鞅
martingale

    一类特殊的随机过程。起源于对公平赌博过程的数学描述  。鞅为满足如下条件的随机过程：在已知过程在时刻s之前的变化规律的条件下  ，过程在将来某一时刻t的期望值等于过程在时刻s的值。例如 ，用Z(t)表示某一赌徒在公平赌博中t时刻所拥有的本金  ，那么Z＝｛Z(t)，t＞0｝为鞅，也就是说无论该赌徒在s时刻以后的赌博中如何利用他在s时刻之前所取得的经验 ，他所能期望在将来t时刻拥有的本金只能是Z(s)，这正是“公平性”的体现。P.莱维早在1935年就发表了一些孕育着鞅论的工作。1939年，莱维首次采用了鞅这个名称。但对鞅系统地进行研究并使它成为随机过程的一个重要分支的，则应归功于J.L.杜布。鞅已成为研究随机过程的一个有力工具。

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最直白的语言解释一下什么是鞅？

1、鞅其实就是说你无法预测明天的股票价格，否则就可以从中获利。应该是从数学中引入到金融中的概念吧，不过跟一些金融的基本定理和假设很好的结合到了一起，想想No arbitrge theory 和weak-form efficiency，还蛮有意思的。

2、其实对“margintale”翻译成“鞅”简直太完美了。鞅在字典中可以查到有马鞍中央的意思。马鞍这个东西涉及的特别合理符合人性。那么鞍点的中央-鞅，既是极大值也是极小值，那么你永远的观测或捕捉到这样的细节，但是它却是一个均值。
鞅的引入对于描绘股票市场的行为确实是一个不小的创举，其反应的直观意思就是“你的过去不代表什么，也没什么，只有你的昨天和你的今天，因为明天还不是今天”
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Q:刚刚开始看了一个月的期权定价，老师就让写关于这个的论文，鞅定价这个实在是不好理解，我只想知道这两个模型的异同点都在什么地方？？

比方说鞅定价是基于市场风险中性理论，而B-S模型的无套利原则算不算？？

A:众多高手

B-S模型是一个股票价格模型，在这个模型的假定下，股票价格服从几何布朗运动，由于股票价格的演变规律已经确定，因此股票期权(股票的衍生产品)的价格也就随之确定了。

如果股票价格服从几何布朗运动，则在等价鞅测度下，股票贴现价格过程为一个鞅过程，由鞅过程的性质就可推出股票期权的价格，这种定价方法称为鞅方法。

所谓鞅定价模型，就是存在等价鞅测度的模型，在这样的模型假设下，可以利用鞅方法给衍生产品定价。

因为在B-S模型中，等价鞅测度是存在的，所以B-S模型是一个具体的鞅定价模型。

一点补充：

     在理论研究中，你可以直接从鞅定价模型出发（即假定等价鞅测度存在），然后研究诸如解析解（或称闭型解）的表达式、数值逼近方法等。

     在具体应用时，你必须考虑鞅方法的适用性问题，即要弄清楚你的研究对象是否为鞅定价模型，也就是在你所考虑的问题中，等价鞅测度是否存在。

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我个人的理解是

为什么用等价鞅测度可以得到B-S模型：

1、等价鞅测度定价建立的前提是：

（1）简单交易策略

简单交易策略是我们运用伊藤积分的前提，只有在简单交易策略的前提下我们才能运用伊藤积分

（2）自融资策略

自融资策略是无套利定价的前提，只要在自融资策略的条件下我们才能运用无套利定价

2、如果你在定价模型中运用了等价鞅的方法，那么就意味着你的模型里事先假定了简单交易策略和自融资策略。简单交易策略和自融资策略一起组成了所谓的动态复制，这就与B-S中的假设完全一致了

3、下面我说一下鞅测度的寻找问题。

在存在无风险债券的情况下，一般的模型中，无风险债券服从的是一个deterministic的过程，也就是说利率的过程中不包含随机项，这时候就不能直接运用等价鞅测度转换定理。因此，考虑直接将所有证券除掉利率的过程，使得利率的过程标准化为一个鞅过程，然后再运用等价鞅测度转换定理。最后再把0期的无风险债券价格乘回来，就可以得到衍生证券的0期价格。

4、运用等价鞅测度定价的好处

我们无需事先寻找到正确的动态复制过程（delta），而只需找到衍生证券到期时的各个证券的复制权重即可。

5、运用等价鞅测度的注意事项

首先必须确定underlying securities,在期权定价中，我们用股票St，和利率exp(rt)作为原生证券

先说这么多，我自己也在摸索中，大家可以讨论讨论

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我也来谈谈我的体会：

BS公式：首先假设股票价格的运动遵循几何布朗运动，基于该股票价格的衍生证券其收益过程可由Ito lemma给出，则在股票、无风险证券、衍生证券这样三个证券所构成的资产空间是完全的，因此可以由任意两个证券复制另外一个证券，通常的作法是用股票和无风险证券复制衍生证券，根据无套利，复制证券组合与衍生证券的价格必须是相等的，其中无套利原理是BS公式推导中的关键。

鞅方法：其原理是，对于一个证券市场，无套利等价于证券的收益过程在一个与市场概率测度等价的测度下是一个鞅，若市场完全则鞅测度唯一，若市场不完全则存在多个鞅测度。可举一例：套利意味着存在如下的投资机会，即，时刻0的投资成本小于0，之后的时刻该投资带来的收益至少是大于0的；而鞅是指一个满足如下条件的过程，即E（x（t））＝x(0)。可以看到若存在套利，则x（0）<0,而在任何状态下x（t）>=0,因此不管如何转换概率测度，只要这种转换是等价的，则鞅条件是不可能被满足的（条件的左边是大于等于0的，而右边是小于0的）。所以若证券收益过程在某个等价测度下是鞅，就必然无套利。反之，若无套利，则我们可以构造出一个概率测度，是证券收益过程在这一测度下成为一个鞅。

说明了无套利和鞅的关系后，我们再来看BS公式的推导。最早的做法是直接从无套利出发，即上面的复制衍生证券的收益过程的做法，最后转换成一个偏微分方程。而我们现在知道了无套利和鞅的等价性，那么我们就可以寻找一个新的概率测度（通常用Girsanov定理进行转换），使得在这一测度下证券的收益过程是一个鞅，进一步，由Ito lemma又可以得到衍生证券的收益在这一测度下的运动过程，于是现在求解衍生证券时刻0的价格就可以通过对衍生证券之后时刻的收益在新的测度下的期望就可以了（因为衍生证券的收益过程也是一个鞅）。

打公式比较麻烦，因此罗嗦了些，将就着看吧。