一、倒易格子概念及性质

1. 倒易点阵的定义

    设有一正点阵，用三个基矢(a,b,c)描述，记为S=S(a,b,c)。引入三个新基矢(a*,b*,c*)描述，记为S*=S(a*,b*,c*)。

二者之间的关系：

       a*•a=1    a*•b=0    a*•c=0

       b*•a=0    b*•b=1    b*•c=0

       c*•a=0    c*•b=0    c*•c=1

    则S*称作S的倒易点阵(Reciprocal lattice)。

2. 正倒格子的关系：

     a*=(b×c)/V   b*=(c×a)/V   c*=(a×b)/V

其中V= a • (b×c)   正格子的体积

或为：

      a=(b*×c*)/V*   b=(c*×a*)/V*   c=(a*×b*)/V*

其中V*=a* • (b*×c*)   倒格子的体积

亦有：    V* = 1/V

正倒格子的角度换算：

     |a*| =  bcsinα/V        |b*| =  casinβ/V        |c*| =  absinγ/V

或：

      |a| =  b*c*sinα*/V*     |b| =  c*a*sinβ*/V*     |c| =  a*b*sinγ*/V*

上式中：

       cosα* = (cosβcosγ-cosα)/sinβsinγ

       cosβ* = (cosγcosα -cosβ)/sinγsinα

       cosγ* = (cosαcosβ -cosγ)/sinαsinβ

    当晶体的对称中，α=β=γ=90°时

        |a*| = 1/a            |b*| = 1/b               |c*| = 1/c 

    单斜晶系时，α=γ=90°，β≠90°，即：α*=γ*=90°，β*=180°-β 

    则：|a*| = 1/asinβ       |b*| = 1/b               |c*| = 1/csinβ 

 http://s10/middle/649586ae489eb41870369&690

图1-1. 三斜晶系的倒易点阵

    如图1-1所示为三斜晶系的倒易点阵，其中a*在与bc平面垂直的方向，b*与ac平面垂直，长度为1/b，c*与ab平面垂直，长度为1/c。

 http://s1/middle/649586ae489eb5262ec90&690

图1-2. 斜方晶系的倒易点阵

    斜方晶系的倒易点阵中，a*，b*，c*分别与a，b，c重合，但长度为倒数关系。

3. 倒易点阵的性质：

    倒易点阵中任意一个向量H_hkl（由倒易点阵的原点指向任意倒易点的向量）：

                       H_hkl=ha*+kb*+lc*

    该向量必然垂直于正点阵中的面网(hkl)，且该向量的长度为面网间距的倒数，即：

                      |H_hkl| = 1/d_hkl

    正点阵中的每一组面网相当于倒易点阵中的一个倒易点，该点的位置为面网的法线方向，该点距离倒易原点的距离为面网间距的倒数。

4. 倒易点阵举例

 

http://s15/middle/649586ae489eb60116e9e&690	http://s8/middle/649586ae489eb637d2507&690
斜方晶系单位晶胞(C轴投影)（正格子）	晶胞中的面网举例(正格子)
http://s6/middle/649586ae489eb65091315&690	http://s15/middle/649586ae489eb6735366e&690
倒易晶胞	倒易格子中的点
http://s12/middle/649586ae489eb6a4e48ab&690
倒易格子中的更多点

 

http://s8/middle/649586ae489eb6f2625d7&690

图1-3. 斜方晶系的倒易点性质证明

    证明：|H₁₁₀| = 1/d₁₁₀，并且H₁₁₀垂直于面网（110）。

    因为 d₁₁₀=1/sqrt(1/a²+1/b²)

        |H₁₁₀| = sqrt(|a*|²+|b*|²) = sqrt(1/a²+1/b²) = 1/d₁₁₀

   ∴ |H₁₁₀| = 1/ d₁₁₀

    又：  tgA = |a|/|b| = a/b

      tgB = |b*|/|a*| = (1/b)/(1/a) = a/b

    ∴  ∠A = ∠B

    故：H₁₁₀与（110）垂直。

 

http://s11/middle/649586ae489eb7be070fa&690	http://s8/middle/649586ae489eb7de4bec7&690
六方晶系单位晶胞(C轴投影)	晶胞中的面网举例
http://s3/middle/649586ae489eb80e6bd52&690		http://s4/middle/649586ae489eb823c1bb3&690
倒易晶胞	倒易格子中的点

 

 

