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Thurston几何化猜想

(2011-01-10 18:54:15)

标签：

杂谈

分类：数学科普读物

Riemann 对几何的认识适用于任何微分流形：我们总可以给微分流形赋予一个 Riemann度量，从而研究上面的几何。Klein 的观点就不是那么普适了，因为 Klein 意义下的几何对度量的要求非常特殊，并不是所有的流形上都能有这样的几何。不过二维曲面上都可以有 Klein 式的几何，这就是 Riemann, Klein, Poincar’e, Koebe 等人所证明的单值化(uniformization)定理的内容。举例子说，在可定向闭曲面里，S^2上当然是球面几何，T^2上则可赋予欧氏几何，双环面等更复杂的曲面上可以有双曲几何。三维以上就没有这么好运了，Thurston的天才创见就在于：提出了单值化定理在三维情形的类比---Thurston 的几何化猜想(geometrization conjecture)。 Thurston 本人对 Haken流形证明了他的猜想，这已经涵盖了绝大多数情形。但他的证明相当艰深，强烈地依赖于几何直观。Thurston 本人只是在 Princeton 的课堂上讲授这一证明，并将未正式出版的讲义在圈内散发。光直接向他索要讲义的就超过一千人，间接复印的则更多，可见他的工作影响之巨。Thurston 后来也曾经想正式发表他的证明。他计划写一系列共7篇文章，第一篇于1981年投出，1986年才得以发表，可见其艰深晦涩。第二篇只有手稿在圈内流传，后面的几篇甚至根本没有出现。Thurston 本人曾说，他对三维流形的感觉是写不出来的。这种述而不作的态度引来包括 J. P. Serre 在内的一些推崇严格论证的数学家的批评。但这并没有妨碍 Thurston 获得1983年的 Fields 奖。数学当然需要严格性，但像 Thurston 这样直觉远超乎常人的天才人物，根本无必要把精力放在琐碎细节的验证上。这些体力活自然有很多人抢着替他干，其中包括许多卓有成就的数学家。像 John Morgan 就曾给出 Haken 流形的几何化定理的较严格的不完全证明McMullen 以别的方法也给过严格证明。同样的事情也发生Thurston 其余的几个重要定理上。直至今日，他那些未严格证明的定理还成为不少人论文的源泉。需要指出，在几何化猜想之前，Thurston 已经因为他在三维流形上的foliation方面的工作获得几何、拓扑方面的最高奖 Veblen 奖。而且他的文风一直以简洁清晰著称，这使他在圈内获得良好的声誉。所以如果你只是一个初出茅庐的毛头小伙，你就必须做一些非常实实在在的工作以立足；只有当你成为 Thurston, Gromov 那样的大师时，你才有资格指点江山、勾画蓝图，而把具体工作留给别人去做。Thurston 几何化猜想可以直接推出 Poincar’e 猜想，最近对 Poincar’e 猜想的突破就从这里开始。但 Thurston 工作的重要性并不光是能推出 Poincar’e 猜想。因为 Poincar’e 猜想只是流形分类中遇到的一个特殊问题，而 Thurston描述出了对所有三维流形进行分类的大纲。而且他把低维拓扑与古典几何(尤其是双曲几何)、Kleinian群、李群、复分析、动力系统等许多数学分支联系到了一起。在他之前，低维拓扑虽然也做得很热闹，也有 Milnor 等大人物涉足其中，但毕竟只是拓扑里一个偏僻的分支，引不起非拓扑学家的兴趣。 Thurston 等人的工作之后，低维拓扑才迅速在数学里占据了核心地位，引起广泛关注。要想彻底证明 Thurston 的几何化猜想，传统的几何、拓扑方法已经无能为力了，需要发展新的方法。1982年，Richard Hamilton (并非那位特别有名的19世纪爱尔兰数学家 Sir William Rowan Hamilton) 在中提出了 Ricci flow 的概念，给几何化猜想带来一丝曙光。１。这项工作是朱熹平过去半年（Sep. 2005 - Mar. 2006) 受丘成桐（Shing-Tung Yau之邀访问Harvard 大学期间作出的。

２。最主要的贡献仍是Hamilton和Perelman的。该项工作是补大漏洞。G.Perelman 在 R. Hamilton 等工作的基础上，对完成整个庞加莱猜想作出了原创性突破（主要是在neckpinch singularity 和其它singularities)，但Perelman的工作存在着较大和较多的漏洞(gaps)。且其中确有一些错误（现已补好）其中一个最大的漏洞是如何能在“有限时间”内完成几何切割。其实过去每四年出现一次的由几何拓扑家给出的错误证明都错在此。 G.Perelman 本人看样子是知道这些漏洞的,因为
a. 他没有大声的宣布而是很小声的说（whispered）他解决了几何化猜想（包含庞加莱猜想），且他选择在公布他的工作不久出来演讲，因其时大家还提不出实质性的问题，他从那后不出来，并拒绝任何演讲邀请拒绝回答问题，现在大家都在等着问他问题。还未看朱熹平，曹怀东的证明，估计是他们补全了Perelman的证明漏洞(gaps)，特别是 “有限时间内完成几何切割”。如是，本身将是较大的成就。
b. 他只在预印本网站公布了他的文章未投稿，所以他可以避免回答审稿人问题。
３。庞加莱猜想、Thurston几何化猜想拓扑分类的Ricci流证明将是丘成桐（Shing-Tung Yau）等创立的“几何分析”的最大成就之一。丘他本人最早意识到Ricci流的重要性，（比如在Hamilton 创立 Ricci流之初（１９８２）令他的几个中国学生跟Hamilton学，向Hamilton建议引进几何切割来解决拓扑分类等），在 Hamilton１９９７关于几何切割的文章发表后，Hamilton方案的可行性已比较清楚了，他确实是在１９９７年说过解决问题时机已成熟并大力推动过相关研究.

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