一般的函数是将一个点对应到另一个点，将一个数对应到另一个数，而广义函数则是将一个函数对应到一个数，另外这种对应本质上是一个算符或一种运算，就好像加号一样。因此，我们往往是通过认识广义函数在泛函意义下的运算性质来认识广义函数的。

    比如，广义函数的求导。广义函数往往是非常奇异的，按照普通的描述函数光滑性的导数定义来说，广义函数往往不能求导，但是在泛函意义下，我们就可以为其定义导数，也就是说，只要给广义函数f求导以后，它对基本函数φ的泛函值（内积）能够求出来，那么我们就可以确定函数f的导数。这样，我们不必非要研究广义函数本身在普通意义下的导数情况，而只需研究假设它存在导数的话，会对别人产生什么样的效果，通过这种对某一个对象施加作用以后产生的效果来识别它。这就好像我们炒菜的时候并不必知道放的是什么调料，我们可以通过考察方了该种调料以后对饭产生了什么样的效果来识别该种调料，比如放了某种调料以后菜变得更酸了，那就是醋，放了之后更咸了那就是盐；再比方说，一个傻逼不知道拳头是个什么东西，我们就用拳头砸他一下，他一感觉到疼立马就明白拳头是个什么东西了。

    我个人以为这种思想就是泛函的思想。

    函数f(x)的导数我们不知道，但是我们假设它存在以后，发现它和基本函数φ的内积通过分步积分法变形以后变成了函数f和基本函数φ的导数的内积。那么只要我可以求出后者的值，就可以感觉到函数f(x)的导数的威力了。因此，我们就可通过这种方式来定义函数f(x)的导数。什么是盐，我不说盐就是氯化钠，我说盐就是放到菜里面可以使得味道变咸的东西，而且我规定，凡是可以使得菜变咸的东西都是盐。

    很多广义函数f(x)的傅里叶变换我们不容易求，但是我们可以假设它存在，这样一来，发现函数f(x)的傅里叶变换和基本函数φ的内积可以转化为函数f(x)自己和基本函数的傅里叶变换的内积，因此，只要我们求出了后者的值，就可以以此来定义函数f(x)的傅里叶变换了。至于delta函数的傅里叶变换不用上面的基于泛函的定义而可以直接求出，这是由于detla函数定义导致的一种特殊情况。对于其他的一般广义函数的傅里叶变换就无法直接给出结果，只能在泛函意义下识别它，认识它，感受它，给出它的定义.

    这种方法的好处是，我们不容易求的广义函数的导数和傅里叶变换可以被转换到容易求的基本函数上。这就叫怕硬欺软！

    如此一来，我们就可像对普通函数一样畅通无阻地对广义函数进行各种代数以及分析预算啦！特别地，广义函数的微分和卷积可以交换次序，形式上便是微分和积分可以任意交换次序。于是使用广义函数理论就可以求解偏微分方程啦！