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(2010-11-21 23:25:07)
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谈2011年广东高考数学复习
华南师大附属中学
“以铜作镜，可以正衣冠；以史作镜，可以知兴替；以人作镜，可以知得失”。我们要进行高考备考就要以史作镜、面向未来，只有知道高考考什么内容？怎样评分？学生问题在什么地方？才能更好的采取策略取得成效。要知道高考考什么需要“听其言、观其行”，听其言就是学习大纲，观其行就是分析高考题。怎样评分就要参与改卷、了解评分标准。学生的问题就是要看学生对问题的反应、解答问题的过程。高考复习的指导思想可界定为：依纲靠本，以考试规律为指导，以近几年高考命题的稳定风格为导向；以解题训练为中心，以中档综合题为重点，以近几年高考试题为基本素材。
一、近几年广东高考数学试卷总体特点
每年的高考试题是按照“保持整体稳定，推动改革创新，立足基础考查，突出能力立意”命题指导思想，坚持“有利于高校选拔人才，有利于中学素质教育，有利于扩大高校办学自主权”的高考改革原则，努力体现“整体保持稳定，坚持锐意求新”的命题思路。
1. 立足基础，由易到难，突出主干
整卷平稳简洁，新巧适度，知能并重，选择题简洁平稳，填空难度适中，解答题层次分明，新旧知识相互融合。坚持从基础知识，基本方法，重点内容出发编制试题，有利于稳定考生的情绪。6道解答题中，均以多问的形式出现，其中第一问相对较易，大多数考生都能够顺利完成;后两题多在函数、数列与不等式结合上编制，从第二问难度增大，灵活性较强，对知识迁移和应用知识解决实际问题的能力要求较高，给个性品质优秀、数学学科能力优异的考生留有较大的展示空间。
2. 全面考查、突出重点、注重能力
数学试卷的选择题和填空题主要围绕“双基”设计，注意所学知识的全面考查。解答题在形式上有所创新，知识、解法上比较传统，数学思想有所弱化。
3. 注重通法、淡化技巧
数学卷突出考查常规方法和通性通法，淡化特殊技巧，体现了以知识为载体，以方法为依托，以能力为考查目的的命题指向。
4、试卷难度逐年降低，平均分逐年提高。
二、近几年广东高考数学试卷知识分布及题型分析
（一）广东06-10年高考解答题考点分布
|
|
06 |
07 |
08（文） |
08（理） |
09（文） |
09（理） |
10（文） |
10（理） |
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1 |
三角函数图象性质、求值 |
解三角形 |
三角函数解析式，求值 |
三角，同文科1 |
向量三角求值 |
向量三角求值 （有变化） |
三角函数 图象性质 求值 |
三角函数 图象性质 求值 |
|
2 |
概率统计、分布列、期望 |
统计 线性回归方程 |
函数应用
y=ax+b/x
|
分布列 期望 |
立几三视图证明垂直 |
统计、概率 |
统计、概率 |
统计、分布列、概率 |
|
3 |
立体几何、二面角、线线角 |
椭圆 存在性问题 |
立几四棱锥（相似形），求体积 |
解几，同文科5 |
茎叶图、方差、概率 |
立几垂直、异面线角 |
立几垂直、点面距离 |
立几垂直、二面角 |
|
4 |
函数（三次）、极值、对称 |
立体几何 体积、最值、线线角 |
统计，概率 |
分段函数单调性求导，分类讨论 |
解几求椭圆与圆关系 |
解几求轨迹、两曲线 |
应用线性规划 |
同文科 |
|
5 |
数列 |
二次函数根的分布与不等关系
|
椭圆 抛物线 |
立几线面角，成比例求面积 同文3 |
函数、数列递推、不等式 |
函数、极值、零点（同文21） |
函数含参数性质、最值 |
解几求方程、讨论参数 |
|
6 |
函数（抽象）与不等式 |
二次函数、数列与不等关系、导数 数列求和 |
递推数列求通项，求和 |
递推数列求通项，求和 （姐妹题） |
函数、极值、零点 |
圆、递推数列、不等式证明 |
解几、数列、不等式 |
函数、方程、绝对值应用 |
|
新增内容 |
9线性规划 |
6程序框图 |
11统计 12线性规13程序框图 |
3抽样 4线性规划 9程序框图 |
11程序框图 12抽样 |
9框图 12分布列 |
11程序框图 12线性相关
|
13程序框图 |
（二）对照近几年的高考题我们看到以下趋向
1、
2、
3、
4、结合具体题目可看出：考试内容的多少与课时相当，考试重点与教材和大纲的重点要求有些不统一。（考题服务于教材，分数服务于社会）
（三）高考题示例及启示
(08文5)．已知函数http://10.9.36.5/2008/SubjectGroup/BlogFile/5fbc5321b5e343b49523d727c8954db5/9bfd676c876f4d0b832fc2b3695794cb.002.png是（
A．最小正周期为http://10.9.36.5/2008/SubjectGroup/BlogFile/5fbc5321b5e343b49523d727c8954db5/9bfd676c876f4d0b832fc2b3695794cb.003.png的奇函数
C.
