专题四　学生解题能力的培养和提升

小学生数学学习的诊断

本讲的主题是小学生数学学习的诊断，主要介绍了两部分内容：一是诊断的对象；二是诊断的方式，如和标准比较，和同级群体的比较，不同题目作答情况的比较，影响因素的分析等。

本讲的重点和难点是通过对试题的分析，使教师掌握对试卷分析的方法，找准教师和学生在教与学过程中的问题，有针对性地培养和提高学生分析问题和解决问题的思维能力。

本讲座虽然从小学生数学学习诊断的分析入手，找准学生在教学中的问题，但这只是重点介绍或拓展了试卷分析的关键点，要掌握培养和提升学生解题能力的策略，还需要广大教师详细阅读“必读资源”。

与本讲座对应的“必读资源”包括以下内容：学生解题能力的现状分析，学生解题能力的基本要素，基于知识的系统掌握，基于解题方法的系统掌握，基于解题技能的发展，基于完善的精细检验，推理能力的训练，化归能力的训练，系统方法论能力的训练，反馈能力的训练，创新能力的训练。

小学生数学学习的诊断

问题1  学生解题能力的现状分析

小学生解题能力是一种个体心理特征，是解题活动的内在调节机制，是个体在解题过程中获得的知识经验，是概括化、系统化的解题知识和解题技能。只有在解题知识不断概括、解题技能不断熟练的基础上，通过迁移将各种解题经验加以概括化和系统化，解题能力才能真正形成。作为小学教师，要提高学生数学解题能力，必须对学生的数学解题能力的现状进行正确有效的分析，找出问题的病因，形成高效的对策，才能真正提高学生的数学解题能力。

【案例展示】

小学生解决数学问题能力的问卷调查

（5～6年级）

亲爱的小朋友，我是你们的好朋友知心话老师，为了更好地帮助你们的学习，改进我的教学，请把你们最真实的想法和做法告诉我吧！让我们共同努力，加油！

在你最真实的想法或做法选项的○里画“√”。

1.当你解决问题遇到困难时，你通常会：

○立即请教家长、老师或同学

○先放一放，然后再慢慢弄懂

○不去想它

○和同学讨论解决

2.当小组互相讨论时，你希望：

○多发表自己的意见

○听别人的意见就行了

○先听听别人的意见，再结合自己的意见

○不想参与讨论

3.你觉得自己是否有能力应付困难：

○有○没有○不一定

4.你的作业经常出错，通常是因为：

○不会审题

○题目太难

○粗心大意，没认真审题、思考

○基础知识掌握不牢固

○作业时间太短，心里着急

○完成任务了事

5.你觉得要提高作业正确率应该：

○认真动脑筋

○需要充足的时间

○需要老师和家长的辅助

○养成良好的学习习惯

6.在遇到类似下面的题时，你会：

请观察下面的算式，然后填空。（定势思维）

1×999＋2=10012×999＋3=2001

3×999＋4=30014×999＋5=4001

5×999＋5=(    )

○直接计算

○根据前面的规律很快写出得数

○会去找规律，但是自己还是要再算一次

7.在遇到类似上面的题时，你通常：

○大多数都能做对

○大多数都会做错

○不一定，有时会做对

8.在作业或测验的时候，你能自己检查出做错的题吗？（学习习惯）

○大多数错误都能检查出来

○有时能检查出部分错误

○基本不能检查出自己做错的题

○我不想检查

9.你以前做错的题，现在再做你能：

○大多数都能做对

○有时能做对

○不一定

（林艳）

【案例解析】

该问卷调查是笔者在进行《提高小学生数学解题能力方法探究》课题研究时开展的问卷调查。使用以上问卷，采取随机抽样的调查方式，对学生问卷调查后，进行了问卷分析，具体情况如下。

在回答问卷中的第1、2题（在解决问题中遇到困难时的做法和小组讨论时的表现）时，有23.8%的学生的想法是“立即请教家长、老师或同学”；有31.1%的学生认为小组讨论时“听别人的意见就行了”。可以看出，小学生的学习主动性较差，依赖思想较严重。

从调查结果看，学生在解决数学问题时很容易受其心理活动的影响，在问卷调查第3题中，有35.4%的学生认为自己不一定能应付困难，甚至有17.3%的学生认为自己没有应付困难的能力。由此分析，当前小学生的畏难情绪较严重，从而在困难面前显得特别软弱无力，从心理上使自身的解题能力无法得到锻炼。

小学生处于身心发育时期，心理还不很成熟，对数学问题的认识往往停留于表面的、感性的认知。如高年段学生在问卷调查第6题中错误率高达76.8%，绝大多数学生是受前面规律的影响形成定势思维，直接写出得数，不能仔细审题，认真分析这些“形似”的数学问题。

统计数据显示，有21%的学生认为自己的作业经常出错的原因是“粗心大意，没认真思考”；有26.9%的学生认为自己在做作业或检测时基本不能检查出自己做错的题。可以看出小学生解决问题较感性，考虑问题不够全面仔细，缺乏自我检验、自我调整的意识和能力。

【对策建议】

作为教者，必须科学分析学生解题能力的现状，才能有助于提高学生的解题能力。

在实际教学中，我们发现相当一部分学生存在着数学解题能力缺失，严重影响着学生进一步学习数学的兴趣和解决问题能力的提升。只有找准学生解题能力存在的基本问题，我们才能准确制定其排解对策，那么学生解题能力主要存在哪些方面的问题呢？

1.基础知识不牢固，不能融会贯通

《国务院关于基础教育改革与发展的决定》中指出：“重视基础知识、基本技能的教学并关注情感、态度的培养。”在三维目标中，知识与技能目标是首要目标，它具有奠基作用。学生的数学解题能力和数学素养是在知识的掌握、建构、内化、运用的过程中形成的。由于小学生存在心理不稳定、急躁、好动等心理倾向，导致在学习的过程中基础知识落实不到位，例如对于各种数学概念、定律、公式、技能等不能正确理解和掌握，时常处于一种似懂非懂的状态，解决问题时没有扎实的基础知识作铺垫，找不到解决数学问题的有效路径，从而严重地影响了解决问题的效果。

2.审题不细，产生定势思维

心理学研究表明，人在学习过程中使用某一认知方式进行思维，重复的次数越多，越有效，那么在新的相似情境中就会优先运用这一方式。学生往往在做大量的练习或重复的练习时不会仔细审题，只看到题目的表象就开始运用已有经验进行解题，这就是一种思维惯性的现象。虽然说思维定势有助于人们进行类比思维，从而更加顺利和快捷地解决部分问题，但容易使学生盲目运用特定经验和习惯的方法去对待一些貌似而神异的问题，结果造成错误的解题。

3.缺乏学习主动性，依赖心理严重

数学学习应是学生主动建构知识的过程。而在实际生活中，家长对学生的学习管得过细，容易使孩子产生依赖心理，如每次的家庭作业，家长给孩子仔细检查，圈出错误的地方让孩子订正，而不是教给孩子检查的方法，让孩子学会检查、学会纠错等。有时教师的教法单一也会让学生产生依赖心理，例如教师过于注重解题方法的传授，而不让学生去主动地尝试学习、尝试解题，忽略了对学生的“扶放教学”，使大批学生面对新的问题不敢去大胆尝试，依赖于听教师的正确答案。由于学生没有经历观察操作、比较分析、交流反思等逐步内化概念的过程，解题能力和思维能力则无法得到提升，从而使学生产生依赖心理，让学生丧失了数学学习的主动性和独立性，丧失了问题解决和推理能力。

4.畏难情绪较严重

要让学生成功地解决数学问题，需要学生具备良好的解决数学问题的能力，而在教师的教学中不难发现，很多学生面对数学问题都具有畏难情绪。畏难情绪是指学生对学习活动中存在的困难不敢正确地面对，没有理性的认识和思考，害怕困难，甚至逃避困难，在较难的数学问题面前显得束手无策。畏难情绪的产生主要是由家庭教育和学校教育的不当产生的。家庭教育方面有的家长过分溺爱孩子，什么都是包办代替，孩子没有经受挫折，也就不知道怎样去面对困难。学校教育中教师缺乏良好的组织教学的能力，没有把握好“收放”的尺度，没有给够学生独立思考和解决数学问题的空间和时间，也导致学生无法独立面对困难。因此，畏难情绪的影响、制约、阻碍了学生的学习积极性和主动性，较严重地影响了学生解决数学问题的效率。

5.思维灵活性不够，缺乏求异思维

求异思维是一种创造性思维，它是培养创造性思维的核心。它要求学生凭借自己的知识水平与能力，对某一问题从不同的角度，不同的方位去思考，创造性地解决问题。而小学生的思维是以具体形象思维为主，容易产生消极的思维定势，造成一些机械思维模式，干扰解题的准确性和灵活性。面对一个数学问题，能从不同角度表述和思考，就能全面而深刻地理解这个问题。为了排除学生这种消极思维定势的干扰，在解题中，要努力创造条件，引导学生从各个角度去分析思考问题，发展学生的求异思维，使其创造性地解决问题。通常运用的方法有“一题多问”、“一题多解”和“一题多变”。在解题时，要经常注意引导学生从不同的方面，探求解题途径，以求最佳解法。例如，笔者在教学“工程问题”新课时采用了不同方法探索进行分析讲解。“修一条村级公路。甲队单独修10周完成，乙队单独修15周完成。两队同时从公路两端修，几周可以完成？”当学生提出用假设法进行解决时，我鼓励学生大胆假设出这条公路的长度，并用自己不同的假设去进行计算，从而验证出不管这条公路的长度是600、300、60、1还是x，所得的结果都相同，这样打破思维定势，启迪学生新的思维，并得出算法的最优化，充分显示出学生思维的灵活性。

6.数学学习习惯欠佳导致解题能力低下

良好的学习习惯的培养是课标对目前教学提出的重要任务之一，好的学习习惯让学生终身受用，能够避免解决数学问题中产生不必要的错误。在日常教学中，学生往往容易犯这样或那样的错误，如果让学生再次仔细审题，则多数能独立解决问题，这说明学生在学习中很多是数学学习习惯不良而导致解题错误，如缺乏反思检验的习惯、仔细审题的习惯、善于动手的习惯、自主探索的习惯等。

7.教师的教法不当

教师在日常教学中，有时由于对教科书的理解不够充分，传授知识采用一味灌输，让学生形成被动式的接受学习，这样就会导致学生虽然将知识记住了，但没有真正理解和掌握，不会融会贯通，在解决实际问题时，就不知道怎样综合运用知识去解决。如果教师在教学中对学生的实际情况把握不准确，教学活动设计与学生的知识把握产生偏差，也会影响学生解题能力。在教学过程中，很多教师总担心完不成教学任务，或担心教学内容不完整，常常对审题过程包办代替，学生只是读一遍题目，蜻蜓点水走过场，学生失去了这种锻炼的机会，也造成了这方面能力的欠缺。这样，学生失去了审视题目、思考问题的机会，久而久之，解题能力的形成和发展便受到了严重的影响。

问题2  学生解题能力的基本要素

解题能力是解题活动稳定的调节机制。就其本质而言，是内化了的解题经验，即概括化、系统化的解题知识和解题技能。其中，解题知识是认知性经验，主要包括在解决问题中各组成要素之间内在的联系的陈述性知识，以及反映解题活动各组成要素之间内在联系的程序性知识，它们执行着解题活动的定向功能；解题技能是动作经验，主要包括符合法则的各种智力活动经验，即题目辨认、解析、列式、运作、检验和答题等技能，它们执行着解题活动的控制执行功能。上述解题知识和解题技能共同构成解题能力的基本要素。

