最大公因数和最小公倍数

 一. 教学重点和难点：

    教学重点：

  1. 掌握计算三个数的最大公因数和最小公倍数的方法。

  2. 介绍辗转相除的方法计算最大公因数和最小公倍数。

  3. 最大公因数和最小公倍数的性质。

  4. 利用最大公因数和最小公倍数解决生活中的实际问题。

  5. 利用最大公因数和最小公倍数解决一些有特点的数字的问题。

    教学难点：

  1. 掌握计算三个数的最大公因数和最小公倍数的区别。

  2. 能够通过分解质因数方法的分析，理解最大公因数和最小公倍数之间存在的性质。

  3. 利用最大公因数和最小公倍数解决问题时，对数字特点的观察。

 

二 简要知识介绍：

    最大公因数和最小公倍数在计算的时候我们一般采用的方法是短除的方法，它们在计算时的最大区别在于所需要的质因数是不同的，最大公因数是取公有的质因数，最小公倍数是公有的质因数（代表）和独有的质因数都要。

    但是在两个数不容易看出公因数的时候，我们也可以采取辗转相除的方法进行计算。具体的方法是：先用小的一个数除大的一个数，得第一个余数，再用第一个余数除小的一个数，得到第二个余数；又用第二个余数除第一个余数，得第三个余数，这样逐次用后一个余数去除前一个余数，直到余数是0为止。那么最后一个除数就是所求的最大公约数。

    最大公因数和最小公倍数之间还存在着性质：两个自然数的乘积等于这两个自然数的最大公约数和最小公倍数的乘积。

    若a、b表示两个自然数，则

    a×b=（a，b）×[a，b]

    在利用最大公因数和最小公倍数解决实际生活中的问题的时候，首先要分清计算的是哪个？然后再进行计算。

三. 知识教学：

（一）求三个数的最大公因数和最小公倍数的方法。

  例1. 求20、30和36的最大公因数和最小公倍数

    （1）我们先来计算这三个数的最大公因数

    列举法

    20的因数有：1、2、4、5、10、20

    30的因数有：1、2、3、5、6、10、15、30

    36的因数有：1、2、3、4、6、9、12、18、36

    三个数的最大公因数是2

 

    分解质因数的方法

    20=2×2×5

    30=2×5×3

    36=2×2×3×3

    （20，30，36）=2

 

    短除的方法http://s6/middle/64e2721bh9e2be85f0595&690

        （20，30，36）=2

    （2）我们再来计算它们的最小公倍数

    列举法    20的倍数有：20、40、60、80……

              30的倍数有：30、60、90、……

              36的倍数有：36、72、……

    分解质因数的方法    20=2×2×5

                        30=2×5×3

                        36=2×2×3×3

     [20，30，36]=2×2×3×5×3=180

 

    短除的方法

      http://s12/middle/64e2721bh9e2bec52e83b&690
    （20，30，36）=2

     [20，30，36]=2×2×3×5×3=180

    （3）对比    比较分解质因数的方法

                 20=2×2×5

                 30=2   ×5 × 3

                 36=2×2    × 3×3

               （20，30，36）=2

                [20，30，36]=2×2×3×5×3=180

 

    比较短除的方法

      http://s12/middle/64e2721bh9e2bec52e83b&690

    （20，30，36）=2     [20，30，36]=2×2×3×5×3=180

    （4）小结：在计算三个数的最大公因数和最小公倍数的时候，最大公因数要找三个数的公有的质因数，如果其中的两个商还有质因数的话，也不要往下除。

    最小公倍数的计算要把三个数的公有质因数和独有质因数都要找全，最后除到两两互质为止。

 

（二）辗转相除法。

  1. 方法介绍：    辗转相除法是求两个数的最大公约数的一种方法。辗转相除法又叫做欧几里德除法。

  2. 用辗转相除法计算两个数的最大公约数。

    用辗转相除法求两个数的最大公约数的步骤如下：

    先用小的一个数除大的一个数，得第一个余数，再用第一个余数除小的一个数，得到第二个余数；又用第二个余数除第一个余数，得第三个余数，这样逐次用后一个余数去除前一个余数，直到余数是0为止。那么最后一个除数就是所求的最大公约数（如果最后的余数是1，那么原来的两个数互质）。

  例2. 求792和1134的最大公约数。

    1134÷792=1……342

    792÷342=2……108

    342÷108=3……18

    108÷18=6      （没有余数）

    ∴（792，1134）= 18

    用辗转相除法在短除计算两个数的最大公约数有困难的时候，效果尤其显著。

 

  3. 如何用辗转相除法计算两个数的最小公倍数呢？

    先计算出最大公约数，再用两数之积除以最大公约数，商就是最小公倍数。

  例3. 792和1134的最小公倍数。

    先用辗转相除法计算出两个数的最大公约数18（方法见上）。

    [792，1134]= =49896

 

