Prandtl 混合长度模型等零方程模型都有一个共同的缺点，就是湍流粘性系数只取决于当地局部的流动参数，而与别处的流动无关。这是与实验观测不符合的。例如，在管的中心轴线上，具有时均速度梯度为零这一流动特性，按公式http://s14/middle/6566a595ga7db4dfc9bad&690算出的湍流粘性系数应该为零，但是，管中流动的实验指出，实际上这里仍能观测到涨落速度。为了弥补这一缺陷，发展出了一方程、二方程模式理论。它们假定湍流粘性系数正比于一两个参数的某次幂，而这一两个参数则由引入附加的偏微分方程在全流场联立求解，不再由局部的流场性质决定。

k-ε模型

http://s3/middle/6566a595ga7ca3d503562&690
    依照分子运动引起的粘性系数，我们可以假定涡旋粘性系数和湍流中最大漩涡的长度尺度（湍流的特征长度）和速度尺度（湍流的特征速度）的乘积成正比：

    http://s4/middle/6566a595g772dd3b29293&690

 设

    http://s6/middle/6566a595ga7ca5f8e1bc5&690

由量纲分析

    http://s10/middle/6566a595ga7ca75eeda99&690

于是：

    http://s5/middle/6566a595ga7ca82a0f424&690

湍流动能方程为：
http://s13/middle/6566a595ga7ca9b96d7ac&690

右边第一项：由脉动速度和脉动压强引起的湍流动能的输运。

右边第二项：分子运动引起的湍流动能的输运。

右边第三项：脉动流场的应变率克服粘性应力所做的功。

右边第四项：平均流场应变率克服湍流应力所做的功，将平均流的能量转换为产生湍流运动的能量。这也就是产生湍流应力的机理。

高阶关联项与平均量之间的关系是：

（1）湍流量的扩散遵循局部梯度原则，即只与该物理量当地的梯度大小成正比：

http://s3/middle/6566a595g772dddafd352&690
（2）

http://s11/middle/6566a595ga7caad2ac68a&690

（3）生产项P

http://s3/middle/6566a595ga7cac78beef2&690

最后得到的k方程写成：

http://s7/middle/6566a595ga7cadd56e276&690

ε的方程为：

http://s8/middle/6566a595ga7caf16bc247&690

上面方程每一项都需要模型化，与k方程相比更复杂。经过以下模型化原则：

（1） 扩散项未知量与输运量http://s9/middle/6566a595ga7cb19976e28&690成正比

（2） 未知有量纲标量用http://s4/middle/6566a595ga7cb20ae4d13&690表示。

（3） 生成项未知张量由k方程生成项类比确定

得到耗散项ε的方程为：

http://s7/middle/6566a595ga7cb2657a826&690

模型中常数为：

http://s3/middle/6566a595ga7cb2fd38182&690

至此，六个未知因变量Ui,P,k,ε,有六个方程中，方程终于封闭了：

http://s3/middle/6566a595ga7cb5d894092&690

这就是传说中的标准k-ε模型，它需要求解湍动能及其耗散率方程。湍动能输运方程是通过精确的方程推导得到，但耗散率方程是通过物理推理，数学上模拟相似原形方程得到的。该模型假设流动为完全湍流，分子粘性的影响可以忽略。因此，标准k-ε模型只适合完全湍流的流动过程模拟。

总结一下它的特性：

（1）可用于边界层型流动和分离流

（2）近壁需修正或在计算边界上用壁函数（半经验公式）作边界条件

http://s9/middle/6566a595ga7cb6ff285a8&690

（3）属于涡粘模型

（4）ε方程模化不确定因素多，可靠性差

（5）模型常数通用性差

（6）不能模拟强各向异性流（如矩形槽道中的二次流）

（7）不能计入涡量的影响