【案例展示】

“逗”出来的学问

改完了学生的单元测试卷后，我的心里格外轻松。虽然有一个学生未上90分，但看得出学生的审题、计算、数学思维能力在逐步提升。正准备走出办公室去透透空气，见班上的几个机灵鬼探头探脑的在办公室门口，看见我在办公室，他们便叽叽喳喳的围着我了解他们的考试成绩。我便一本正经地用很严肃的口吻说：“考的不理想，你们等试卷发下来后再找找自己存在的问题。”“不可能，我们那么聪明的！不会差到哪儿去！”江佩芸说。“就是，就是。”其他几个同学也附和着说。见他们那么自信，我想趁机逗逗他们，“凭什么说你们聪明，聪明又不是自己说的。”“那您可以考考我们啊！”余月真毫不示弱的说。于是我请他们坐下来，拿出纸笔给他们出了一道这样的题目：修一条村级公路。甲队单独修10天完成，乙队单独修15天完成。两队同时从公路两端修，几天可以完成？（其实这类题学生还没有开始学习）几个学生在认真审题后开始七嘴八舌地讨论起来。

余月真说：“肯定比甲队用的时间10天少。”

罗姝婷认为：“肯定比5天多。”

曾静雅连忙补充道：“可能在5天与10天之间。”（我在旁边偷着乐呵！看来他们的预测能力还不错呢！）

杨雨谋若有所思地问：“公路的总长和每个队每天修的长度都不知道，怎么办呢？”大家陷入了沉默。

卢曦突然说：“可不可以用假设法，假设公路的长是6000米、4500米……我们每人假设一个不同的数字进行计算看看。”于是他们找我要了纸笔开始认真地计算。他们一共列出了这样几道算式：

①4500÷（4500÷10+4500÷15）  ②6000÷（6000÷10+6000÷15）

  ③3000÷（3000÷10+3000÷15）  ④1÷（1/10+1/15）

⑤x÷（x/10+x/15）

（我一看，学生能提出后两种方法可见学生思维的灵活性，看来我是小瞧了他们。）他们通过计算后发现，不管是假设多少，最后的结果都相同。

这时机灵鬼江佩芸说：“如果道路长3000米，甲队每天修300米；如果道路长4500米，甲队每天则修450米，也就是甲队每天修的长度是总长度的1/10，乙队也是同样的道理，所以无论道路的长度怎样变化，最后修的时间都没有变化。最简洁的就是第④种方法，看来我们的算法没错了。”说完他们都望着我，分析得非常好，我不由得向他们竖起了大拇指。

通过他们的讨论，我发现我找到了教学这类问题的好方法，感谢我的学生们！

（林艳）

【案例解析】

由以上案例可以看出，解题能力的培养在于和学生相处的朝朝夕夕，说是老师有意的“为难”，却无意识地训练了学生的解题能力，这与学生在平时学习中对解题能力的基本要素的掌握是密不可分的。在课堂教学中，学生缺少的、不知道的，不是某个具体的知识点，而是对知识的链接能力、综合运用能力，这种能力需要教师充分利用教科书并加以培养和提高，当然更离不开教师富有灵性的点拨，让学生把握解题的基本要素，从而有效提高他们的解题能力。

在此案例中，几位学生在提出实际问题后，能懂得先“预测”两个工程队合修的大概时间，在自主辨认理解题目的基础上，进行解决问题的初步判断。再通过大胆的假设，列举出不同的思考方法，为后面的分析比较，突破重难点作好充分准备。在学生的整个讨论过程中，教师没有暗示学生解题的方法，也没有刻意牵着帮助学生转化问题的结构，在学生遇到困难时仍作为一个旁观者，静静地有耐心地等待学生独立去分析、思考。通过学生自己的思维碰撞，产生了共鸣，让学生进入了有效的学习状态。在整个探讨过程中学生经历了“预测——假设——列式计算——比较分析——明确算理”整个过程，学生解题的基本要素得到了培养，学生的解题能力得到提高。

【对策建议】

1.审题能力

审题能力是一种获取信息、分析信息、处理信息的能力，它需要以一定的知识水平为基础，更需要有良好的读题习惯、有效的思考方法为保证。在每次作业、检测中，教师们总会遗憾地发现，许多学生解题错误的原因是没有看清题目，没有读懂题目的意思。只要教师再把题目读一读，或者让学生再重新做一次，他们就会做对了。于是，我们在分析错题原因时，往往会给这些学生戴上粗心、马虎的帽子。但深入分析发现，在粗心、马虎的背后暴露的正是学生审题能力的薄弱。

提高学生的解题能力，教师必须在培养学生养成良好的审题习惯上下工夫。其主要做法是，让学生养成轻读、慢读、指读、默读的习惯，帮助学生不添字、不漏字，详细理解题目的意思，抓住题目中的重点词、关键句，并能认真思考，从中发现文字背后的含义，便能达到融会贯通的意境。在教给学生审题方法的基础上，教师还要对学生进行严格的审题训练及激励性的评价，以培养他们认真审题的习惯和提高审题的能力。

2.思维能力

学会一点数学知识，只能管一阵子，若学会了思考问题的方法，就能管一辈子。科学的思维方法是学生探索获取新知识、分析解决新问题的金钥匙。因此，在数学学习中，培养、发展和训练学生的思维能力是重点。训练学生的思维的同时就是教给学生正确的系统的方法，如综合法、分析法、图示法、列举法、化归法、比较法等方法。

训练学生的思维，一是鼓励学生大胆质疑，因为发现问题是思维的起点，解决问题是思维的归宿；二是让学生在解法上求异求新，对于同一道题，应鼓励学生大胆交流自己不同的想法，发现存在的问题和自己的创新，这有助于加深对知识的理解与掌握，对培养学生思维的发散性、灵活性都有帮助；三是要鼓励学生大胆猜想，并鼓励学生在猜想的基础上积极验证，让他们获得成功的体验，提高他们学习数学的兴趣；四是要加强学生对开放性、探究性问题的探究，因为此类问题能充分调动他们的知识储备，积极开展智力活动，多角度、多思维方法进行思考，给他们提供越学越聪明的平台。

3.计算能力

计算自始至终都贯穿于数学学习过程中，因此数学离不开计算。计算能力是每个人必备的一项基本素质，是小学生进一步学习数学和其他学科的重要基础。培养学生正确、迅速、合理、灵活的计算能力，是小学数学的重要任务。教师应该采取灵活恰当的教学策略，在遵循学生认知规律的基础上，使学生的计算能力逐步提高。

提高学生的计算能力，除了培养学生的数学兴趣以外，教师还应注重学生的算理和法则的过程教学。算理和法则是计算的依据。正确的运算必须建筑在透彻地理解算理的基础上，学生的头脑中算理清楚，法则记得牢固，做四则计算题时，就可以有条不紊地进行。

4.检验能力

良好的学习习惯是学生可持续发展的源动力，是学生学会学习、形成学习能力与提高解题能力的重要保证。

小学生多数乐于做题，而没有检查的习惯，甚至不会检查。在数学课上训练学生检查的方法是：一看审题是否正确；二看是否抄错题或数；三看运用公式是否准确，计算过程是否出错；四看答题书写是否完整。培养学生的良好学习习惯对于形成一个人的性格有着重要的作用。如果在课堂上及时指导、帮助、严格训练，久而久之，就能形成自己的行为方式，形成良好的学习习惯。作为小学教师应特别重视培养学生检验的习惯。应让学生把检验看作是解题的最后一个步骤。验算中，学生经过自我反思，不仅可以保证解答的正确性，而且可以进一步理解题中的数量关系，找出解题错误的原因，调节解答思路，巩固和提高解题的能力。

5.收集处理数学信息的能力

信息素养是指人对信息的收集、辨析、处理、储存、运用和交流的能力。新课标中提出：收集、整理数据、作出决策、进行交流的能力，初步具有随机的观念和概率思想等，是学生未来生活所必须的数学基本素养，也是他们就业和进一步学习所不可缺少的基础知识和基本技能。在现实生活中，在对某一问题考虑出一个可能的解决方法之前，首先要对已知信息进行收集、挑选、整理、比较。因此，在小学数学教学中，要重视学生信息素养，发展他们收集信息和处理信息的能力。让学生能够通过收集和处理信息体会数学跟人类现实生活广泛的、密切的、自然的联系；通过收集和处理信息改变学生的学习方式，根据具体的问题情景，寻找解决问题的策略；在独立思考问题的基础上尝试与人合作。要培养学生收集处理数学信息的能力，教师在教学的每个环节中都要注意培养，如：在预习中、新授课中、练习处理中都应给予学生主动收集数学信息的任务，驱动学生养成善于收集信息的习惯。

问题3  基于知识的系统掌握

著名的教育心理学家奥苏伯尔在其最有影响的著作《教育心理学：一种认知观》中谈道：学习是否有意义，主要取决于新知识与已有知识之间是否建立了联系。数学是多功能学科，逻辑性、系统性都很强。学习掌握数学知识，应该有比较科学的学习方法。系统地掌握数学知识，是培养学生解题能力的有力保障。解决任何一个问题，都要用到知识体系中的一个或几个知识点。学生系统地掌握了知识，解题时就能在大脑中迅速做出反应，从而迅速找到解题的方法和答案。相反，如果学生没有系统地掌握知识，头脑中的知识没有形成体系，只是无数个零散的点，解题的时候，很难在纷繁复杂的知识点中迅速找到需要的那个知识点，解题能力自然也不会很高。

【案例展示】

猪八戒的笑话

在教学了《认识周长》后教师布置了这样一个深化练习的教学情境。

话说唐僧师徒四人去西天取经的路上，有一次，唐僧拿出一块饼给三个徒弟分吃，猪八戒看了直嚷嚷说：“我要吃多点。”孙悟空看见猪八戒的馋样，灵机一动说：“八戒，我出一道题考考你，你如果答对，这块饼全给你一个人吃，如果答不对，那你就一点也不能吃，由我和沙师弟分吃，行吗？”猪八戒一听可以一个人独享，高兴得直点头。

瞧！这就是孙悟空给猪八戒出的题目，请猪八戒判断图中哪部分的周长长些，那部分的周长短些？

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猪八戒一看，想都不想的说：“当然是图二部分的周长长些。”孙悟空听了哈哈大笑,请你们想想猪八戒答对了吗？他吃到饼干了吗？

【案例解析】

从该案例中可以看出，此趣味练习设计的主要目的是让学生在乐一乐的同时，对周长和面积的概念进行系统、正确的把握，才能有效地解决此题。有的同学认为，图②部分看起来明显比图①部分大，为什么猪八戒没判断对呢？其实这是把判断两部分的周长谁长错误地理解为用面积的大小去判断，混淆了面积和周长的概念，对周长和面积的概念没有系统的把握，从而产生了认识上的偏差。

周长是指围图形一周的长度，而物体的表面或围成的平面图形的大小才叫做面积。如果对这两个概念没有系统的把握，就会产生解题的错误。该题是让学生判断图中两部分的周长谁长。由于长方形相对的长和宽是相等的，中间的曲线是两部分共同的，所以这两部分的周长一样长。因此，教师在教学中不仅要让学生对基本概念、法则、公式、定理正确理解，而且要灵活应用。对已学过的数学基础知识加以回忆，并进行系统的整理，逐步形成系统的、完整的、明确的知识网络，这样才易于使学生对所学的知识加以运用，从而提高他们的解题能力。