最小正周期为http://10.9.36.5/2008/SubjectGroup/BlogFile/5fbc5321b5e343b49523d727c8954db5/9bfd676c876f4d0b832fc2b3695794cb.004.png的奇函数
公式反用，半角公式Sin2x= (1-cos2x)
（08文21）. (本小题满分14分)设数列http://10.9.36.5/2008/SubjectGroup/BlogFile/5fbc5321b5e343b49523d727c8954db5/9bfd676c876f4d0b832fc2b3695794cb.009.png是非零整数,且对任意的正整数m 和自然数k，都有http://10.9.36.5/2008/SubjectGroup/BlogFile/5fbc5321b5e343b49523d727c8954db5/9bfd676c876f4d0b832fc2b3695794cb.010.png
递推数列大纲上未说，人教版上有一题。
（2010文）21.（本小题满分14分）已知曲线http://10.9.36.5/2008/SubjectGroup/BlogFile/5fbc5321b5e343b49523d727c8954db5/9bfd676c876f4d0b832fc2b3695794cb.020.png，
（1）
（2）
（3）
证明:http://10.9.36.5/2008/SubjectGroup/BlogFile/5fbc5321b5e343b49523d727c8954db5/9bfd676c876f4d0b832fc2b3695794cb.021.png,(s=1,2,3,…).
绝对值不等式大纲上没有。
启示：复习中不要忽略的问题
1、
2、
3、大纲“边缘”问题要注意，也可以出现一些被认为超纲的问题。文科不考绝对值不等式，并不意味着：不考形式为绝对值的不等式，但可用绝对值定义解决的问题。文科不考不等式证明，但作为不等式性质学习高考照考不误。
4、大纲对递推数列的要求规定为：了解递推公式是给出数列的一种方法，并能根据递推公式写出数列的前几项，但近几年的高考题在此是重头戏。
5、不等式的放缩证明文理科都要加强，特别注意求和式子的不等式，以及和式符号http://10.9.36.5/2008/SubjectGroup/BlogFile/5fbc5321b5e343b49523d727c8954db5/9bfd676c876f4d0b832fc2b3695794cb.022.png的认识。
三、学生答卷及评分分析
2010广东高考数学(理科)18题评分细则
18、（本小题满分14分）
http://10.9.36.5/2008/SubjectGroup/BlogFile/5fbc5321b5e343b49523d727c8954db5/9bfd676c876f4d0b832fc2b3695794cb.023.png
如图5，弧http://10.9.36.5/2008/SubjectGroup/BlogFile/5fbc5321b5e343b49523d727c8954db5/9bfd676c876f4d0b832fc2b3695794cb.035.png.
（2）已知点http://10.9.36.5/2008/SubjectGroup/BlogFile/5fbc5321b5e343b49523d727c8954db5/9bfd676c876f4d0b832fc2b3695794cb.041.png所成二面角的正弦值.
第一问解法
证明：
(注: 三个条件不完整的不扣分.)
∵http://10.9.36.5/2008/SubjectGroup/BlogFile/5fbc5321b5e343b49523d727c8954db5/9bfd676c876f4d0b832fc2b3695794cb.050.png
∵http://10.9.36.5/2008/SubjectGroup/BlogFile/5fbc5321b5e343b49523d727c8954db5/9bfd676c876f4d0b832fc2b3695794cb.054.png(注:
此处“http://10.9.36.5/2008/SubjectGroup/BlogFile/5fbc5321b5e343b49523d727c8954db5/9bfd676c876f4d0b832fc2b3695794cb.056.png”，不扣分.)