（三）最大公约数和最小公倍数的性质。

  例4. 求18和24的最大公约数和最小公倍数

    （1）用分解质因数的方法独立完成

             http://s9/middle/64e2721bh9e2bef6ddc18&690

    （18，24）=2×3=6

     [18，24]=2×3×3×2×2=72

    （2）观察发现：18×24=4×72

    （3）小结：

    两个自然数的最大公约数与它们的最小公倍数的一个重要的性质是：两个自然数的乘积等于这两个自然数的最大公约数和最小公倍数的乘积。

    若a、b表示两个自然数，则

    a×b=（a，b）×[a，b]

 

  例5. 两个数的最大公约数是6，最小公倍数是504，如果其中的一个数是42，那么另一个数是多少？

    分析与解答：根据ab=（a，b）×[a，b]  又知a=42

    则 _{http://s9/middle/64e2721bh9e2bf2104558&690}

 

（四）利用最大公因数和最小公倍数解决实际问题。

  例6. 有320个苹果，240个橘子，200个梨，用这些果品，最多可以分成多少份同样的礼物？在每份的礼物中，苹果、橘子和梨各有多少个？

    分析：根据题目的要求，在分礼物的时候必须正好分尽3样果品。因此，礼物的份数必须是320、240和200的公因数，现在还要求最多可以分成多少份同样的礼物，也就是说要求320、240和200的最大公因数。

    解答：

         http://s3/middle/64e2721bh9e2bf469eab2&690

    （320，240，200）=2×2×2×5=40

    因此，最多可以分成40份，每份礼物中有苹果320÷40=8（个），橘子240÷40=6（个），梨200÷40=5（个）

 

  例7. （1）一堆螺丝钉，按2个一堆，3个一堆，4个一堆分，都能分完。螺丝钉的数量最少有多少个？

    [2,3,4]=12（个）

    （2）一堆螺丝钉，按2个一堆分剩1个，3个一堆分剩1个，4个一堆分剩1个，都能分完。螺丝钉的数量最少有多少个？

    [2,3,4]=12（个）      12+1=13（个）

    （3）一堆螺丝钉，按2个一堆分少1个，3个一堆分少1个，4个一堆分少1个，都能分完。螺丝钉的数量最少有多少个？

    [2,3,4]=12（个）      12-1=11（个）

    （4）一堆螺丝钉，按2个一堆分余1个，3个一堆分余2个，4个一堆分余3个，都能分完。螺丝钉的数量最少有多少个？

    分析：虽然余数不相同，但是余下的数都在加1就可以凑成一堆了，或者说总数再加1就正好是2、3、4的最小公倍数。

    [2,3,4]=12（个）      12-1=11（个）

 

  例8. 一个三位数，被11除余10，被6除余4，被4除余2，这个三位数最小是多少？

    [11，6，4]=132+10=142

 

【练习】

  1. 计算下面各组数据的最大公因数和最小公倍数

    （1）35、98、112

    （2）70、102、462

  2. 用辗转相除的方法计算下面两组数的最大公因数

    （1）315和735            （2）4811和1981

  3. 两个数的最大公约数是2，最小公倍数是1344，如果其中的一个数是42，那么另一个数是多少？

  4. 把24个本，36个文具盒和42支笔平均分给尽可能多的小朋友，能分给多少人？

  5. 一批书不到700本，若按24本包一捆，最后一捆差2本，若按28本包一捆，最后一捆还是差2本，按32本包一捆，最后一捆也差2本，这批图书有多少本？

  6. 一个数除以32、36、48时都余15，求出这个数最小是谁？

  7. 求一个最小的自然数，这个数除3余2，被4除余3，被5除余4。

 

 

【练习答案】

  1. 计算下面各组数据的最大公因数和最小公倍数

（1）35、98、112               （2）70、102、462

                 http://s10/middle/64e2721bh9e2bf92484a9&690

    (35，98，112)=7                （70，102，462）=2

    [35，98，112] =7×2×5×7×8=3920

    [70，102，462]=2×3×7×5×17×11=39270

  2. 用辗转相除的方法计算下面两组数的最大公因数

    （1）315和735            （2）4811和1981

    （315，735）=105          （4811，1981）=283

  3. 两个数的最大公约数是2，最小公倍数是1344，如果其中的一个数是42，那么另一个数是多少？

    2×1344÷42=64

    答：另一个数是64。

  4. 把24个本，36个文具盒和42支笔平均分给尽可能多的小朋友，能分给多少人？

    （24，36，42）= 6（人）

    答：能分给6人。

  5. 一批书不到700本，若按24本包一捆，最后一捆差2本，若按28本包一捆，最后一捆还是差2本，按32本包一捆，最后一捆也差2本，这批图书有多少本？

    [24，28，32]=672

    672-2=670（本）

    答：这批图书有670本。

  6. 一个数除以32、36、48时都余15，求出这个数最小是谁？

    [32，36，48]=288

    288+15=303

    答：这个数是303。

  7. 求一个最小的自然数，这个数除3余2，被4除余3，被5除余4。

    [3,4,5]=60

    60-1=59

    答：这个数是59。