【对策建议】

教师教学中，要帮助学生系统地掌握知识，主要应解决的是知识的点、线、面三者的结合，它承载着回顾与整理、沟通与生长的独特功能。因此，教师要重视“理”，达到“化”，把平时一个个课时所学的知识从新的角度，按新的要求进行梳理，组织练习，沟通新旧知识的联系，通过归纳、总结，使之条理化、系统化，最终达到浓缩化，让学生在完善认知结构的过程中温故而知新，发展数学思维，领悟思想方法，提升数学素养。 

1.注意新旧知识的迁移和链接

整个小学阶段，数学学科所涉及到的知识主要包括数与代数、空间与图形、统计与概率、实践与综合应用四个领域的知识。而每个领域的知识都是一个完整的知识体系。如数与代数中，就数而言包括整数、小数、分数、百分数等，其中整数的知识主要包括掌握整数的认、读、写、计算、应用等。这些知识，学生不可能一下子全部掌握，每一次获取的只是其中的一个知识点。学生在获取这个知识点的同时，还要引导学生知道，这个知识点处于知识体系中的哪一个位置。这样，学生获取的知识才不会是零散的，才能降低记忆的难度。也只有这样，才能让学生知其然，并知其所以然。新知识自然就牢牢掌握，解题的时候才能举一反三，触类旁通。

那么，该怎样建立原有知识与新知识的链接呢？

纵观西师版小学数学教科书，不难发现，在编排体系上，特别重视新旧知识的链接，教科书中每一个新知识点的传递都与旧知紧密相连。例如西师版教科书中六年级下册第二单元中进行圆柱体积公式推导时，需要先把圆柱转化成所学过的近似长方体，通过长方体的体积公式，推导出圆柱的体积公式。学生带着疑惑通过旧知的复习，去学习新知。在学习过程中自然而然就会与旧知进行对比，在对比中发现，在对比中提升。

2.教给学生整理复习知识的方法，形成知识体系

任何事物都是由系统构成的，而系统都是有结构、分层次的。小学数学教科书也是一个整体，各单元之间联系紧密，在一定的阶段，就要引导学生对知识间作纵向、横向联合的归类、整理，找出知识间的内在联系，将平常所学孤立的、分散的知识串成线，连成片，结成网。这样有助于学生从整体上理解和掌握知识间的内在联系，以便记忆和运用。

梳理知识，形成知识网络，让知识结构系统化是教师帮助学生系统掌握知识的首要任务。要让学生学会在原有知识的基础上进行归类整理，梳理出每个单元的“知识树”或“知识结构图”等，理清每个单元的重难点和学习中存在的弱点是什么，形成知识网络体系。例如，在西师版教科书六年级下册中第五单元复习“数的认识”时，笔者首先请学生回忆一下小学阶段我们学过哪些数，然后根据学生的回忆逐一出示知识点，接着请学生根据这类知识点和它们之间的联系进行整理(用列表法或图示法等)，要求整理出来的内容一定要简洁清晰，一目了然。

在复习中教师应通过总结以往的数学知识，使学生集中温习，集中理解，应用知识，解决问题，在见多识广的基础上，加强概括、分析、综合、比较，揭示解题规律和思考方向，让学生能举一反三，触类旁通，获得新见解。如在解决问题复习中，要善于让学生揭示解题思路，积累和总结解题经验与方法。对一般复合问题，要坚持从条件求问题与从问题想条件进行不断往复思考探索；对比较抽象的分数、百分数的解决问题要注意画线段图和找比较关系的关键句，找准单位“1”的量，并重视“量”与“率”的对应；对求平均数问题要重视抓问句，由此找准被平分的总量和所平分的份数；相遇问题，要善于找速度和，并画行路示意图；归一问题和比例问题，要坚持列条件表……这些解题的方法和带规律性的东西，都要通过复习使学生切实掌握，形成新的能力。

3.加强综合训练，活化认知结构

培养学生掌握系统的知识，需要教师在练习设计中加大体现综合性、开放性、多变性习题的比例，要进一步体现知识间的纵横联系，而且要加强对比、辨析，促使学生认知结构“融会贯通”和“精确分化”，提升学生综合应用知识的能力。所以，设计具有针对性和思维含量的习题，不仅要做到层次清晰、结构合理，还应根据教科书的特点和学生的不同知识基础，进行不同的练习设计，同时要处理好坡度和难度、数量和质量间的关系。 

问题4  基于解题方法的系统掌握

美国著名数学教育家波利亚说过，掌握数学就意味着要善于解题。培养学生正确、系统的解题方法，是提高学生解题能力的关键要素。《数学课程标准》指出：“培养学生的探索意识，使学生初步学会运用所学的数学知识和方法解决一些简单的实际问题。”把“解决问题”的教学过程当作数学教学的一种基本形式，即在解决问题的过程中学数学，以解决问题的形式学数学，从而培养学生运用数学知识解决实际问题的能力。

【案例展示】

方法不同，效果相同

在一次数学作业中，我出示了这样一道题目让学生用自己的方法进行解决，学生呈现的思维和方法让我非常感动，原来只要平时教学中注重学生学习思维和方法的训练，他们个个都能成为解题高手！

作业如下：看谁聪明，一根铁丝，第一次用去了http://edu6.teacher.com.cn/tkc1442a/kcjj/ch11/bdzy/bdzy_wps_clip_image-26160.png，第二次比第一次多用了6米，还剩34米没用，这根铁丝全长多少米？

以下是3个学生的作业。

生1：全长—第一次用去的—第二次用去的=剩下的。用方程解。

解：设这根铁丝全长x米。

http://edu6.teacher.com.cn/tkc1442a/kcjj/ch11/bdzy/bdzy_wps_clip_image-27231.png

生2：画图法。

http://edu6.teacher.com.cn/tkc1442a/kcjj/ch11/bdzy/bdzy_wps_clip_image-26209.png

1-http://edu6.teacher.com.cn/tkc1442a/kcjj/ch11/bdzy/bdzy_wps_clip_image-3910.png=120（米）

生3：假设第一次和第二次用去的同样多，那么第二次比第一次多用的6米就没有用去，一共剩下了（34+6）米，列式（34+6）÷（1-http://edu6.teacher.com.cn/tkc1442a/kcjj/ch11/bdzy/bdzy_wps_clip_image-3536.png）

【案例解析】

在此案例中我们不难发现，在日常教学中教师注重学生思维和解题方法的系统训练，学生的思维才能不断地跳跃并充满无限的活力。以上三个学生的做法均有自己独特的解题思路。学生1主要是用了一般的数学化的方法解决问题，先找出条件中的数量关系，用常规的数学思维解决问题；学生2主要采用了画图的方法，用简单的线段图直观、清楚地显示出题中的数量关系，从中发现解题的最佳方法；学生3则采用了假设法，把不同的条件假设成相同的条件，然后根据假设进行推算，从而用具体量除以对应的分率得到单位“1”的量。

虽然以上三种解题方法都可采用，但在教学实际中教师不难发现，虽然第一种方法直接易懂，但大部分学生列出算式容易，却往往在解方程时会出现计算上的错误；而第二、第三种方法只要学生理解了，计算就不容易出现错误，就能提高解题的正确率。在教学中，教师要引导学生进行算法的优化选择，对不同的解题方法进行比较，把握解题的关键和本质，从而得出最佳的解题方法，为学生今后的学习和思维训练打下了良好的基础。

【对策建议】

作为教师，在日常教学中应循序渐进地教给学生哪些系统的解题方法呢？解决问题的方法是学生在解决问题的过程中逐步形成和积累的，它需要学生自己不断地进行内化。根据解决问题的难易程度，小学生主要应该学习的解决问题的方法可以分为一般方法和特殊方法两类。

1.一般方法

一般方法主要指有些数学问题的数量关系比较简单，学生只需依据生活经验或通过分析、综合等抽象思维过程就可以直接解决问题，也就是说用一般的方法就能解决问题。常用的一般方法主要有生活化的方法和数学化的方法。

(1)生活化的方法。生活化方法是指在解决数学问题时通过建立与学生生活经验的联系，从而找到解决问题的策略（就是把数学问题生活化）。常运用于学习新知识，关键要在问题解决后向学生点明解决问题过程中所蕴涵的数学知识和方法。

(2)数学化的方法。数学化方法是指在解决实际问题时通过建立与学生已有知识的联系，从而找到解决问题的方法（就是把现实问题数学化）。关键是在解决问题之前要让学生明确运用什么知识和方法来解决问题。如学习《长方形周长》，当学生已经知道长方形周长的算法后出示：小明沿着一个长方形游泳池走了一圈，他一共走了多少米？首先让学生明确“求一共走了多少米就是求长方形周长”，再思考“长方形周长怎么求”、“求长方形周长应知道什么”，最后出示信息“长50米、宽20米”，学生就能自主解决问题了。

2.特殊方法

有些数学问题的数量关系较复杂，常需要一些特殊的解题方法来突破难点，从而找到解题的关键并顺利解决问题。小学生常用的，并且容易接受的特殊解题方法主要有以下几种。

(1)图示法。这种方法适用于解决“较抽象而又可以图像化”的问题，它是“用简单的图直观地显示题意，有条理地表示数量关系，从中发现解题思路、确定解题方法”的一种方法。

图示法主要有两种，一种是线段图，一种是示意图。运用图示法不仅能使一些本来关系隐蔽复杂抽象的问题，显得一目了然，便于我们揭示数量关系，寻找正确的解题方法，而且有时还能直接得出所求问题的答案。运用图示法时要注意：①让学生在画图的活动中理清数量关系；②让学生在画图的活动中体会方法，学会方法；③画图要与题意相统一。

(2)列举法。在解答数学题时，顺序列举和分类列举是常用的列举方法。关键是要把题中涉及的有关数量进行正确的分类。分类要全，列举要清。当分类确定之后，要把每一类中每一个符合条件的对象都列举出来。

运用此方法时要注意以下几点。①在列举的时候要有序地思考，做到不重复、不遗漏。②设计的教学活动应包括“引发需要填表列举反思方法感悟策略”等几个主要环节。③要在反思中积累列举技巧，引导学生进行整理、归纳与交流。

(3)逆推法。这种方法主要运用于解决“已知最后的结果、到达最终结果时每一步的具体过程或做法，未知的是最初的数量这三个条件”的问题，它是“从题目的问题或结果出发、根据已知条件一步一步地进行逆向推理，逐步靠拢已知条件直至问题解决”的一种方法。

除以上几种方法以外，常用的解题方法还有综合法、分析法、对应法、比较法等。在教学中，教师除了应对解题方法做到心中有数外，还应适时教给学生适当的方法，那如何让学生掌握系统的解题方法呢？这要让学生做到“五会”。

第一，会读。数学不仅是做出来的，也是读出来的，读是做的基础。首先，让学生会读教科书、会读题。读教科书主要包括课前、课中、课后三个环节。通过读教科书能让学生学会发现疑难问题，初步发现解题方法，能分析相关问题，掌握有关知识点，能深化和拓展教科书内容。读题也包括做前读、做中读、做后读三个环节，通过读题让学生选择解题方法、明确解题方法、优化解题方法等。其次要让学生会读信息、读生活。让学生关注日常生活中的数学，捕捉身边的数学信息，在生活中读数学、找数学、经历数学。

第二，会听。听课是学生获取信息的主要渠道，会听包括听老师信息和听同伴的发言。听老师课中所讲的关键点、思维方法、解题思路等。学生通过听找出发现问题、提出问题、分析问题、解决问题、检验问题的方法和途径。倾听同伴发言时，能获取同伴的数学思想和方法，并通过思想交流产生新的想法和做法，引发共鸣。这样，有利于激发学生的解题思路、引发反思、形成方法和习惯。