∴http://10.9.36.5/2008/SubjectGroup/BlogFile/5fbc5321b5e343b49523d727c8954db5/9bfd676c876f4d0b832fc2b3695794cb.057.png-------------------------------------- --------------------8分
第二问解法—解析方法一
解：如图，以http://10.9.36.5/2008/SubjectGroup/BlogFile/5fbc5321b5e343b49523d727c8954db5/9bfd676c876f4d0b832fc2b3695794cb.060.png的垂线，建立空间直角坐标系，--------------------------------------- -----------------------------1分
(注: 若在答卷上正确地画出坐标系, 文字说明不完整, 或无文字说明, 不扣分；
若建立大的是左手系，不扣分；若建立的不是直角坐标系，余下计算不超过1分)
http://10.9.36.5/2008/SubjectGroup/BlogFile/5fbc5321b5e343b49523d727c8954db5/9bfd676c876f4d0b832fc2b3695794cb.065.png
∵http://10.9.36.5/2008/SubjectGroup/BlogFile/5fbc5321b5e343b49523d727c8954db5/9bfd676c876f4d0b832fc2b3695794cb.069.png
∴http://10.9.36.5/2008/SubjectGroup/BlogFile/5fbc5321b5e343b49523d727c8954db5/9bfd676c876f4d0b832fc2b3695794cb.074.png------------2分
(注: 若http://10.9.36.5/2008/SubjectGroup/BlogFile/5fbc5321b5e343b49523d727c8954db5/9bfd676c876f4d0b832fc2b3695794cb.075.png计算错误, 但 http://10.9.36.5/2008/SubjectGroup/BlogFile/5fbc5321b5e343b49523d727c8954db5/9bfd676c876f4d0b832fc2b3695794cb.078.png之一正确, 给1分)
∴http://10.9.36.5/2008/SubjectGroup/BlogFile/5fbc5321b5e343b49523d727c8954db5/9bfd676c876f4d0b832fc2b3695794cb.082.png（也可以写成 http://10.9.36.5/2008/SubjectGroup/BlogFile/5fbc5321b5e343b49523d727c8954db5/9bfd676c876f4d0b832fc2b3695794cb.083.png等）---------------------- ---------3分
∵平面http://10.9.36.5/2008/SubjectGroup/BlogFile/5fbc5321b5e343b49523d727c8954db5/9bfd676c876f4d0b832fc2b3695794cb.085.png--------------------------- -----------4分
∴http://10.9.36.5/2008/SubjectGroup/BlogFile/5fbc5321b5e343b49523d727c8954db5/9bfd676c876f4d0b832fc2b3695794cb.086.png------------------- -----------------------------------5分
http://10.9.36.5/2008/SubjectGroup/BlogFile/5fbc5321b5e343b49523d727c8954db5/9bfd676c876f4d0b832fc2b3695794cb.087.png
∴http://10.9.36.5/2008/SubjectGroup/BlogFile/5fbc5321b5e343b49523d727c8954db5/9bfd676c876f4d0b832fc2b3695794cb.088.png
∴平面http://10.9.36.5/2008/SubjectGroup/BlogFile/5fbc5321b5e343b49523d727c8954db5/9bfd676c876f4d0b832fc2b3695794cb.089.png-------------- ----6分
以下将第二问的证明分解为两个步骤：
第一步: 确定二面角的平面角（3分）；
第二步: 解斜三角形 (3分)。
确定二面角的平面角—综合方法一
∵http://10.9.36.5/2008/SubjectGroup/BlogFile/5fbc5321b5e343b49523d727c8954db5/9bfd676c876f4d0b832fc2b3695794cb.039.png
