口诀“同增异减”详讲

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求复合函数单调性，就会用到口诀“同增异减”。下面结合例子详细讲解一下这个口诀。

http://s11/middle/62277ac4h8fcd2974d53a&690
会做上面这个题的同学对口诀“同增异减”有所了解，但还不能说明已经掌握。如果能做解答和解释下面这个例1则说明对口诀“同增异减”的理解较为透彻。
http://s15/middle/62277ac4h8fcd650ea80e&690
需要特别指出的是对为什么要有“3-ax在（0，1）内的值必须为正”的理解。可能很多人会解释因为函数的定义域。其实不然，

应该理解为函数y=log_au在区间（0，+∞）内为增函数。（这里开区间（0，+∞）恰好是函数的定义域，所以才说函数y=log_au为增函数而没有强调说函数y=log_au在区间（0，+∞）内是增函数）

如果觉得还是没有特别清楚，再结合下面这个例子就会好的。

例2．           设定义域为R的函数f(x)在（-∞，1）上单调递增，在（（1，+∞）上单调递减。求函数f(x²)的单调增区间。

因为函数y=f(x²)是由函数y=f(u)和u=x²复合而成。

当x>0时函数u=x²为增函数，

令x²<1…………(1)

得-1<x<1.

所以（0，1）为函数y=f(x²)的增区间。

当x<0时函数u=x²为减函数，

令x²>1…………(2)

得x<-1或x>1

所以（-∞，-1）为函数y=f(x²)的增区间。

综上所述，函数f(x²)的单调增区间为（-∞，-1）, （0，1）。

上面的（1）（2）式就只能解释为f(u)的单调区间而不是定义域。这样前面的“3-ax在（0，1）内的值必须为正”也就不应该解释为定义域了。

最后，给出口诀“同增异减”对应的定理：

1．         设函数y=f(x)是由函数y=g(u)和u=h(x)复合而成，即f(x)=g[h(x)]（注意对应法则为f，g，h不相同）若函数y=g(u)有区间(a,b)内是增函数，函数u=h(x)在区间(c,d)内为增函数，并且u=h(x)在区间(c,d)内的函数值都在区间(a,b)内，则函数y=f(x)=g[h(x)]在区间(c,d)内是增函数。

这里特别需要注意的是“并且u=h(x)在区间(c,d)内的函数值都在区间(a,b)内”这一条件。

2．         设函数y=f(x)是由函数y=g(u)和u=h(x)复合而成，即f(x)=g[h(x)]（注意对应法则为f，g，h不相同）若函数y=g(u)有区间(a,b)内是增函数，函数u=h(x)在区间(c,d)内为减函数，并且u=h(x)在区间(c,d)内的函数值都在区间(a,b)内，则函数y=f(x)=g[h(x)]在区间(c,d)内是减函数。

3．         设函数y=f(x)是由函数y=g(u)和u=h(x)复合而成，即f(x)=g[h(x)]（注意对应法则为f，g，h不相同）若函数y=g(u)有区间(a,b)内是减函数，函数u=h(x)在区间(c,d)内为增函数，并且u=h(x)在区间(c,d)内的函数值都在区间(a,b)内，则函数y=f(x)=g[h(x)]在区间(c,d)内是减函数。

4．         设函数y=f(x)是由函数y=g(u)和u=h(x)复合而成，即f(x)=g[h(x)]（注意对应法则为f，g，h不相同）若函数y=g(u)有区间(a,b)内是减函数，函数u=h(x)在区间(c,d)内为减函数，并且u=h(x)在区间(c,d)内的函数值都在区间(a,b)内，则函数y=f(x)=g[h(x)]在区间(c,d)内是增函数。