第三，会说。语言和思维密切联系，语言是思维的工具。会说，主要是指把自己读、听、理解到的方法和见解说出来。通过说解题方法可以加深对解题方法的理解和掌握，通过学生大胆的说，才能全面反应学生的思想，暴露学生思维的过程，以利于教师掌握准确的反馈信息，及时调整教学计划。当然，在课堂教学中，对学生“说”的训练，可以采用“自主说”、“交互说”、“按顺序说”、“换法说”、“辩论说”等几种训练形式。通过说的训练养成学生解题的思维习惯，从而培养学生的解题能力。

第四，会做。这里的会做包括两方面的内容。其一是通过写的形式，即学生的书面表达能力，“做”是对“读”、“听”的检验，对“说”的落实和深化。除了做书面作业外，还可以训练学生写数学日记、做数学小报、做数学学具的能力。通过“做”有利于学生在生活实际中体现数学价值，有利于解题方法的巩固和内化，有利于发现解题方法的错误并进行正确分析，有利于学生把知识和解题方法融会贯通。

第五，会用。数学是一门工具学科，它来源于生活，又要回归于生活。数学是对现实世界的抽象反映，是构成文化的重要组成部分，数学知识的学习必须与数学应用有机地结合起来，正如“学以致用”是我们一直所倡导的。从知识的掌握到知识的应用不是一件简单、容易实现的事情，应该让学生从具体的事物中提炼数学问题，用数学知识来解决日常生活中的一些问题，这样有助于学生数学应用意识的形成，有助于他们学会用数学的理论、思想和方法去分析解决其他学科的问题和生活生产实际中存在的问题，真正体现数学的应用价值。

当然，让学生掌握系统的解题方法的途径会很多，但无论哪种途径和方法，最根本的是离不开思维的训练、生活的阅历和求学的精神。

问题5  基于解题技能的发展

技能是指通过练习获得的能够完成一定任务的动作系统。技能与知识不同，技能必须通过亲自学习，并坚持练习才能掌握其中的技巧。技能按照熟练程度可分为初级技能和技巧性技能。作为教者，必须按照学生的学习规律，通过有目的、有组织的练习，让学生的解题能力趋向自动化，从而达到技巧性技能阶段。

【案例展示】

原来解题也是如此简单！

记得刚学完“比的知识”后，可心同学就来拿来一道题找到我叫我评评理，她觉得出题的人简直没有考虑做题人的感受。

可心：老师，你看看这道题：小圆的半径是5 cm，大圆的半径是小圆半径的7倍，大圆的周长与小圆周长的比是_________，大圆面积与小圆面积的比是_________。让我算得好辛苦！

师：呵呵，你是怎么算的？

可心：我当然是分别算出大圆和小圆的周长和面积，再算出他们的周长比与面积比的。特别是在计算大圆面积3.14×352时好难算，数字太大了！

师：我觉得你的解题思路非常好，我很赞同。那你最后的结果是多少？

可心：我最后的结果是，他们的周长比是7∶1，面积比是49∶1。

师：你太了不起了！那你不妨思考一下，为什么数字那么大，而最后的比却很简洁？

可心：我也在想这个问题，那我把它们的算式写出来比较一下吧！看看能不能发现什么秘密！大圆面积是3.14×352，小圆面积是3.14×52。哦！我发现了，原来他们都和3.14相乘，那我在化简比时可以先把3.14直接约掉，……

师：你真是个善于思考的学生，不错，的确是这样的，那你还有没有新的发现。

可心：其实我觉得好像它们的周长的比就是半径的比，它们的面积的比就是半径的平方的比，是这样的吗？老师！

师：我真佩服你，那现在算起来还困难吗？

可心：找到这个规律，一点都不难了，原来解题也是如此简单！

【案例解析】

从该案例中可以看出，学生在把握了解题方法后，往往仍容易产生错误的结果，如以上类型的题目，很多学生按照常规的计算就很容易出错。教师则把学生出错的原因归结为计算能力不过关，而没有真正去了解学生是怎么出错的，是方法的问题还是解题的技巧问题。以上案例中我们也不难发现，学生在解题时很容易按照常规的方法去进行解题，先分别算出大小圆的周长和面积，然后再把所算的结果化成最简整数比，这就在两部分（算面积和化简比）增加了计算的难度，而对于结果来说，这两部分的计算可以说是无效的、多余的。在此，作为教者只需稍加点拨，让学生先列出算式，对比算式的特点后先化简后计算，找出其中的解题技巧和规律，就会减少学生不必要的错误，用有效的解题技能提高解题的正确率。

【对策建议】

学生优异成绩的取得，取决于很多的因素，诸如智力、学习态度、习惯、教师的教法等，但更多的是受解题技巧的影响。笔者在教学过程中发现，学生在解题中存在很多的问题，受常规思路的引导常会出错，有时退一步则海阔天空。因此，在平时的教学中，教师要注重培养学生的解题技能，以提高学生的解题效率。

1.提高学生认真审题的技能

好的开始是成功的一半，解题的前提首先是要能正确审题。审题的正确与否是能否正确解题的关键，那么怎样才能提高学生的审题技能呢？

学生在读题时，往往囫囵吞枣、一知半解、审题不清，忽略了题中隐藏的条件，不能正确应用题中的有效信息来解决问题。有时题中出现一大段的文字，学生就怵了，不知道该如何下手，抓不住重点，不会从中提取有用的信息，这样会严重地影响到解题的思路，甚至就解不出来了。

仔细审题，理解题意是学生解决相关实际问题的重要前提。为什么审题不清呢？学生主要是存在着两个方面的原因。一是由于小学生缺少社会生活经验，认知水平较低，造成对题意的错误理解，从而影响解题的正确率。二是由于小学生年龄小，注意力相对较弱，耐心不足，部分学生在做题的过程中存在求速心理，审题时走马观花，粗心大意，这也是影响解题正确率的一个重要因素。例如有这样一个题目：小红家第一季度用水123立方米，第二季度用水178立方米，第三季度用水196立方米，第四季度用水163立方米。小红家去年平均每月用水多少立方米？”有的学生受共有4个季度这个条件的影响，审题不仔细，错将题目算成了“平均每个季度的用水量”。

提高学生的审题技能首先是要培养学生的观察能力。因为只有提高学生的观察力，学生才能善于抓住题目中的数与式的特征，才能注意各条件、各相关联量之间的关系，迅速找到简捷合理的解题途径。其次，提高学生的审题技能还必须培养学生的数学语言转化能力。数学语言包括文字语言、符号语言和图示语言等，不同的语言在数学学习中具有不同的功能。将文字语言、符号语言转化为图示语言能使题目看起来更简洁，更能找出它们之间的内在联系，例如：学生用画线段图的方法就有利于弄清题中的实质和关键，从而找到解题的途径。当然提高学生的审题技能还要让学生注意审题过程的规范性，明确条件与目标、分析条件与目标的联系的方法等。

2.提高学生解题计算的技能

学生在解题中，特别是在解计算题的过程中，往往喜欢一见到公式就赶紧代入数据开始计算，如果数据比较简单，那倒还不会出现错误，一旦数据比较复杂，那就麻烦了，算得焦头烂额，结果还是错的，白忙了！所以，在平时解题时，要求学生先要仔细观察公式，看看能不能找到简便方法，这样解决起来就会简单得多了。

(1)利用生活经验，主动建构计算方法。构建智慧的重要基础是人们已有的生活、学习经验。因此，建构主义教学论把“通过自己的经验主动建构”看成是“灵魂”。对于小学生来说，在他们的生活中已经有许多数学知识的体验，学校数学学习是他们生活中有关数学现象经验的总结与升华，每一个学生都从他们的现实数学世界出发与教科书内容发生交互作用，构建自己的数学知识，学生并不是一张“白纸”。教学时，教师应该充分利用其已有的学习、生活经验促使其主动建构。“凑整简算”、“凑十法”、“假设法”等计算方法都可结合学生的生活经验进行建构。

(2)明确算法、算理是关键。要使学生会算，首先必须使学生明确怎样算，也就是加强法则及算理的理解，《数学课程标准》明确指出：“教学时，应通过解决实际问题进一步培养学生的数感，增进对运算意义的理解。”因此，在教学实践中，教师应以清晰的理论指导学生掌握计算方法，理解并熟练掌握计算法则、运算性质、运算定律以及计算公式的推导方法，培养学生的简算意识。如教学“分数除法”时，首先明确这是在学生学会“分数乘法”的基础上进行教学的，关键是根据分数的意义，把分数除法转化为分数乘法来计算。这个转化过程就是学生认识的转折点。我们在进行计算的新授课时，对算法和算理的教学必须是正确的。这就要求教师必须熟悉各册教科书的新知识要求，根据学生的年龄特征、认知规律和知识基础设计教案，选择最优的教学方法，以求收到最佳的教学效果，并在强化基础知识的同时，注意发展智力、培养能力。

3.规范解题的技能

很多学生在解题过程中往往不注重解题格式的规范化，特别是计算题，学生往往不按规范进行计算。例如在解决混合运算的题目时，学生往往把三、四步计算的题，一、两步就写出结果，这样就会因为缺少步骤而影响计算结果的正确性。在进行简便计算时，有的学生会把简算的过程省略，直接写出通过简算后的结果，这样也会影响计算结果的正确性。在用方程解决问题时，一定要先写解和设语，然后列方程，解方程，写答语。总之，每一种类型的题目教师都要教给学生规范的解题技能，才能提高学生的解题能力。

4.答题技能

在我们教学中往往会发现有的学生在考试时答题时间不够或作业做得很慢，其实细心观察，才发现除了有极个别学生不会解题外，有相当一部分学生缺乏答题技巧。例如，有的学生在解答填空题时，有一道题不会做，就一直停留在那里想办法解决，以至于后面答题时间不够或检查时间不够。因此，教学中教师应传授给学生相应的答题技能，要求学生先按试卷上的顺序一一往下做，遇到难题，不要坐在那里一直冥思苦想，应先把难题放一放，把后面会做的题目完成后再回头来想。如果会做的题目都已经做完，回过头来再想这道难题仍解答不出来，就可以想想与这道题类似的题型或相关的知识点，通过联想让问题顺利解决。这样就不会因为把大量时间花在自己做不出来的难题上，让自己会做的题目没有时间去解答。

当然，除以上基本技能外，还应该教给学生灵活运用公式的技能、转换概念的技能、纠错的技能、反思的技能等，这就需要教师在日常教学中对学生进行日积月累的训练。

问题6  基于完善的精细检验

检验是指为确定某一物质的性质、特征、组成等而进行的试验，或根据一定的要求和标准来检查试验对象品质的优良程度。小学数学中的检验就是对已完成的题目用一定的方法来检查自己完成情况优劣的一种技巧。皮亚杰曾经说过，学习是一个不断犯错误的过程，同时又是一个不断通过反复思考导致错误的缘由并逐渐消除错误的过程。而教师就是要教给学生消除错误的方法。

【案例展示】

老师，我错在哪里？

那是一次在学习了《分数乘法》后的单元测验，在进行系统复习后的测验，全班学生都考得不错，有一半多的学生是满分，没有90分以下的学生，最低分93分。我对这次测验的成绩很满意，于是试卷发下后，我没有评讲试卷，而是让学生自己纠错，我进行二次批改。

下课了，曾楚原拿着他那95分的试卷来找到我，很委屈地问我：“老师！我不知道错在哪儿？”我立即安慰了他，然后帮他进行试卷分析，原来他只错了一道“走进生活，解决问题”的题，被扣了5分。