∴http://10.9.36.5/2008/SubjectGroup/BlogFile/5fbc5321b5e343b49523d727c8954db5/9bfd676c876f4d0b832fc2b3695794cb.041.png的交线. -------------- ----------1分
∴http://10.9.36.5/2008/SubjectGroup/BlogFile/5fbc5321b5e343b49523d727c8954db5/9bfd676c876f4d0b832fc2b3695794cb.098.png---------------- --------------------------------2分
∴http://10.9.36.5/2008/SubjectGroup/BlogFile/5fbc5321b5e343b49523d727c8954db5/9bfd676c876f4d0b832fc2b3695794cb.041.png所成二面角的平面角. ----- -------3分
评分分析
1、
2、
3、
cos2a
=1-2sin2a
Û= |sin|
四、学生的主要问题及解决策略
学生的主要问题是：“会而不对，对而不全”，要“综合治理”达到“会而对、对而全、全而优”
1、应该查缺补漏，加强双基，强调概念的实质性理解，强调技能的灵活运用，强调知识的结构优化
（① 单位统一才运算；② y=sina +cosa 与y=sina图像关系）
2、注重逻辑知识，特别是充要条件、四种命题、反证法等一定要在逻辑上搞清楚。（“a≤0”是“http://10.9.36.5/2008/SubjectGroup/BlogFile/5fbc5321b5e343b49523d727c8954db5/9bfd676c876f4d0b832fc2b3695794cb.100.png≥0”的_______条件。）
3、解题训练要加强策略意识的培养，不仅要有思路，而且还要有更科学的思路，多一步解题长度就多一个犯错误的机会。
例：已知二次函数 f (x) = a x 2 + bx（a、b 为常数，且 a ≠ 0），满足条件 f (1 + x) = f (1－x)，且方程 f (x) = x 有等根，
（1）求 f (x) 的解析式；f(x)=-x2+x, ymax=
（2）是否存在实数 m、n（m < n），使 f (x) 的定义域和值域分别为 [m,n] 和 [3m,3n]，如果存在，求出 m、n 的值，如果不存在，说明理由。m=-4,n=0
4、考场上遇到会做的题目，要特别注意表达的准确、考虑的周密、书写的规范、语言的科学，力争做到“会则对，对则全”
5、注意复查环节
6、注意考前心理调节和考场心理的辅导
五、三阶段高考复习
第一阶段：系统整理知识，优化知识结构，使学生做到“三抓四过关”
（1）
1、
2、
3、
（2）
1、
2、
3、
4、
第一阶段复习的基本方法是从大到小，先粗后细。做到四化：各章内容综合化，基础知识体系化；基本方法类型化；解题步骤规范化。
第二阶段：专题复习
专题的选择
1、
2、
3、
4、
5、
第三阶段：模拟题讲练
讲评要注重数学思想方法的提炼：主要在“代数和对应”上下功夫，具体体现在
函数与方程；数形结合；分类与整合；化归与转化；特殊与一般；有限与无限；或然与必然
主要方法：代入法；消元法；换元法；配方法；反证法；数学归纳法
六、高考题赏析
（2010 广东文科21题题目）.（本小题满分14分）
http://10.9.36.5/2008/SubjectGroup/BlogFile/5fbc5321b5e343b49523d727c8954db5/9bfd676c876f4d0b832fc2b3695794cb.142.png（分子有理化）（注：上面2步中任一步正确就给1分）
http://10.9.36.5/2008/SubjectGroup/BlogFile/5fbc5321b5e343b49523d727c8954db5/9bfd676c876f4d0b832fc2b3695794cb.144.png
http://10.9.36.5/2008/SubjectGroup/BlogFile/5fbc5321b5e343b49523d727c8954db5/9bfd676c876f4d0b832fc2b3695794cb.147.png
故问题得证.
不等式源于课本题“用数学归纳法证明：1+++…+> (n>1,n Î N).”
此题很容易用数学归纳法证明，证明后我们自然会反思：此题是如何发现的？如何用推导的方法证明。
使用放缩思想可得方法一：
1+++…+>++…+=n·=。
由裂项求和的思想可想到方法二：
= (-)+(-)+(-)+…+(-1)+(1-0)= ++…++
而-=，所以欲证原不等式，只需证> (n>1), （当n=1时，取等号）.
此不等式显然成立，所以原不等式得证。
从以上证明发现不等式两端“空隙”较大，能否缩小空隙呢？
（1）在方法二中，关键是发现放缩式 >，由式想到式, 从而得
=>=2(-) （n Î N).
∴我们得到新不等式：1+++…+>2(-1)
（n
Î
N)。
（2）由对称性，我们有 =>，又可以想到：
=<=2(-)
∴又得到不等式1+++…+<2
(n
Î
N).
（3）还可继续变形放缩
∴
1+++…+<+-1
（4）又有
∴
1+++…+<-。
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