又去超市时，发现牛奶和面包均打八折，这次他们花了60元却比上次多买了4袋奶3个面包.求打折前牛奶和面包的单价？

分析：设打折前牛奶的单价为x元，面包的单价为y元.可列表如下

并根据上表可得方程组 

解：略.

评注：列表法是指将题目中数量及其关系填在表格内,再据此逐层分析,找到各量之间的内在相等关系,列出方程（组）的方法.列表时分类整理排列，条理清晰，优点明显.尤其对于题目较为复杂，等量关系较为隐蔽的题目效果较好.

三、根据常见的数量关系找等量关系

最常见的数量关系：

1.和差倍分问题

增长量＝原有量×增长率     现在量＝原有量＋增长量

2.市场经济问题

 （1）单价×数量＝总价(总价÷单价＝数量 总价÷数量＝单价)

（2）商品利润＝商品售价－商品成本价 

（3）商品利润率＝ ×100%

（4）商品销售额＝商品销售价×商品销售量

（5）商品的销售利润＝（销售价－成本价）×销售量

（6）商品打几折出售，就是按原标价的百分之几十出售，即“打几折=原价×百分之几十”，如商品打8折出售，即按原标价的80%出售．

3．行程问题：路程＝速度×时间   时间＝路程÷速度  速度＝路程÷时间

  （1）相遇问题：  快行距＋慢行距＝原距

  （2）追及问题：  快行距－慢行距＝原距

  （3）航行问题：顺水（风）速度＝静水（风）速度＋水流（风）速度

                 逆水（风）速度＝静水（风）速度－水流（风）速度

   抓住两码头间距离不变，水流速和船速（静不速）不变的特点考虑相等关系．

4．工程问题：工作效率×工作时间＝工作总量 

(工作总量÷工作效率＝工作时间 工作总量÷工作时间＝工作效率)

    完成某项任务的各工作量的和＝总工作量＝1

5．储蓄问题

   利润＝ ×100%     利息＝本金×利率×期数

6.增长后的量=原量(1+增长率)   降低后的量=原量(1-降低率)

例4： 1.某商品八折以后再降价10元卖出，仍旧赚了20元。已知该商品成本为50元，求原价。

2.某商品进价为200元，按标价的九折卖出后，利润率为35%，求标价。

3.2010年某市人均耗电量为45度，比2009年人均耗电量减少了10%，求2009年该市的人均耗电量。

四、根据常用的计算公式找等量关系

最常用的计算公式有：

1.正方形周长＝边长×4             正方形面积=边长×边长=(边长)2 

2.长方形周长=(长+宽)×2           长方形面积=长×宽 

3.三角形面积=(底×高)÷2         梯形面积=(上底+下底)×高÷2 

4. 圆形周长= ×直径=2 ×半径     圆形面积= ×(半径)2 

例：1.长方形的周长为60米，已知长是宽的1.5倍，求它的面积。

 

 

2.三角形面积是20，底边长为8，求高。

 

 

3.梯形的下底比上底多2米，高5米，面积为40平方米。求梯形上底。

 

五、画图分析找等量关系

根据题意画出图形分析图或者是表格分析图，从中找出相关等量列方程。

例：1.某农场有400公顷小麦，前三天每天收割70公顷小麦，剩下的要在2天内收割完，平均每天要收割小麦多少公顷？

 

 

2.快车与慢车分别从相距200千米的甲、乙两地出发，已知快车的速度比慢车速度的2倍还要多20千米/时。

（1）若两车同时出发，相向而行，1小时后相遇，求两车的速度。

（2）若两车同时出发，同向而行，2.5小时之后相遇，求两车的速度。

（3）若慢车在前面先出发2小时，两车同向而行，4小时之后相遇，求两车速度。

 

 

3.快马一天走240里，慢马一天走150里。慢马先走了12天后快马才出发，问快马出发后多少天可以追上慢马？

 

4.A、B两地相距1250千米，一汽车从A地出发前往B地，匀速行驶5小时后，提速20千米/时；又匀速行驶5小时后，再提速20千米/时；又匀速行驶了5小时，减速10千米/时；然后匀速行驶了5小时后，到达B地。问最初汽车的速度。

 

5.环形跑道一圈为400米。甲练习自行车，速度为350米/分钟，乙练习跑步，速度为250米/分钟。两人同时同地出发。

（1）若两人反向而行，出发后何时两人首次相遇？何时再次相遇？

（2）若两人同向而行，出发后何时两人首次相遇？何时再次相遇？

 

六、抓不等量找等量关系 

    常见几何图形的面积、体积、周长计算公式，依据形虽变，但体积不变．

    ①圆柱体的体积公式       V=底面积×高＝S·h＝ r2h

    ②长方体的体积           V＝长×宽×高＝abc

七．数字问题找等量关系

    一般可设个位数字为a，十位数字为b，百位数字为c．

    十位数可表示为10b+a， 百位数可表示为100c+10b+a．

    然后抓住数字间或新数、原数之间的关系找等量关系列方程．

例：1.一个两位数，已知其十位上的数字比个位上的数字大2，若将其十位上的数字与个位上的数字对调，则得到的新的两位数比原两位数小18，求原两位数。

 

八、通过隐含信息找等量关系

1.三角形三个内角的度数之比恰好为1:3:5，求每一个内角的度数。