错题呈现：

水果店有苹果240千克，梨子的千克数是苹果的1〖〗2，桃子的千克数是梨子的3〖〗5。水果店有桃子多少千克？

曾楚原的做法是：240×http://edu6.teacher.com.cn/tkc1442a/kcjj/ch11/bdzy/bdzy_wps_clip_image-15207.png

=120×http://edu6.teacher.com.cn/tkc1442a/kcjj/ch11/bdzy/bdzy_wps_clip_image-10709.png

=48（千克）

答：水果店有桃子48千克。

师：请你告诉我，你是怎么检查这道题的？

曾楚原：我先检查我的方法对不对，解决这个问题需要先求出梨子的千克数，求梨子的千克数是以苹果的千克数作“1”，然后求桃子的千克数，求桃子的千克数是以梨子的千克数作“1”，所以我认为我的方法没错。然后检查我的计算，我在练习本上重新计算了一下，也没有发现错误。最后检查单位和答语是否正确。”

师：真是个会检查的孩子，可是你的检查环节差了关键的一步导致了你没有检查出错误。

曾楚原：是吗？我差了哪一步？

师：这样，我教给你检查四步曲：一查方法对不对，二查数字和单位，三查计算正确否，四查单位和答语。请你按照这四步曲再检查一下，好吗？

曾楚原：老师，我发现了我的错误，原来我把数字http://edu6.teacher.com.cn/tkc1442a/kcjj/ch11/bdzy/bdzy_wps_clip_image-21608.png了，难怪我怎么算都是错误的！我知道怎么检查这类题目了，谢谢老师！

学生走了，我却想，究竟只是学生不小心写错了数字还是我在教学中教给学生的检查方法不够精细，我陷入了沉思…… 

【案例解析】

学生解决问题能力的高低，不仅体现在对问题的分析与解答上，还体现在对解答过程的反思和检验上。由于学生缺乏良好的检验习惯和精细的检验方法，经常事后懊悔不已，教师或家长习惯把这种现象称为马虎，其实不然，这是学生能力素养培养缺失的体现。

从本案例中可以看出，曾楚原同学不属于缺乏良好的检验习惯的学生，他属于会检查，但没有学会精细的检验方法。而这种精细化检验方法的缺失，仅仅是学生的失误吗？其实，在上面的案例中我们不难看出，当老师指导学生用检查“四步曲”进行检查后，学生很快就检查出自己的错误。所以，在教学中教师应该正确分析学生产生的错误，是由于学生学习知识中出现认识上的偏差，还是检验习惯没有养成，还是缺乏精细化的检验方法。正确分析错误的原因后，我们就应该思考问题出在学生还是在老师，从而调整自己的教法，进行针对性的练习或培养，提高学生的检验能力。

【对策建议】

小学生由于年龄特点，在数学学习中出错是常事，学生时时会出现算错、抄错、遗漏、混淆、思路偏差等差错。怎样纠正产生的这些错误，并培养小学生数学纠错习惯，形成完善的精细检验的能力呢？

1.改变评价策略，让检验做到润物细无声

在课堂教学中，在学生对老师的问题作出正确的回应时，多数教师都是以“非常正确”、“你真棒”、“你很善于思考”、“你真是个聪明的孩子”等来对学生进行肯定性的评价。这样就会让回答问题的学生或听回答问题的学生认为只要做对了就行，不管为什么这样做。其实，当学生作出正确的回应时，教师不妨换一种回应方式，如：“你认为你的方法对吗？”“你能用什么方法证明你的做法呢？”当学生能说出自己的检验方法后，再对学生进行激励性的评价，这样效果会更佳。

教师应抓住课堂教学主阵地，在日常教学中做好示范，对学生进行潜移默化的教育。教师对学生的回答应多问几次“你有什么方法证明你的结论”，而不只是告诉他结论的正确与否，要使学生对大家和书本提供的结论都要有验证的习惯，这种习惯长期坚持下去就会成为师生不自觉的行为，进而培养学生严谨的科学的习惯。

2.培养学生反思的习惯

在教学中，细心的教师会发现，从表面上看学生往往是懂了，像是理解了，但实际却远非如此。当时的“懂”，是在教师的引导下实现的，学生是被动“听会”的，被教师“讲”会的。学生只是依着葫芦画瓢，知识仅仅走到了短时记忆领域，是一种浅层次的识记，而没有把知识进行迁移，并内化为自己的东西。

教学时，教师可从学生的实际出发，多问几个为什么，通过环环相扣、逐层深入的问题序列来引导学生反思，培养学生的质疑能力。在解题过程中，可以从这几个方面对学生进行反思训练：反思审题是否正确，防止看错、读错、抄错；反思自己所运用的概念、法则、公式等知识的正确性如何；反思自己的思维方法是否正确合理，若不合理，该如何调整，若方法合理，是不是捷径；反思数学问题本身有何特点，特别注意挖掘隐含条件，谨防考虑不周出错；反思结果是否合理，运用估算判断答案是否符合题意……

3.教给学生精细化检验的方法

俗话说：“授人以鱼，不如授人以渔。”方法是学会检验的关键，有的学生想检验却不知道怎样检验，想到哪里就检查哪里，没有系统规范的检验方法。为了提高学生的检验能力，笔者在每次复习时都会给学生一起总结出不同题型的检验方法。

(1)填空题检查方法。①用手指逐字逐句地读，看看所填的空有没有多写、漏写、错写。②如遇有需进行计算的填空题，应重新读题，重新计算。③遇有填大于、小于或等于的题目，需要计算的应重新计算后再比较。

(2)判断题检查方法。①逐字逐句读题，圈画出重点词句。②举例证明（用事实说话）题目中的对或错的观点。③有概念性的，要注意范围或区域是否描述完整。

(3)计算题检查方法。①口算题应该重新进行笔算。②计算题应先看每一步的数字是否抄错，或者重新抄题在练习本上计算。③简算题要注意重新观察数字的特征，每做一步要回头看，是否能进行二次简算，注意每一步的数字是否写对。④解方程题目先检查是否写“解”字，然后想一想每一步的解题依据是否正确，数字是否抄对。

(4)作图题检查方法。①重新读题目的要求，看看是否按照要求画图。②遇有按比例放大或缩小的作图题，应算一算比例是否正确，数一数格数是否画对。③画圆时，一定要看看是否按要求标圆心、半径或直径等。④要注意用虚线、实线的画法是否正确。

(5)走进生活，解决问题题目检查方法。①先重新读题，检查方法是否正确，勾画出关键地方，如：单位“1”的量是否正确，公式是否用对，等等。②检查在列式时数字是否抄对。③检查计算是否正确。④检查单位和答语是否正确、完整。

3.利用错误资源，提高学生检查能力

学生获得数学知识是在不断的探索中进行的，在这个过程中，学生的思维方法是各不相同的，因此，当学生在解题时出现偏差和错误是很正常的，关键是在于教师要把学生出现的错误作为一种教学资源加以开发、利用，及时组织学生进行检查。

“成功的教学所需要的不是强制，而是激发兴趣。”“而学习的最好刺激乃是对所学材料的兴趣。”“错误”也是一种教学资源。这种思想无疑体现了新课程的这一理念，学习错误是一种来源于学习活动本身，具有特殊教育作用的学习材料，它来自于学生、贴近学生，教学时又回到学生的学习活动中，对激发学生的探究兴趣，唤起学生的求知欲具有特殊的作用。善于挖掘并运用教学中形形色色的“错误”，将给我们的课堂教学带来勃勃生机与活力，有效促进学生的发展。

在教学中教师可以把学生作业、练习和考试中出现的一些错误现象集中到一起，板书、观察、反思与己相关的问题，学生可以领悟到出现这些问题的根本原因，汲取了教训。在不知不觉中提高了检查能力。 

另外，还可以要求每个学生都准备一本“纠错题集”。每天将做错的习题整理到“纠错题集”上，要求不用写正确答案。一有时间，就拿出来做。对错误的地方没弄清楚要反复思考，实在解决不了的要请教老师和同学，并要经常把容易错的地方拿出来复习强化，做适当的重复性练习，把请教教师或问同学获得的东西消化变成自己的知识，长期坚持使学生对所学知识由“熟”到“活”。每个学生的“纠错题集”中的记录都要标上日期，由小组长每周检查一次，并收集较有代表性的错题进行交流。

问题7  推理能力的训练

《数学课程标准》中指出：“推理能力主要表现在：能通过观察、实验、归纳、类比等获得数学猜想，并进一步寻求证据、给出证明或举出反例；能清晰、有条理地表达自己的思考过程，做到言之有理、落笔有据；在与他人交流的过程中，能运用数学语言合乎逻辑地进行讨论与质疑。”根据标准要求，掌握比较完善的推理能力是儿童智力发展的重要环节和主要标志，小学数学教学中应注意培养和发展儿童的推理能力。

【案例展示】

案例1   探索规律。

（1）计算并观察下列每组算式。

8×8＝    5×5＝     12×12＝

7×9＝    4×6＝     11×13＝

（2）已知25×25＝625，那么24×26＝。

（3）你能举出一个类似的例子吗？

（4）从以上的过程中，你发现了什么规律，你能用数学语言叙述这个规律吗？你能用代数式表示这个规律吗？

（5）你能证明自己所得到的规律吗？

案例2   在括号中填上合适的数。

（1）如果△=□-5，那么

△×3=（□-5）×（     ），△÷（     ）=（□-5）÷4。

（2）如果m=n,那么m÷8=n÷(),m×()=n×()。

【案例解析】

案例1通过设置问题串，使学生经历了根据特例进行归纳、建立猜想、用代数式表示，并给出证明这一重要的数学推理过程。在案例中，学生需先计算并观察每组算式的特征，发现每组算式所蕴含的规律，再通过举例子对自己的发现进行验证，整个过程是对自己的猜想进行检验的过程。接下来，再让学生用自己的语言来叙述这个规律，这对学生理解自己的思路，并进行合理的表达非常有好处。俗话说，想得明白才说得清楚。这个过程是学生整理自己思路，让知识条理化的过程。如长期训练，学生的推理能力和表达能力都将得到长足的发展。

案例2中，通过观察、推理，寻找其中所蕴含的规律，我们可以发现，等式的两边同时加或减一个相同的数，得到的结果仍然是等式；等式的两边同时乘或除以一个相同的数（0不作除数），得到的结果仍然是等式，这就得到了小学数学中一个非常重要的性质——等式的性质。得到这个性质的过程，也是一个从特殊到一般的推理过程。这样的推理过程，简便易行，学生利于理解，在小学数学教学中是非常常见的，应该引起我们的重视。

上述案例说明，在进行小学生数学解题思维能力训练中，推理能力的训练是一项非常重要的思维能力训练，它可以让学生根据自己已有的知识基础，对有关现象进行分析，进而得出一定的结论。这一过程即是推理能力的训练过程。

【对策建议】

在小学数学教学中，教师要重视对小学生推理能力的训练，让小学生学会思考，学会推理，学会表达，学会学习，为今后的数学学习打下扎实的基础。

要培养学生的推理能力，需要从以下几个方面去努力。

1.开展推理能力专项训练

结合教学实际，我们认为小学数学中常用的推理有归纳推理、演绎推理和类比推理。归纳推理是从特殊到一般的推理，演绎推理是从一般到特殊的推理，类比推理是根据两种事物在某种特征上的相似推出它们在其他特征上也可能相似的结论的推理。

如何对学生进行推理能力的训练呢？

(1)精心示范，教给学生正确的推理方法。小学生的年龄特征决定他们具有好模仿、肯钻研的特点。对于如何推理，如何去根据现象找到其中所蕴含的规律，就需要教师为学生提供一种范例，通过范例的学习，掌握推理的过程和方法。这样学生通过举一反三，反复练习，他们就能找到正确的推理方法。在这个过程中，教师的示范作用是很大的，必要时，教师要亲自示范，并说出自己推理的过程，让学生借鉴。小学数学中不少数学结论、规律、性质的获取就是运用了数学归纳推理，教师在教学时要有意识地结合数学内容为学生示范正确推理的过程和方法。

