本篇基本上都不涉及压缩性，只是在特殊情况下才标明不可压缩性！

什么是无粘流？   

    Re是表征流体的惯性力的量级和粘性力量级之比的量度。所谓无粘流动，可看成是当Re趋于无穷大的一种近似。在考虑边界层后，无粘流动是大Re数下边界层外流的近似。

无粘流的控制方程：

http://s14/middle/6566a595g8852df0a85ad&690

    当粘性和热传导等耗散机制忽略不计时，体系是等熵的（不随时间改变）。

边界条件：法向无穿透条件

伯努利定理

     在流体的无粘无热传导的定常运动中，单位质量流体（流体质点）的总能量沿同一条流线保持不变。

     这里的定常是针对压力场和速度场而言的。该定理给出了沿线上的压力和速度的依赖关系。

http://s10/middle/6566a595g88530bb2cc39&690

     无粘无热传导的定常不可压缩流动的伯努利定理：

     不可压缩流体质点不受外界对它做功，同时前提条件是无耗散机制，所以内能u=w+Q=0.若体积力只限制为重力，则：

http://s14/middle/6566a595g88530fce46ed&690

      无粘无热传导的定常不可压缩流动在均熵（不随空间改变）条件下的伯努利定理：

      均熵条件下有

http://s16/middle/6566a595g885324dd3d6f&690

      上式两边用V或点乘后可知，在涡线和流线组成的兰姆曲面上有

http://s10/middle/6566a595g88530bb2cc39&690

      无粘无热传导的定常不可压缩流动在均熵（不随空间改变）且无旋条件下的伯努利定理：

      在全流场有

http://s10/middle/6566a595g88530bb2cc39&690

无粘无热传导的非定常无旋流的伯努利方程：

     在全流场有

http://s3/middle/6566a595g88534a31efd2&690

伯努利定理的重要意义：只要速度势通过速度势方程解出来后，压力场即可由伯努利方程确定，无需再解微分方程。基于伯努利定理设计的流体测量工具有皮托管、溢水堰、转子流量计等。

开尔文速度环量守恒定理： 对于正压、体积力（外力）是（密度的）单值有势流体的无粘流动，沿任意封闭的物质线上的速度环量是个运动不变量。其推论是，（作为一种特殊情况下的）穿过一个开物质曲面上的涡通量（涡管强度）也是个运动不变量。

http://s2/middle/6566a595g885385cf1711&690

http://s7/middle/6566a595g8853816767f6&690

    注意：涡管强度的时间不变性和涡管不同界面上的涡通量的空间守恒性不同，后者对任意流体都成立。在卡尔文定理成立的条件下，涡管的强度不仅具备空间上的守恒性，而且具备时间上的守恒性。

赫姆霍兹涡量第一定理：对于正压，体积力有势的无粘流体运动，某一时刻构成涡管（涡面、涡线）的流体质点，在运动的全部时间过程中（以前和以后任一时刻）仍将构成涡管（或涡面、涡线）。换句话说，涡管（涡面、涡线）由确定的流体质点组成，并随流体一道运动。

赫姆霍兹涡量第二定理：涡管随流体运动过程中，它的强度不随时间改变。

涡量输运方程

    对于流体质点（而不是涡管）有：

http://s5/middle/6566a595g740860688b04&690

   上式给出了正压、体积力有势、和无粘流动的假设下，不管是压缩的还是不压缩流动中流体质点的涡量输运的定量表达。该式表明流体质点的涡量并不是一个不变量。

    借助于拉格朗日描述，可得上式的积分形式：

http://s4/middle/6566a595g8853d7056df3&690

http://s11/middle/6566a595g8853da07477a&690

    上式表明，（不管量的大小，仅就是否存在而言）如果某些流体质点在初始时刻涡量为零（不存在），后继时间内涡量总是零（总不存在）。反之，在任何时刻具有非零涡量的流体质点（先前存在涡量），在这之前和之后的任意时刻也必然具有非零涡量（也存在涡量）。即涡量的不生不灭定理(拉格朗日定理)。

总结：对于一个确定的涡管，它的任何截面上的涡通量是个常数。尔文定理撇开涡管这个特殊的东西说，对于任意的流体质点组成的封闭物质线，它上面的速度环量是个常数（这里，这些流体质点组成的封闭物质线在运动过程中是会变动的），从而推出穿过流场中任意的开物质曲面的涡通量也是个运动不变量。于是赫姆霍兹第二定理借助于开尔文定理，说涡管这个特殊的东西它的强度（涡通量）是个运动不变量。 

涡线是物质线

由涡量输运方程也可证明涡线是物质线。

证明：

正压、体积力有势、和无粘流动的假设下，不管是压缩的还是不压缩流动中，在涡线上任意抓一个流体质点为研究对象，那么在初始时刻t0，该流体质点的涡量的方向和涡线切线的方向一致，于是有：

http://s10/middle/6566a595g8854068c4eb9&690

其中，s 是标记涡线的参数。

另一方面，对于折合涡量在t 时刻有：

http://s10/middle/6566a595g88540dd641e9&690

http://s16/middle/6566a595g7408696725ff&690

上式表明，在t=0时刻组成涡线的流体质点，在t时刻仍然为一根涡线。那么原来组成一个涡管的流体质点后来还组成了那个涡管，（当流体具有压缩性时）不同的只是涡管的形状（赫姆霍兹涡量第一定理）。当流体具有压缩性时，涡管被拉伸变细，涡量增大；涡管变粗，涡量减小。

至今对这个推导过程中使用拉格朗日变数及标记曲线的参数的微分算子的表示方法还没有搞清楚！