    图1-4所示为某一斜方晶系的空间格子，对应的倒易格子如图1-5所示。

 http://s16/bmiddle/649586ae489eb84b67f4f&690

图1-4. 某斜方晶系的正格子

 http://s5/bmiddle/649586ae489eb87512824&690

图1-5. 与图8对应的到格子

5. 用向量的关系求证倒易格子

    即求证：倒易矢量H=ha*+kb*+lc*与面网(hkl)垂直，并且|H|=1/d_hkl

http://s6/small/649586ae489eb8c94edf5&690 

图1-6. 倒易向量H与对应的面网(hkl)的关系

 http://s11/middle/649586ae489eb8f41f7fa&690

          http://s6/middle/649586ae07431281ddc15&690

6. 利用倒易点阵表示面网间距及晶带定律

（1）面网间距及面网夹角

    根据H_hkl=1/d_hkl=ha*+kb*+lc*，两边取平方得：

    |H_hkl|² = |1/d_hkl|² = h²a*²+k²b*²+l²c*²+2hka*b*cosγ*+2klb*c*cosα*+2lhc*a*cosβ*

 

http://s9/middle/649586ae48e9d8c7c8fc8&690

http://s7/middle/649586ae48e9d6e440656&690

             注：编程计算时可按三斜晶系的计算公式作为通式进行计算。

（2）晶带定律

 http://s4/bmiddle/649586ae489eba0890f13&690

图1-7. [001]晶带及该晶带的面网

   在图示的斜方晶系中，面网(100) (010) (110) (1-10) (120)(1-20)均平行于[001]晶向，这些面网构成以[001]为晶带轴的晶带。这些晶带的法线方向皆与[001]晶棱方向垂直。

    设晶带方向r_uvw=ua+vb+wc, 晶面(hkl)的法线方向即倒易矢量方向，记为，g_hkl=(ha*+kb*+lc*)，二者互相垂直，则有r·g=0，即

             r·g=(ua+vb+wc)(ha*+kb*+lc*)=0

     所以： hu+kv+lw=0

    此即晶带定律。

    当r·g=0时，同一晶带的所有倒易点分布在一个平面上，并且该倒易平面必然通过倒易原点，称之为[uvw]晶带的0层倒易面。

http://s12/bmiddle/649586ae489fbd2f97eab&690

图1-8 同一晶带的面网的倒易点分布

    当r·g＝N 时 (N不等于0) (为广义晶带定律), 倒易矢量g与r不垂直。这时g的端点落在第非零层倒易结点平面上。

 

http://s8/bmiddle/649586ae489fbd9c5b837&690

图1-9 0层倒易平面与非零层倒易平面

（3）求晶带轴

    属于晶带[uvw]的任意两个不是互相平行的平面(h₁k₁l₁)( h₂k₂l₂)即可决定一个晶带，根据晶带定律有：

            h₁u+k₁v+l₁w=0

            h₂u+k₂v+l₂w=0

解该联立方程可得：

http://s10/small/649586ae489eba61fff29&690 

    即 u:v:w =(k₁l₂-k₂l₁) : (l₁h₂-h₁l₂) : (h₁k₂-k₁h₂)

 

（4）已知晶带轴求0层倒易面举例

    例1. 垂直于立方晶系[100]方向的倒易平面。

    由晶带定律hu+kv+lw=h=0可知，属于该晶带的面网，其面网指数中h必等于零，其中倒易距离最短的面和次短的面有：(010), (001)，(011)等。

http://s13/bmiddle/649586ae48a0bc91eb06c&690

 

图1-12 确定[100]晶带中第一个倒易点

    设O点为倒易格子原点，A点为倒易点(010)，OA=1/a，

    则由面网夹角计算公式：

  http://s7/bmiddle/649586ae48a0bcf425586&690  

可得:

    |H₀₀₁|=1/a  |H₀₁₀|=1/a  |H₀₁₁|=√2/a 

     H₀₁₀∧H₀₀₁=90°  H₀₁₀∧H₀₁₁=45°

http://s6/middle/649586ae48a0bd4341f95&690

 

图1-12 确定[100]晶带中第2、第3个倒易点

    依次类推可以求出该倒易平面的所有点。

http://s5/middle/649586ae48a0bd6e68454&690

 

图1-13 立方晶系(100)* 0倒易层

 http://s13/middle/649586ae48a0be353277c&690
图1-14 立方晶系(100)* 0倒易层

 

    实际上在推导倒易平面上的所有倒易点时，只需要知道平行四边形的3个倒易点(含倒易原点000)，即可按向量法则求出所有其他点，见倒易格子与电子衍射一节。

 

例2. 垂直于立方晶系[110]方向的倒易平面。

    由 hu+kv+lw=h+k=0，只要h和k量值相等，符号相反，即属于该晶带，倒易距离最短和次短的面有 (001) (1-10) (1-11)，经过倒易向量长度和向量夹角(面网夹角)计算得：

    |H₀₀₁|=1/a    

    |H_1-10|=√2/a 

    |H_1-11|=√3/a 

    H₀₀₁∧H_00-1=180°  

    H₀₀₁∧H_-1-10=90°

    H₀₀₁∧H_1-11=54.75°

http://s1/middle/649586ae48a0bfa88f350&690

 