(2)实践操作，引导学生参与推理全过程。在小学数学教学中，很多数学结论的获取也不是仅仅通过观察就能得到的。有时需要通过亲自的实践操作，让学生经历“动作思维→表象→抽象思维”的过程。这时学生需要利用准备的相关学具，通过量一量、折一折、比一比、摸一摸等实践操作活动，再通过分析、比较、归纳、总结，发现其中蕴含的规律。一位教师在处理下面这两道练习题时的方法就比较值得借鉴。

①选择。

三角形两边之和（     ）第三边。

A．大于    B．小于   C．等于   D．无法比较

②填空。

三角形的内角和是（     ）。

在第一个问题的处理中，教师让学生拿出不同形状的锐角三角形、直角三角形、钝角三角形。先让他们量一量每种三角形每条边的长度，让学生观察有什么发现，学生们通过测量，再进行分析比较，得出了关于三角形的一条非常重要的结论：三角形两边之和大于第三边。然后，教师让学生们自己去设计任意一个三角形三条边的长度，看这些长度的线段能否围成一个三角形，学生们又忙活起来。通过设计，他们懂得了：在三条线段中，只有任意两条线段之和大于第三条线段，这三条线段才能围成一个三角形。

在第二个问题的处理中，教师也是放手让学生去操作实践。学生通过用量角器量各种不同三角形的三个内角，再将它们的度数加起来，发现这些三角形的三个内角的和都是180度。学生们又将任意一个三角形的三个内角撕下来，再拼接在一起，发现拼接在一起的三个内角组成了一个平角。通过这样的操作实践活动，学生们又得到了关于三角形的另一条非常重要的结论：三角形的内角和是180度。

在教学活动中，教师组织学生进行实践操作，让学生参与推理的全过程，引导学生的思维由直观向抽象转化，能使学生从个别特殊的事物中发现普遍的规律，进行归纳。在教学中注重实践操作，让学生参与推理的全过程，不仅是给学生关于“三角形两边之和大于第三边”和“三角形的内角和是180度”这样的准确完整的答案，而更重要的是使学生懂得了准确完整的答案是怎样获得的，学生就会从中受到科学思维方式的训练。

(3)引导说理，培养学生推理有据的好习惯。语言是思维的外壳，组织数学语言的过程，也就是教会学生如何判断推理的过程，而与语言最密不可分的是演绎推理，小学生解题时大多是不自觉运用了演绎推理，因此在教学中必须通过追问为什么，要求学生会想、会说，养成推理有据的良好习惯。如下面的练习，就涉及到推理的过程，教师在教学时，一定要要求学生说清楚为什么要这样填，推理的依据是什么。

我会在□里填上适当的数字。

①236□既是2的倍数，又是3的倍数。

②876□既是3的倍数，又是5的倍数。

③173□能同时被2和5整除。

④（4）28□□能同时被2、3、5整除。

在对问题①的处理中，教师要让学生这样表达自己的思考和推理的过程：一个数要是2的倍数，那这个数的个位上只能是0、2、4、6、8，而这个数又要同时是3的倍数，那个位上要填的那个数和十位、百位、千位上的数加起来的和必须是3的倍数，通过观察、比较、分析、推理，□里能填的数只能是4。

其他题的推理过程同上，不再赘述。

在上面的练习中，教师运用了演绎推理的方法，使学生找到了正确、合理的答案。学生不光思维能力得到了训练，其口语表达能力也得到了训练和提高。如果教师能够经常进行这样的说理训练，就有利于培养和训练学生的演绎推理能力。

苏霍姆林斯基曾说过：“如果学生在小学里就能在思考事实、现象的过程中掌握抽象真理，他就获得了脑力劳动的一种重要品质——他能用思维把握住一系列相互联系的事物、事实、情况、现象和事件，换句话说，就是他学会了思考各种因果的、机能的、时间的联系。”因此，在数学教学中，根据教科书内容，有的放矢地进行推理能力的训练，学生的数学水平就能得到提高，也就是教学的培养目标就达到了。

2.开展数学阅读活动，培养学生思维的敏捷性和深度

在小学数学教学活动中，教师要重视数学阅读活动的开展。首先是对数学教科书的阅读，其次是数学课外阅读。在教科书中，很多例题、练习题都是编者精心挑选的，具有很强的代表性和示范性。另外，有些数学教科书中还增补了“你知道吗”这样的数学文化知识，这对拓展学生的视野非常有好处。教师要引导学生将教科书中相关知识进行阅读，以丰富学生的数学底蕴。教师要重视数学课外阅读，现在书店里、网络中有很多适合小学生阅读的数学知识，如中外数学家的故事、数学学习方法例谈、数学名题解析、数学解题能力培养（其中就有关于推理能力训练方面的内容）等，教师可有计划地组织学生进行数学课外阅读，这对开阔学生的眼界是很有好处的，也可进一步培养学生思维的敏捷性和深度。

3.引导学生多角度认识事物，培养学生思维的全面性

在日常教学工作中，教师还要引导学生多角度认识事物，以培养学生思维的广阔性和丰富的想象能力。如一位教师在教学《认识三角形》时，向学生提出了一个问题：三角形有几条高呢？有的学生说有一条，有的说有两条，还有的说有无数条。教师没有急于告诉学生正确的答案，而是让学生亲自去试一试，画一画。学生通过自己的亲自实践，终于找到了正确的答案：一个三角形有三条高，不同的底边对应的高不同。另外通过实践探索，学生还找到了关于三角形的两个非常重要的结论：（1）三角形两边之和大于第三边；（2）三角形的内角和是180度。这样的训练，让学生们不光认识了什么是三角形，还进一步认识到关于三角形高的特征、三条边的长度关系、内角和的度数等。通过这样的训练，学生今后认识事物就会不再片面，而将会从整体上去思考、去发现、去研究。

4.强化教学中说的训练，培养学生思维的流畅性和连续性

教师还要注意强化数学教学活动中说的训练。强化说的训练，有利于培养学生的逻辑思维能力，增强其思维的流畅性和连续性；有利于学生对数学概念、性质、法则及公式的学习；有利于学生口头表达能力的提高；有利于优化课堂氛围，激发学生学习积极性，提高课堂教学效果。

在数学课堂教学中，教师要教给学生说的方法，必要的时候教师还应该亲自作示范，让学生知道应该怎样来表达自己的意图和想法。通过长期的训练，学生说得流畅了，他们的思维能力也就提高了，这可是一举两得的好事呀！

问题8  化归能力的训练

化归思维方法，就是将一个新的、有待解决的或未能解决的问题，通过某种转化过程，归结到一类已经解决或比较容易解决的问题中去，从而最终求得解答的一种手段或方法。化归转化的方向应是尽量做到化繁为简、化隐为显、化难为易、化未知为已知、化一般为特殊、化抽象为具体。化归的过程包括以下三个原则。

（1）简单化原则。这是化归方法的首要原则，即是指把复杂的问题转化为简单的问题，把复杂的形式转化为简单的形式，使其中蕴涵的数量关系和空间形式更加具体，从而找到问题的解决办法。

（2）特殊化原则。相对于一般问题，解决特殊问题比较容易。特殊化就是问题中的情境具体化、单一化。通过对特殊性质进行综合分析，进而推广到一般情形，使问题得以解决。

（3）基础化原则。基础化原则是指任何化归过程都将是由陌生到熟悉，由新知到旧学的过程。即对于陌生的问题，化归的过程是不断呈现出熟悉的“面孔”，不断地推向已学知识和方法的过程，最终运用数学的基本原理和方法解决问题。

【案例展示】

案例1

学习完《圆柱体积的计算》后，朱老师为学生们出示了这样一道练习题：

一个圆柱形水桶，底面半径为2分米，桶内水深3分米。把一块不规则形的铁块放进桶内水中后，水面上升到3.5分米。这个铁块的体积是多少立方分米？

朱老师请学生把题目仔细地读了一遍，并思考应该怎样解决这个问题。题目刚一读完，教室里顿时开了锅。大家议论纷纷，并露出疑惑的神情。“小专家”邱华站起来说：这是一块不规则形的铁块，我们又不知道它的长宽高各是多少，怎么能求出它的体积呢？老师，你不是在“考验”我们吗？

朱老师微微一笑，对学生说：这道题中的铁块虽然是不规则形的，题中也没有告知铁块的其他已知条件，所以不能直接求出它的体积。但我们能不能为自己的思维搭座“桥”，换个角度思考呢？

朱老师进一步引导学生思考：圆柱形水桶里的水在放入铁块前和放入铁块后发生了什么变化，为什么会有这样的变化？

经老师一点拨，学生恍然大悟。经过小组讨论，学生们发现：虽然我们不知道铁块的长宽高是多少，但通过观察水桶中水的高度的变化，就可以通过等积变形，把铁块的体积化归为桶内水上升的体积，求得与水上升等高的圆柱体积：π×22×(3.5－3)=6.28（立方分米），也就求得了铁块的体积为6.28立方分米。学生们为解决了这样一道难题欢呼雀跃。

朱老师告诉学生，刚才在解决问题的过程中，我们运用了化归的思想。化归思想就好像是数学思考过程中的一座“桥”，它可以连接新旧知识之间的联系，让我们化难为易，化繁为简，化未知为已知，最终顺利到达知识的彼岸。化归思想是一种非常重要的数学思想，在数学学习活动中，经常要用到这一种数学思想，同学们在今后的学习活动中注意留心。

(朱发华）

案例2：先测量，再计算下面图形的面积。

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【案例解析】

在案例1中，教师通过让学生观察水桶中水的高度的变化，然后通过等积变形，把铁块的体积化归为桶内水上升的体积，求得与水上升等高的圆柱体积，进而求得铁块的体积。这一思维的过程，即是一种化归能力训练的过程。它让一个看似无法解决的问题，通过化归的方法，转化为我们能够解决的问题，这充分体现了化归思想的神奇和精妙之处。

在案例2中，要求先测量，再计算这个图形的面积。这是一个正六边形，学生没有学过这类图形的面积计算方法，该怎么办呢？教师通过引导，让学生发现只需要加一条辅助线，让这个正六边形变成两个梯形，通过计算梯形的面积，就可以计算出这个正六边形的面积了。当然，也有学生发现，只要将这两个梯形中的一个梯形通过旋转平移，即可以拼成一个平边四边形，这也是可以计算出其面积的。

【对策建议】

1.在化归能力的训练中，要注重新旧知识的联系

在化归能力训练中，教师要注意引导学生注重新旧知识的联系和衔接，要善于把握学生认识事物的水平，要学会从学生的角度去看事物、看知识，思考学生是怎样去认识所学的知识，哪里会有疑问，学生又是怎样去理解、记忆知识的。每涉及到新的知识，首先要把它和学生头脑中已有的知识进行对比、连接，在旧知识上生发出新的知识。如果原来头脑中有类似的知识，则容易联系上；如果没有相关的东西，则不容易联系上。这时就需要教师引导学生注重新旧知识的联系，打一打“伏笔”，及时补充相关知识作为铺垫，在新旧知识间搭起一座桥梁，使学生思维“列车”顺利通过，到达新的目的地。

2.化归能力训练的有效途径

(1)在阅读教科书中培养学生的化归能力。在目前的小学数学教科书中，有很多蕴含着化归思想的教学素材。如加法与减法等运算之间的转化、分数与小数等数之间的转化、难向易的转化、数与形的转化、未知向已知的转化，等等。作为教师来说，要充分利用现有的教科书，向学生渗透化归的思想，进行化归的训练，培养学生的化归能力。如在小学数学第十一册《圆的面积》一课，对圆的面积公式的推导就蕴含着图形化归的创新思想。教科书中，先后分3次把圆平均分成8个、16个、32个扇形，再用这些扇形拼成了3个越来越近似的平行四边形（或三角形），然后启发学生想象：如果分的份数越多，每一份就会越细，当分的份数足够多时，就可以拼成一个近似标准的长方形（或三角形）。这种化归的思想对于学生来说是全新的。当他们亲眼看到一个圆形居然化归成了一个近似的长方形时，都感到惊讶和神奇，同时这种化归思想和方法也在他们的心里深深地扎下了根。有了这种化归思想，以后他们再学习圆柱体的体积公式的推导时，会很容易想到将圆柱体化归为长方体。

(2)在课后练习中培养学生的化归能力。教师还要注重在课后练习中培养学生的化归能力。在现行教科书中，也有很多蕴含着化归思想的练习题。借助这些练习题的处理，对学生化归能力的培养也是很有好处的。

3.化归能力训练的主要策略

在教学中，我们可以让学生通过使用替换、转化、假设等方式来解决问题，训练学生的化归能力。使用替换、转化、假设等方式可以将一些复杂的问题专化为简单的问题，将未知转化为已知等。

(1)替换的策略。这种策略适用于解决“条件关系复杂、没有直接方法可解”，它是“用一种相等的数值、数量、关系、方法、思路去替代变换另一种数值、数量、关系、方法、思路，从而解决问题”的一种策略。为了能把复杂问题变成简单问题就可采用替换策略。运用替换策略时要注意：①把握替换的思路，提出假设并进行替换，分析替换后的数量关系；②掌握替换的方法，在题目中寻找可以进行替换的依据，表示替换的过程；③抓住替换的关键，明确什么替换什么、把握替换后的数量关系。

(2)转化的策略。这种策略主要适用于解决“能把数学问题转化为已经解决或比较容易解决的问题”的问题，它是“通过把复杂问题变成简单问题、把新颖问题变成已经解决的问题”的一种策略。比如平行四边形面积计算公式的推导。运用此策略时要注意：①突出转化策略的实用价值，精心选择数学问题；②突破运用转化策略的关键，把新问题、非常规问题分别转化成熟悉的、常规的且能够解决的问题；③在丰富的题材里灵活应用转化策略，提高应用转化策略解决问题的能力。

(3)假设的策略。这种策略主要运用于解决“一些数量关系比较隐蔽”的问题，它是“根据题目中的已知条件或结论作出某种假设，然后根据假设进行推算，对数量上出现的矛盾进行适当调整，从而找到正确答案”的一种策略。如数学中典型的“鸡兔同笼”问题，为了能使隐蔽复杂的数量关系明朗化、简单化，就可采用假设策略，对相关数据进行转化，使其中的数量关系明确起来。运用此策略时要注意：①根据题目的已知条件或结论作出合理的假设；②要弄清楚由于假设而引起的数量上出现的矛盾并作适当调整；③根据一个单位相差多少与总数共差多少之间的数量关系解决问题。

问题9  系统方法论能力的训练

所谓系统方法论能力，就是在考虑解决某一问题时，不是把它当作一个孤立，分割的问题来处理，而是将之放到事物本身存在的系统形式中加以考察。从系统的观点出发，充分把握各要素之间的相生关系，着重从整体与部分（要素）之间，整体与外部环境的相互关系、相互作用、相互制约的关系中综合地、精确地考察所研究的对象，使系统往有序和互相促进的方向发展，以达到最佳的处理问题的一种思维方法。

【案例展示】

《认识图形》作业设计

我在上完《认识图形》以后，为学生设计了这样一组练习题。

一、我的眼睛最明亮

找出下列图形中的长方形、正方形、三角形和圆。（先出示下图，再请学生用手指出相应的图形来）

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 二、我的脑子最聪明

数图形。图中长方形、正方形、三角形和圆各有几个？

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 长方形有（     ）个，正方形有（     ）个，三角形有（     ）个，圆有（     ）个。

三、我的小手最灵巧

拼图形。拿出各种图形的学具若干个，进行自由拼图。然后反馈交流，说一说拼的是什么图案，它是由哪些基本图形拼成的，各有几个，如下图。

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四、我的视野最开阔

请找一找生活中的平面图形。日常生活中哪些物体的面是长方形、正方形、三角形或圆，这些物体漂亮吗？

（朱发华）

【案例解析】

在课堂教学中，教师要注意将组成一个系统知识的各要素分成若干层次，然后按不同层次进行教学活动，使教学过程清晰，层次分明，学生更容易了解知识的组成情况及各要素之间的联系，有助于学生牢固掌握知识。为了巩固《认识图形》教学效果，实现教学目标，该教师设计的这组练习非常有针对性和实效性，对如何认识一种图形及其特征，向学生提供了一种整体思路。使学生在创造性练习中巩固新知，发展新知，培养空间观念、想象能力及创新意识，将知识进一步内化。

通过研究，我们发现，系统方法论的呈现具有以下显著特点。

（1）整体性。在案例中，本课的核心就是认识图形，知道图形的特征，利用所学新知解决问题。那么教师在设计该练习时，就应该从这个整体上来考虑，所有的教学环节都应该为这个整体目标服务。

（2）相关性。在案例中，所要认识的图形都是属于平面图形。他们都有具体的本质属性。且它们在现实生活中都有大量的存在，学生能够从自己的生活经验出发，去认识这些图形，发现它们共同的和不同的特征。

（3）有序性。案例中，练习题的呈现都有其先后顺序，且不可随意打乱。它体现了知识学习的循序渐进的过程。

（4）综合性。在案例《认识图形》的教学过程中，三个片段的设计和安排都是围绕《认识图形》来呈现的，体现了较强的综合性。

（5）最优化。案例中的四道题，分别对应一个教学目标，而这几个教学目标，又汇集成了本课的总体教学目标：认识图形的特征，发展学生的空间观念，并提高学生自主学习、合作探究的能力。

【对策建议】

在对小学生进行系统方法论能力训练时，我们应该把握和坚持这16个字：整体着眼，小处入手，整体规划，分层实施。

1.学生系统方法论能力训练的有效途径

(1)注重小学生数学学习中整体意识的培养。小学生数学学习中整体意识的培养，即把数学学习看成是一个整体工程，是一个系统化的工作，而不应该是零散的、杂乱的、肤浅的。教师要有意识地培养学生的这一种整体意识。如很多教师要求学生在学期开始拟定自己学科的学习计划，在期末拟定学习总结。这实际上也是要求学生对一学期的学习进行整体的安排和部署，这也是一种整体意识的培养。如在每学期开学初，教师不要急着开始新课的学习，而要让学生先对数学教科书上的“目录”进行浏览，使学生对本学期要学习的内容有一个整体的把握。使学生了解在本学期中，“数与代数”包括哪些内容，“空间与图形”包括哪些内容等，让学生做到心中有数。另外，在每个单元学习完毕后，教师要要求学生对本单元知识进行整理和盘点：本单元学习了哪些内容？自己学习本单元知识的情况如何？自己最感兴趣的内容是什么？自己还存在着哪些问题？很多学生通过对该单元知识的梳理和盘点，对所学知识有了系统化和整体化的把握。这样的训练对提高学生的整体意识非常有好处。

(2)学生问题意识的培养。学生要从纷繁复杂的表面现象中发现问题，提出问题，并尝试着去解决问题。这种思维方式对学生的系统方法论能力的训练是非常有益的。现在的很多小学生，问题意识比较差，不能提出问题或提出有价值的问题，教师要着手对学生的问题意识进行培养。教师要培养学生的学习兴趣，激发其求知的欲望，使其想提问题；要建立民主的课堂，创设良好的氛围，使其敢提问题；要教给学生的提问方法，寻找问题来源，使学生会提问题。通过长期的训练，学生的问题意识就会得以增强，也就会逐步形成提出问题、解决问题的能力。

(3)培养学生用多种方法解决问题的能力。要培养学生的系统方法论能力，教师就要注意培养学生用多种方法去解决实际生活中的问题的能力，要教给学生解决问题的方法，并能根据实际情况选择合适的方法来解决问题。如在解决问题时，可以用到的方法就有综合法、分析法、还原法、假设法、对应法、类比法、替代法、消去法、列举法、转化法、图解法、量不变法、设数法、代数法等。当然，教师不要要求学生掌握每一种方法，但学生要有运用多种方法解决问题的意识，并努力去尝试。这对培养学生思维的灵活性、多向性、敏捷性和深刻性是有好处的。

2.对小学生进行系统方法论能力训练应注意的问题

(1)注意学科知识间的纵横联系。系统结构的建立是在与其周边环境的信息交流中完成的。因而教师进行数学教学和作业设计时，还要适当注重本学科外的知识的应用。教师不能在课堂中只讲解题思路，更要注意题目的人文性，注重学生在解题中的文字理解能力，以及一些题目中所牵涉到的相关知识。加强不同学科之间的联系与相互渗透，引导学生对知识进行迁移，有利于学生形成完整的知识体系。

(2)注重发挥学生的自主学习能力，在自我感悟中建立知识的体系。教师在指导学生进行知识整理的过程中可这样操作：首先让学生回忆本单元已学过哪些内容，哪些是自己最感兴趣的，哪些是自己学得最好的，哪些知识还学习得不够牢固。学生可以通过画知识树的方法、列表的方法、画流程图的方法对所学知识进行梳理，形式做到多种多样，然后以小组为单位进行汇报交流，在汇报交流时每个学生都要谈谈自己的学习体会，最后在小组内安排一个代表来汇报本组成员的学习情况。通过这样的训练，学生的自主学习能力将得到极大的提高，学习知识的主动性也将得以增强。学生在自我感悟和体验的过程中，就能逐步建立起自己的知识体系。

(3)以动态思维方式代替人们惯用的静态思维方式。所谓动态思维，即发动全身多种感官参与思维的过程，这种动态思维的参与让知识的获取更深刻、更全面、更持久。要发展学生的系统方法论能力。我们要让学生逐步用动态思维方式去代替惯用的静态思维方式。如笔者在指导学生解题时，首先是让学生审题，弄清解题的具体要求；其次是读题，把题目的意思弄清楚；然后对题上的关键词句进行勾划；最后进行列式、解答和检查。在其中，教师要抽学生说自己的思考过程，准备用怎样的方式来解决这个问题，解决这个问题时，要注意些什么，学生都愿意将自己的想法与全班同学分享。在这个过程中，学生的多种感官参与到了学习过程之中，这种思维即是一种动态的思维方式，也是我们应该努力去实现的目标。

为此，笔者将解题过程编成了一个顺口溜，学生都很喜欢，并能按照上面的说法去做。

解决问题时，题目读几遍；仔细来思考，从中找关键；

先看求什么，再去找条件；合理列算式，答案就出现；

检查很重要，回头再看看；精心去书写，这样更完善。

（4）循序渐进地建构学生的系统知识。根据小学生的年龄特征和心智特点，他们学习知识的过程是循序渐进的，从简单到复杂，从低级到高级，从零散到系统，教师必须遵循这一原则和客观规律，而不能随意拔高要求，否则就违背了教育的规律和原则，这对培养学生的系统方法论能力也是有害的。在这一过程中，教师要坚持“整体着眼，分层推进，注意细节，全面实施”的原则，使学生的系统方法论能力的形成经历从无到有，从弱到强，从零散到系统的建构过程。