图1-15 确定立方晶系(110)* 0倒易层的推导

http://s1/middle/649586ae48a0bfe2c3960&690

 

图1-16 立方晶系(110)* 0倒易层的倒易点

 http://s16/small/649586ae48a0bf7eb06ff&690
图1-17 立方晶系(110)* 0倒易层的倒易点

二、倒易格子理论

1. 衍射矢量方程

http://s5/middle/649586ae489ebaa1cc6e4&690 

图2-1. 倒易矢量

    图中，设BC为面网的平面，DN为面网的法线，AO为入射X射线单位矢量，|S₀| = 1/λ，根据布拉格方程，DP为衍射单位矢量, |S| = 1/λ，OP称之为衍射矢量，且OP∥DN

        |OP| =|S-S₀| = 2×1/λ×sinθ = 2 sinθ/λ

    根据布拉格方程式，λ=2d sinθ 有2 sinθ/λ = 1/d

    则           | S-S₀| = 1/d

    矢量OP的方向与面网垂直，矢量的长度为1/d，则OP即相当于倒易格子矢量

               OP = S-S₀ = r* = ha*+kb*+lc*

    此即倒易格子矢量方程。

    即可以把O看作倒易格子原点，OP为对应于某一组面网的倒易向量，则产生衍射的方向为S方向。

2. 厄瓦尔德图解-倒易球

 http://s12/small/649586ae489ebb1254efb&690

图2-2. 倒易球

    图中O为倒易格子原点，以1/λ为半径作圆(球)——此即倒易球，D为圆心，AO为入射X射线方向，P为倒易格子中的一个倒易点(即对应于正格子中的一组面网)，则衍射方向为DP。

    证明：如图所示。

http://s13/small/649586ae489ebb646ec9c&690

图2-3. 倒易球与衍射矢量

    ∠APO=90，即AP与倒易矢量OP垂直，即与该倒易点代表的面网的方向平行，OP为倒易格子矢量，则|OP|=1/d_hkl,

    则sinθ = OP/AO = (1/d_hkl)/(2/λ)= λ/2 d_hkl

    即λ=2d_hklsinθ

结论：当倒易格子点和倒易球相交时，衍射方向为圆心和交点的连线的延长线方向。也只有落在倒易球上的倒易点，才可以产生衍射。

 http://s15/small/649586ae489ebbfa3785e&690

图2-4. 倒易球与衍射方向

    图中，O为倒易格子原点，C为按半径=1/λ所画出的倒易球，倒易格子结点P₁及P₂与倒易球相交，对应的倒易向量分别为OP₁、OP₂，入射线方向为CO方向，则产生衍射的方向分别为CP₁、CP₂。

3. 厄瓦尔德倒易球及极限球

    以倒易格子的原点O为圆心，以倒易球的直径为半径，即半径为2/λ，作一个圆（球），凡是落在该球范围内的倒易点，则有可能随着晶体取向的不同而与倒易球相交，从而产生衍射，而落在该球范围外的倒易点，则不管晶体怎么取向，也不可能与倒易球相交，因此称之为极限球。(绿色为倒易球，蓝色为极限球，箭头为入射线的方向，O为倒易格子原点)。

 http://s9/bmiddle/649586ae489ebc3a4a288&690

图2-5. 倒易球与极限球

    极限球内的倒易点，其倒易矢量长度为 1/d_hkl < 2/λ，即d_hkl > λ/2，而极限球外的倒易点，1/d_hkl > 2/λ，即d_hkl < λ/2。

    下图为一斜方晶系的倒易格子的a*b*平面，

http://s6/middle/649586ae489ebcd482065&690 

图2-6. 斜方晶系的倒易格子

    放置上倒易球和极限球后可以发现（图2-7），极限球内的倒易点有：(1-10),(100),(110),(0-20),(0-10),(010),(020),(-1-10),(-100), (-110)等，即在该层倒易平面，只有以上的倒易点才有可能与倒易球有交点，即产生衍射。我们看(110)倒易点如何才能产生衍射，即与倒易球相交。

 http://s5/middle/649586ae489ebd406e5c4&690

图2-7. 倒易球、极限球与倒易格子

    假定入射线的方向不变，则倒易球的位置不改变，但晶体可以转动，从而带动倒易格子转动，总可以使得极限球内的倒易点与倒易球面相交，如(110)倒易点(图2-8)，从而产生衍射效果，橙色箭头所示即为(110)面网产生衍射的方向。

    同样道理，晶体采取其他不同取向方式后，总可以使得极限球内的所有倒易点皆有机会与倒易球相交，从而产生衍射效果。

 http://s3/middle/649586ae489ebd95d3ec2&690

图2-8. (110)倒易点产生衍射时倒易格子的方位(晶体的取向)