问题10  反馈能力的训练

“反馈”的理论运用于教学，是指教师欲达到某一教学目的，要不断地把头脑中储存的信息输送给学生，这些信息作用于学生，必然引起学生的反应，表现为学生把教师输入的信息再以不同的方式输出来。这一过程，即为师生信息反馈的过程。在对学生进行反馈能力的训练过程中，教师可以根据学生的课堂表现、对话交流、作业情况、考试情况等多方面的信息对学生的学习状态、精神状态等进行科学的分析和把握。

【案例展示】

注重信息反馈，回归生活课堂

事情起源于一起小小的“教学事故”。

这是一次数学《实践活动》的教学。在教学本课之前，我要求学生们都要带好尺子等测量工具。结果，不知什么原因，好多学生都没有带。

这节课该怎么上呢？我迅速地调整了一下自己的教学思路。我想，小学数学课堂教学倡导要充满“生活味”，要让数学学习来源于生活，再回归生活。那我就从“生活”中入手吧！

在接下来的教学中，我先让学生回忆已经学过的关于长度及测量的知识。学生们都七嘴八舌地说了起来。我问学生们，怎样测量一个物体的长度呢？很多学生都说，在测量时要用到像尺子类的测量工具，还要注意测量的方法，要尽量地减少误差。

我对学生们的回答给予了充分的肯定。我故作神秘且笑着对同学说，老师有一项特殊的本领，不用测量工具就可以测量出物体的长度，如教室的长和宽，课桌的长和宽等，你们相信吗。学生们都说不可能。说不用测量工具怎么能测量出一个物体的长度呢。

我顺势说：“同学们，我们人体身上都有很多把‘尺子’，你们知道吗？”学生们都感到愕然，都在积极地找自己身上的“尺子”。于是，我说：“同学们，你们想知道我们人体身上的‘尺子’在哪里吗？”学生们表现出了极大的兴趣，都跃跃欲试。我看到这里，喜在心里。学生们的学习兴趣被激发起来了，应该好好地引导引导。

于是，我将全班学生迅速地进行了分组，让带了尺子等工具的学生和部分没带工具的学生组成了一个个临时的学习小组。我引导学生们测量自己手指甲的宽度和手指的厚度，“一柞”的长度，自己的臂长和步长，等等。学生惊喜地发现，在自己的身体上，真的有很多把“尺子”，学生既感到意外，更多的则是兴奋，都积极地参与到测量活动之中。我最后指出，人体身上有很多把“尺子”，我们可以根据需要在日常生活中予以应用，去解决生活中的一些问题。于是，我让学生们测量教室的长和宽，量学校到家的距离。课后学生都积极地参与着，在后面的汇报会上，很多学生都给我带来了意外的惊喜。

在课后反思中，我认识到，学生能够应用从课堂中学到的知识去解决生活中的数学问题，这可以极大地培养学生的“数学应用意识”，更是培养学生反馈能力的重要途径。学生在“学习”和“运用”的双边活动中，将收到事半功倍的学习效果，也将进一步提升他们的反馈能力。

（朱发华）

【案例解析】

这是一位教师的一篇教学日记。在小学数学教学活动中，教师要注重学生反馈能力的训练，学生的反馈能力主要表现在，能将所学知识在生活中予以合理运用，如在本案例中让学生用自己“身上的尺子”去测量教室的长和宽，量学校到家的距离，这是一个将知识内化的过程，同时也是一种信息反馈的过程。除此以外，学生的反馈能力还表现在汇报的能力、沟通的能力、整理归纳的能力等方面。

【对策建议】

1.学生反馈能力训练的有效途径

(1)对话交流。教师要重视与学生的对话和交流，在交流的过程中培养学生的反馈能力。通过对话交流，我们可以感知学生思维的流畅性和广阔性。教师可以从与学生的交流对话的过程中，了解学生的知识掌握情况。

(2)作业呈现。作业是培养学生反馈能力的重要途径。在日常教学中，教师都会给学生留一定的作业，这些作业可以是书写型作业，可以是实践型作业，也可以是课外阅读类作业。通过对学生作业的检查，教师可以把握学生对知识的掌握和获取情况，学生的学习状况也可以通过作业的情况反馈出来。有些学生书写好，质量高，能很好地完成教师布置的作业，这说明该生对知识的掌握很好，且能够在作业过程中反映出来；而有的学生书写很差，错误也很多，甚至不能按时完成作业，这说明该生对知识的掌握不够好，且学习能力处于较差的状态，教师应该重点关注这一类学生，并给予适当的辅导，或调整自己的教学方法，让这一类学生能够进一步提高自己的学习能力和学习效果。

(3)考试效果。考试是培养学生反馈能力的重要方式。很多有经验的教师，在学生考试过后，都会对学生的试卷进行统计和分析，找到学生存在的问题和改进的方向。如一位教师在学生期末考试过后，对该次考试情况进行了分析。

亮点呈现：大部分学生能掌握所学基本知识并且能灵活地解决问题，卷面干净。

存在问题：学生缺乏良好的考试习惯，自己检查错误的能力较差；马虎现象严重，单位忘记带，在横式上不写得数、字看错，看漏等；学生课上听课不好，部分学生基础知识掌握不够踏实，计算错误较严重。

改进措施：教师要对学生试卷及时分析并加以反思，找到问题所在，加以重视；狠抓学生举一反三能力的培养；加强与家长的联系，及时沟通；强化对学困生的辅导和转化。

针对学生而言，教师要引导其养成自我分析考试情况的习惯。对考试中得失分情况进行统计和分析，找到失分的原因，并提出下一步努力的方向和改进的措施。通过长期的训练，学生的自我分析、自我改进的能力将得到迅速的提高，自我信息反馈的能力也将得以提高。

(4)知识整理。知识整理是培养学生反馈能力的重要环节。知识整理的方式有很多，可以画“知识树”，可以用列表的形式，可以用写“数学日记”的形式，还可以是办“数学小报”的形式。学生通过知识整理，可以将所学知识条理化、系统化。

(5)计划总结。计划总结是培养学生反馈能力的一种有效形式。教师要引导学生在每学期开学时拟定本期的数学学习计划，对本学期要达到的学习目标进行科学规划，并拟定出具体可行的学习措施或学习计划。这样学生可以从整体上安排自己的学习活动，做到有的放矢。教师也要引导学生在期末结束时（也可以在假期中），对本期学习进行学期总结：自己学习目标的达成情况，学习措施落实情况，学习效果如何，存在的问题有哪些，下学期努力的方向和改进的措施是什么。学生可以以列表的形式对本学期的学习情况进行总结和盘点。学生通过训练，计划和总结的能力可以得到大幅提高。

2.学生反馈能力训练中应注意的问题

(1)注重数学知识的学习和获取达成“生活化”的目标。要实现数学知识的系统化和条理化，需要一个长期的过程，而将数学知识“生活化”则更显容易一些。因此，我们应该在数学教学中去努力探寻实现数学知识“生活化”的实施策略。该实施策略是指通过研究和实践应用，在学生认知水平和生活经验基础上，将数学教学融入生活，在实践活动中发现数学、探索数学、掌握数学、运用数学。它具体包括以下三层意义。一是教学目标的生活化，即教学目标不仅是知识技能，更重要是培养学生解决实际问题的能力和适应未来生活的基本素质。二是教学内容的生活化，即教育内容与社会生活、学生生活经验相结合。三是教学活动方式生活化，即教学活动是学生主动参与的生活过程，坚持以学生为主体，关注学生的需要和丰富学生的社会生活经验，使学生既学到知识，又提高能力（包括交往能力、合作能力、问题解决能力），数学素养得到个性化发展。

我们在数学教学中，要尽量将数学知识的学习与“生活”相结合，将数学知识融入到“生活”之中，或将“生活知识”以数学语言的形式呈现出来。特别是在数学练习中，我们要尽可能地将数学知识“生活化”。这样，通过“生活化”的数学知识的学习和获取，学生将“生活”与“数学”有机结合，其反馈能力将得到训练和提高。如以下练习是“生活味”比较浓厚的一些练习设计。

①下表是小青家9月份的水电用量情况，先算出小青家9月份的水电用量，再算出小青家9月份的水费和电费分别应缴多少钱，并填在相应的表格中。

项目	单价	水电表上的读数		水电用量	应缴金额（元）
		8月底读数	9月底读数
水	1.80元/吨	268吨	277吨
电	0.45元/千瓦时	690千瓦时	770千瓦时

②某市出租车的起步价是6元，3 km以后每千米按1.4元计费。王叔叔要去的地方离他打车的地方有15 km，王叔叔打车到达目的地要用多少车费？

③泸师附小有43个班，学校要用铝皮为每班做一块三角形标志牌，三角形的底长40 cm，高25 cm。在制作过程中一共要损耗铝皮0.8 m2。制作这些标志牌一共要多少平方米的铝皮？

④小刚的体重是31.5千克，他爸爸的体重比小刚体重的2倍还多8千克，小刚的爸爸的体重是多少？

以上练习题中，水电费的计算，出租车费的计算，图形面积的计算，体重的比较和计算等都和我们的日常生活密切相关，学生比较熟悉，他们也乐于去探索和了解，且了解的途径相当宽泛，学生可以请教自己的父母，可以在生活中留心，也可以实际去做一做、比一比、算一算。

（2）归纳整理所学知识。教师要重视此项工作，要教给学生知识盘点的方法，并培养其主动进行知识归纳和整理的习惯，坚持每学完一个单元、一个主题或一册教科书，主动对所涉及的知识进行梳理，理清思路，使所学知识系统化和条理化。

(3)注重学生汇报交流能力和与他人沟通能力的培养。在日常教学活动中，教师要安排适当的时间开展专项的汇报交流活动，让学生谈自己在学习上的所得、所获以及存在的问题。让学生在汇报交流的过程中分享学习经验和学习乐趣，交流学习方法和学习习惯，让大家在交流中享受数学学习的快乐。

问题11  创新能力的训练

对于创新能力的定义，不同的专家有着不同的解释。综合相关解释，我们认为，创新能力是运用知识和理论，在科学、艺术、技术和各种实践活动领域中不断提供具有经济价值、社会价值、生态价值的新思想、新理论、新方法和新发明的能力。创新能力由多种能力构成，它们包括学习能力、分析能力、综合能力、想象能力、批判能力、创造能力、解决问题的能力、实践能力、组织协调能力以及整合多种能力的能力。从思维的角度说，创新能力还表现在思维的敏锐性、广阔性、独特性、多向性等方面。

创新能力是民族进步的灵魂、经济竞争的核心；当今社会的竞争，与其说是人才的竞争，不如说是人的创造力的竞争。所以，在小学阶段，教师要重视对小学生创新能力的培养，要让小学生能从小感受创新的力量，逐步培育创新意识，形成创新能力，今后成长为创新性人才。

【案例展示】

发展求异思维，力求主动创新

在教学了“分数的初步认识”后，我向学生出了这样一道练习题：把一个正方形卡片平均分成4份，每份是这个图形的几分之几？可以怎样分，你能找出几种不同的分法？

在交回的作业中，出现了几种不同的结果。我在评语中写道：你们再想想，还有不同的分法吗？学生在下次做作业时充分动脑筋，拿着正方形卡片不断地折来折去，还用尺子进行比划和测量，还不时地在草稿纸上书写着什么。

在第二次交回的作业中，畅舟同学的创意最为新颖。我让她把自己的作品（见下图2）贴在了黑板上，并说出了自己的分法。畅舟说完，教室里响起了一阵热烈的掌声。

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